./9含有耦合電感電路教學基本要求1、熟練掌握互感的概念及具有耦合電感的電路計算方法。2、掌握空心變壓器和理想變壓器的應用。二、教學重點與難點1.教學重點：<1>.互感和互感電壓的概念及同名端的含義；

<2>.含有互感電路的計算<3>.空心變壓器和理想變壓器的電路模型2．教學難點：<1>.耦合電感的同名端及互感電壓極性的確定；<2>.含有耦合電感的電路的方程<3>.含有空心變壓器和理想變壓器的電路的分析。三、本章與其它章節的聯系：本章的學習容建立在前面各章理論的基礎之上。四、學時安排總學時：4教學容學時1．互感、含有耦合電感電路的計算22．空心變壓器、理想變壓器2五、教學容§10.1互感耦合電感元件屬于多端元件,在實際電路中,如收音機、電視機中的中周線圈、振蕩線圈,整流電源里使用的變壓器等都是耦合電感元件,熟悉這類多端元件的特性,掌握包含這類多端元件的電路問題的分析方法是非常必要的。1.互感圖10.1兩個靠得很近的電感線圈之間有磁的耦合,如圖10.1所示,當線圈1電流i1時,不僅在線圈1中產生磁通φ11,同時,有部分磁通φ21穿過臨近線圈2,同理,若在線圈2電流i2時,不僅在線圈2中產生磁通φ22,同時,有部分磁通φ12穿過線圈1,φ12和φ21稱為互感磁通。定義互磁鏈：

ψ12=N1φ12ψ21=N2φ21

當周圍空間是各向同性的線性磁介質時,磁通鏈與產生它的施感電流成正比,即有自感磁通鏈：

互感磁通鏈：

上式中M12和M21稱為互感系數,單位為〔H。當兩個線圈都有電流時,每一線圈的磁鏈為自磁鏈與互磁鏈的代數和：

需要指出的是：１M值與線圈的形狀、幾何位置、空間媒質有關,與線圈中的電流無關,因此,滿足M12=M21=M

２自感系數L總為正值,互感系數M值有正有負。正值表示自感磁鏈與互感磁鏈方向一致,互感起增助作用,負值表示自感磁鏈與互感磁鏈方向相反,互感起削弱作用。2.耦合因數工程上用耦合因數k來定量的描述兩個耦合線圈的耦合緊密程度,定義

一般有：

當k=1稱全耦合,沒有漏磁,滿足f11=f21,f22=f12。

耦合因數k與線圈的結構、相互幾何位置、空間磁介質有關。3.耦合電感上的電壓、電流關系當電流為時變電流時,磁通也將隨時間變化,從而在線圈兩端產生感應電壓。根據電磁感應定律和楞次定律得每個線圈兩端的電壓為：

即線圈兩端的電壓均包含自感電壓和互感電壓。

在正弦交流電路中,其相量形式的方程為

注意：當兩線圈的自感磁鏈和互感磁鏈方向一致時,稱為互感的"增助"作用,互感電壓取正；否則取負。以上說明互感電壓的正、負：

〔1與電流的參考方向有關。

〔2與線圈的相對位置和繞向有關。

4.互感線圈的同名端

由于產生互感電壓的電流在另一線圈上,因此,要確定互感電壓的符號,就必須知道兩個線圈的繞向,這在電路分析中很不方便。為了解決這一問題引入同名端的概念。

同名端:當兩個電流分別從兩個線圈的對應端子同時流入或流出時,若產生的磁通相互增強,則這兩個對應端子稱為兩互感線圈的同名端,用小圓點或星號等符號標記。

例如圖10.2中線圈1和線圈2用小圓點標示的端子為同名端,當電流從這兩端子同時流入或流出時,則互感起相助作用。同理,線圈1和線圈3用星號標示的端子為同名端。線圈2和線圈3用三角標示的端子為同名端。圖10.2注意：上述圖示說明當有多個線圈之間存在互感作用時,同名端必須兩兩線圈分別標定。

根據同名端的定義可以得出確定同名端的方法為：

<1>當兩個線圈中電流同時流入或流出同名端時,兩個電流產生的磁場將相互增強。

<2>當隨時間增大的時變電流從一線圈的一端流入時,將會引起另一線圈相應同名端的電位升高。兩線圈同名端的實驗測定：實驗線路如圖10.3所示,當開關S閉合時,線圈1中流入星號一端的電流i增加,在線圈2的星號一端產生互感電壓的正極,則電壓表正偏。圖10.3有了同名端,以后表示兩個線圈相互作用,就不再考慮實際繞向,而只畫出同名端及電流和電壓的參考方向即可,如圖10.4所示。根據標定的同名端和電流、電壓參考方向可知：圖10.4〔a 圖10.4〔b〔a圖〔b圖

