第十六講數論綜合提高二本講知識點匯總：約數、倍數基本概念如果a能被b整除（也就是），則b是a的約數（因數），a是b的倍數；約數具有“配對”性質：大約數對應小約數．約數個數分解質因數，指數加1再相乘；平方數有奇數個約數，非平方數有偶數個約數．約數和公式如果一個數的質因數分解式為，則約數和為；如果一個數的質因數分解式為，則約數和為；公約數、公倍數基本概念如果a是若干個數公有的約數，則稱a是它們的公約數，其中最大的叫做最大公約數；如果b是若干個數公有的倍數，則稱b是它們的公倍數，其中最小的叫做最小公倍數；公約數是最大公約數的約數，公倍數是最小公倍數的倍數．計算方法短除法；分解質因數法；輾轉相除法（只用于計算兩個數的最大公約數）．基本性質；兩個數的最大公約數是它們和或差的約數；已知兩個未知數的最大公約數，可利用最大公約數把這兩個數表示出來：

例如，甲、乙的最大公約數是5，則可以把甲乙分別設為5a和5b，其中a、b互質，此時甲乙的最小公倍數是5ab．兩個最簡分數的最大公約數、最小公倍數：

；

經典題型經典題型約數、倍數約數的配對思想；約數個數與完全平方數的關系；求約數個數；求約數的和；利用約數個數反推原數的質因數分解形式．公約數、公倍數基本計算；帶有應用題背景的公約數公倍數計算；有關最大公約數和最小公倍數的反求問題；最大公約數、最小公倍數的質因數的分配．

慶祝高思學校4周歲的生日，預計在12月5日高思成立日的當天舉行大型的慶?；顒?，由編號1~100的100名高思小明星們組成的方陣，開始都面朝東方站立，第一次所有編號是1的倍數的向左轉，第二次所有編號是2的倍數的小朋友再向左轉，第三次編號是3的倍數的小朋友再向左轉，……，最后一次所有編號是100的倍數的小朋友再向左轉，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？

「分析」首先分析出轉幾次的人會面朝南方，這些次數排成一列，找出這組數列的規律．

練習1、有2012盞燈，分別對應編號為1至2012的2012個開關．現在有編號為1至2012的2012個人來按動這些開關．已知第1個人按的開關的編號是1的倍數，第2個人按的開關的編號是2的倍數，第3個人按的開關的編號是3的倍數，……，依次做下去，第2012個人按的開關的編號是2012的倍數．如果最開始的時候，燈全是亮著的，那么這2012個人按完后，還有多少盞燈是亮著的？

一個數有15個約數，這個數最小是多少？第二小是多少？

「分析」根據約數個數公式分析出含有15個約數的數的分解質因數形式．

練習2、有10個約數的自然數最小是多少？有8個約數的最小的奇數是多少？

在35的倍數中，恰有35個約數的最小數是多少？（請寫出質因數分解式）

「分析」所求數一定含有35的質因數，再結合含有35個約數的數的分解質因數形式即可找到解題的突破口．

練習3、42的倍數中，恰好有42個約數的數有多少個？

三個自然數乘積為86400，且這三個數的約數個數分別為8、9、10個．那么這三個自然數分別是多少？

「分析」把含有8、9、10個約數的數的分解質因數形式及86400中個質因數的個數結合在一起進行分析．

練習4、三個自然數乘積為5184，且這三個數的約數個數分別為A個、A+1個、A+2個．那么這三個自然數分別是多少？

兩個整數的差為7，他們的最小公倍數和最大公約數的差是689，則這兩個數分別是多少？

「分析」列不定方程求解．

大雪后的一天，亮亮和爸爸從同一點出發沿同一方向分別步測一個圓形花圃的周長，亮亮每步長54厘米，爸爸每步長72厘米，由于兩個人的腳印有重合，所以雪地上只留下60個腳?。畣枺哼@個花圃的周長是多少米？

「分析」這是一道公約數、公倍數的問題，首先回憶一下公約數、公倍數的求法，再思考一下題中各數據之間的關系．

親和數（AmicablePair）親和數是一種古老的數．遙遠的古代，人們發現某些自然數之間有特殊的關系：如果兩個數a和b，a的所有真因數之和等于b，b的所有真因數之和等于a，則稱a，b是一對親和數．相傳，畢達哥拉斯的一個門徒向他提出這樣一個問題：“我結交朋友時，存在著數的作用嗎？”畢達哥拉斯毫不猶豫地回答：“朋友是你的靈魂的倩影，要象220和284一樣親密．什么叫朋友？就象這兩個數，一個是你，另一個是我．”后來，畢氏學派宣傳說：人之間講友誼，數之間也有“相親相愛”．從此，把220和284叫做“親和數”（也叫“朋友數”或叫“相親數”）．這就是“親和數”這個名稱的來源．畢達哥拉斯首先發現220與284就是一對親和數，在以后的1500年間，世界上有很多數學家致力于探尋親和數，面對茫茫數海，無疑是大海撈針，雖經一代又一代人的窮思苦想，有些人甚至為此耗盡畢生心血，卻始終沒有收獲．公元九世紀，伊拉克哲學、醫學、天文學和物理學家泰比特·依本庫拉曾提出過一個求親和數的法則，因為他的公式比較繁雜，難以實際操作，再加上難以辨別真假，故它并沒有給人們帶來驚喜，或者走出困境．數學家們仍然沒有找到第二對親和數．距離第一對親和數誕生2500多年以后，歷史的車輪轉到十七世紀，1636年，法國“業余數學家之王”費馬終于找到了第二對親和數17296和18416，這個發現也重新點燃尋找親和數的火炬．兩年之后，“解析幾何之父”——法國數學家笛卡爾于1638年3月31日宣布找到了第三對親和數9437506和9363584．費馬和笛卡爾在兩年的時間里，打破了二千五百年的沉寂，激起了數學界重新尋找親和數的波濤．在十七世紀以后的歲月，許多數學家投身到尋找新的親和數的行列，他們企圖用靈感與枯燥的計算發現新大陸．可是，無情的事實使他們省悟到，已經陷入了一座數學迷宮，不可能出現法國人的輝煌了．正當數學家們真的感到絕望的時候，平地又起了一聲驚雷．1747年，年僅39歲的瑞士數學家歐拉竟向全世界宣布：他找到了30對親和數，后來又擴展到60對，不僅列出了親和數的數表，而且還公布了全部運算過程．時間又過了120年，到了1867年，意大利有一個愛動腦筋，勤于計算的16歲中學生白格黑尼，竟然發現數學大師歐拉的疏漏——讓眼皮下的一對較小的親和數1184和1210溜掉了．這戲劇性的發現讓數學家們大為驚嘆．在以后的半個世紀的時間里，人們在前人的基礎上，不斷更新方法，陸陸續續又找到了許多對親和數．到了1923年，數學家麥達其和葉維勒匯總前人研究成果與自己的研究所得，發表了1095對親和數，其中最大的數有25位．同年，另一個荷蘭數學家里勒找到了一對有152位數的親和數．電子計算機誕生以后，結束了筆算尋找親和數的歷史，人們利用計算機，可以更有效率的尋找和分析親和數，但直到今天，親和數仍有許多未解之謎，等待著數學家和計算機專家來解決．

作業300共多少個約數？其中有多少個是6的倍數？有多少個不是4的倍數？

把一張長108厘米，寬84厘米的長方形紙裁成同樣大小的正方形，且紙無