福建省泉州市永春第一中學2023-2024學年數學高二上期末質量檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列橢圓中，焦點坐標是的是（）A. B.C. D.2．傾斜角為45°，在y軸上的截距為－1的直線方程是()A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝03．在平形六面體中，其中，，，，，則的長為（）A. B.C. D.4．如果命題為真命題，為假命題，那么（）A.命題，都是真命題 B.命題，都是假命題C.命題，至少有一個是真命題 D.命題，只有一個是真命題5．若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是A. B.C. D.6．已知數列中，其前項和為，且滿足，數列的前項和為，若對恒成立，則實數的值可以是（）A. B.2C.3 D.7．橢圓與雙曲線有公共的焦點、，與在第一象限內交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率的范圍是，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A. B.C. D.8．設集合，則AB=（）A.{2} B.{2，3}C.{3，4} D.{2，3，4}9．設O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點，則取到的3點共線的概率為（）A. B.C. D.10．已知圓C的方程為，點P在圓C上，O是坐標原點，則的最小值為（）A.3 B.C. D.11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與圓相切于點，交雙曲線的右支于點，且點是線段的中點，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.12．若，則（）A.1 B.2C.4 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，，則曲線在處的切線方程為___________.14．點為雙曲線上一點，為焦點，如果則雙曲線的離心率為___________.15．點到直線的距離為______.16．兩姐妹同時推銷某一商品，現抽取他們其中8天的銷售量（單位：臺），得到的莖葉圖如圖所示，已知妹妹的銷售量的平均數為14，姐姐的銷售量的中位數比妹妹的銷售量的眾數大2，則的值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，設平面與平面的交線為.（1）證明：；（2）已知，為直線上的點，求與平面所成角的正弦值的最大值.18．（12分）四棱錐，底面為矩形，面，且，點在線段上，且面.（1）求線段的長；（2）對于（1）中的，求直線與面所成角的正弦值.19．（12分）已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸且焦點在軸上，拋物線：，若拋物線的焦點在橢圓上，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）已知斜率存在且不為零的直線滿足：與橢圓相交于不同兩點、，與直線相交于點.若橢圓上一動點滿足：，，且存在點，使得恒為定值，求的值.20．（12分）在等差數列中，，.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.21．（12分）已知函數，其中為常數，且（1）求證：時，；（2）已知a，b，p，q為正實數，滿足，比較與的大小關系.22．（10分）已知數列是首項為1，公差不為0的等差數列，且成等比數列.數列的前項的和為，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據給定條件逐一分析各選項中的橢圓焦點即可判斷作答.【詳解】對于A，橢圓的焦點在x軸上，A不是；對于B，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，B是；對于C，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，C不是；對于D，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，D不是.故選：B2、B【解析】由題意，，所以，即，故選B3、B【解析】根據空間向量基本定理、加法的運算法則，結合空間向量數量積的運算性質進行求解即可.【詳解】因為是平行六面體，所以，所以有：，因此有：，因為，，，，，所以，所以，故選：B4、D【解析】由命題為真命題,可判斷二者至少有一個為真命題，由為假命題，可判斷二者至少有一個為假命題，由此可得答案.【詳解】命題為真命題，說明二者至少有一個為真命題，為假命題,說明二者至少有一個為假命題，綜合上述，可知命題，只有一個是真命題，故選：D5、D【解析】，∵函數在區間單調遞增，∴在區間上恒成立．∴，而在區間上單調遞減，∴．∴取值范圍是．故選D考點：利用導數研究函數的單調性.6、D【解析】由求出，從而可以求，再根據已知條件不等式恒成立，可以進行適當放大即可.【詳解】若n=1，則，故；若，則由得，故，所以，，又因為對恒成立，當時，則恒成立，當時，，所以，，，若n為奇數，則；若n為偶數，則，所以所以，對恒成立，必須滿足.故選：D7、B【解析】求得，可得出，設橢圓和雙曲線的離心率分別為、，可得，由可求得的取值范圍.【詳解】設，設雙曲線的實軸長為，因為與在第一象限內交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，則，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，，則，設橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則，即，因，則，故.故選：B.8、B【解析】按交集定義求解即可.【詳解】AB={2，3}故選：B9、A【解析】列出從5個點選3個點的所有情況，再列出3點共線的情況，用古典概型的概率計算公式運算即可.【詳解】如圖，從5個點中任取3個有共種不同取法，3點共線只有與共2種情況，由古典概型的概率計算公式知，取到3點共線的概率為.故選：A【點晴】本題主要考查古典概型的概率計算問題，采用列舉法，考查學生數學運算能力，是一道容易題.10、B【解析】化簡判斷圓心和半徑，利用圓的性質判斷連接線段OC，交圓于點P時最小，再計算求值即得結果.【詳解】化簡得圓C的標準方程為，故圓心是，半徑，則連接線段OC，交圓于點P時最小，因為原點到圓心的距離，故此時.故選：B.11、D【解析】焦點三角形問題，可結合為三角形的中位線，判斷：焦點三角形為直角三角形，并且有，，可由勾股定理得出關系，從而得到關系，從而求得漸近線方程.【詳解】由題意知，，且點是線段的中點，點是線段的中點，為三角形的中位線故，故，由雙曲線定義有由勾股定理有故則則，故故漸近線方程為：故選：D【點睛】雙曲線上一點與兩焦點構成的三角形，稱為雙曲線的焦點三角形，與焦點三角形有關的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的關系12、D【解析】由題意結合導數的運算可得，再由導數的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據導數的幾何意義求得在點處的切線方程.【詳解】由，求導，知，又，則函數在點處的切線方程為.故答案為：14、【解析】利用雙曲線的定義、離心率的計算公式、兩角和差的正弦公式即可得出.【詳解】由可得，根據雙曲線的定義可得：，.故答案為：15、【解析】直接利用點到直線的距離公式計算即可.【詳解】點到直線的距離為.故答案為：.16、13【解析】先根據妹妹的銷售量的平均數為14，求得y,進而得到其眾數，然后再根據姐姐的銷售量的中位數比妹妹的銷售量的眾數大2，得到姐姐的銷售量的中位數.【詳解】因為妹妹的銷售量的平均數為14，所以，解得，由莖葉圖知：妹妹的銷售量的眾數是14，因為姐姐的銷售量的中位數比妹妹的銷售量的眾數大2，所以姐姐的銷售量的中位數是16，所以，解得，所以，故答案為：13三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由可證得平面，根據線面平行的性質可證得結論；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，利用線面角的向量求法可表示出，分別在、和三種情況下，結合基本不等式求得所求最大值.【小問1詳解】四邊形為正方形，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面，.【小問2詳解】以為坐標原點，為軸可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，由（1）知：，則可設，，，，設平面的法向量，則，令，則，，，設直線與平面所成角為，；當時，；當時，（當且僅當，即時取等號）；當時，；綜上所述：直線與平面所成角正弦值的最大值為.18、（1）1（2）【解析】（1）根據線面垂直得到，再由相似比得方程可求解；（2）建立空間直角坐標系，求平面的法向量，運用夾角公式先求線面角的余弦值，再轉化為正弦值即可.小問1詳解】面，在矩形中，易得：；【小問2詳解】如四建立空間直角坐標系：則，，由題意可知：為平面的一個法向量，，，直線與面所成角的正弦值為.19、（1）（2）【解析】（1）先求得橢圓的，代入公式即可求得橢圓的方程；（2）以設而不求的方法得到兩根和，再由條件，得到四邊形為平行四邊形，并以向量方式進行等價轉化，再與恒為定值進行聯系，即可求得的值.【小問1詳解】由條件可設橢圓：，因為拋物線：的焦點為，所以，解得因為橢圓離心率為，所以，則，故橢圓的方程為【小問2詳解】設直線：，，，把直線的方程代入橢圓的方程，可得，所以，因為，，所以四邊形為平行四邊形，得，即，得由在橢圓上可得，，即因為，又所以，所以將代入得，所以，即.【點睛】數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。20、（1）（2）【解析】（1）設的公差為，根據題意列出關于和的方程組，求解方程組，再根據等差數列的通項公式，即可求出結果.（2）對數列中項的正負情況進行討論，再結合等差數列的前項和公式，即可求出結果.【小問1詳解】解：設的公差為d，因為，，所以解得故.【小問2詳解】解：設的前項和為，則.當時，，所以所以；當時，.所以.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據導數判斷出函數的單調性求出其最大值，即可證出；（2）由（1）知：，再變形即可得出小