例10-1如圖所示〔a、〔b、〔c、〔d四個互感線圈,已知同名端和各線圈上電壓電流參考方向,試寫出每一互感線圈上的電壓電流關系。例10-1圖〔a 例10-1圖〔b例10-1圖〔c 例10-1圖〔d解：〔a

〔b

〔c

〔d例10-2電路如圖〔a所示,圖〔b為電流源波形。

已知：,例10-2圖〔a 例10-2圖〔a〔b解：根據電流源波形,寫出其函數表示式為：

該電流在線圈2中引起互感電壓：

對線圈1應用KVL,得電流源電壓為：

§10.2含有耦合電感電路的計算含有耦合電感〔簡稱互感電路的計算要注意：

<1>在正弦穩態情況下,有互感的電路的計算仍可應用前面介紹的相量分析方法。

<2>注意互感線圈上的電壓除自感電壓外,還應包含互感電壓。

<3>一般采用支路法和回路法計算。因為耦合電感支路的電壓不僅與本支路電流有關,還與其他某些支路電流有關,若列結點電壓方程會遇到困難,要另行處理。1.耦合電感的串聯〔1順向串聯

圖10.5所示電路為耦合電感的串聯電路,由于互感起"增助"作用,稱為順向串聯。圖10.5 圖10.6按圖示電壓、電流的參考方向,KVL方程為：

根據上述方程可以給出圖10.6所示的無互感等效電路。等效電路的參數為：

〔2反向串聯

圖10.7所示的耦合電感的串聯電路,由于互感起"削弱"作用,稱為反向串聯。圖10.7按圖示電壓、電流的參考方向,KVL方程為：

根據上述方程也可以給出圖10.6所示的無互感〔去耦等效電路。但等效電路的參數為：

在正弦穩態激勵下,應用相量分析,圖10.5和圖10.7的相量模型如圖10.8所示。圖10.8〔a 圖10.8〔b圖〔a的KVL方程為：

輸入阻抗為：

可以看出耦合電感順向串聯時,等效阻抗大于無互感時的阻抗。順向串聯時的相量圖如圖10.9所示。圖10.9 圖10.10圖〔b的KVL方程為：

輸入阻抗為：

可以看出耦合電感反向串聯時,等效阻抗小于無互感時的阻抗。反向串聯時的相量圖如圖10.10所示。

注意：

〔1互感不大于兩個自感的算術平均值,整個電路仍呈感性,即滿足關系：

〔2根據上述討論可以給出測量互感系數的方法：把兩線圈順接一次,反接一次,則互感系數為：2.耦合電感的并聯〔1同側并聯

圖10.11為耦合電感的并聯電路,由于同名端連接在同一個結點上,稱為同側串聯。根據KVL得同側并聯電路的方程為：

由于i=i1+i2

解得u,i的關系：圖10.11圖10.12根據上述方程可以給出圖10.12所示的無互感等效電路,其等效電感為：

〔2異側并聯

圖10.13中由于耦合電感的異名端連接在同一個結點上,故稱為異側并聯。圖10.13此時電路的方程為：

考慮到：i=i1+i2

解得u,i的關系：根據上述方程也可以給出圖10.12所示的無互感等效電路,其等效電感為：

3.耦合電感的T型去耦等效如果耦合電感的2條支路各有一端與第三條支路形成一個僅含三條支路的共同結點如圖10.14所示,稱為耦合電感的T型聯接。顯然耦合電感的并聯也屬于T型聯接。

〔1同名端為共端的T型去耦等效圖10.14 圖10.15圖10.14的電路為同名端為共端的T型聯接。根據所標電壓、電流的參考方向得：

由上述方程可得圖10.15所示的無互感等效電路。〔2異名端為共端的T型去耦等效圖10.16 圖10.17圖10.16的電路為異名端為共端的T型聯接。根據所標電壓、電流的參考方向得：

由上述方程可得圖10.17所示的無互感等效電路。

注意：T型去耦等效電路中3條支路的等效電感分別為：

支路3：〔同側取"+",異側取"—"

支路1：

支路2：例10-3求圖〔a、〔b所示電路的等效電感。例10-3圖〔a 例10-3圖〔b

解：〔a圖中4H和6H電感為T型結構,應用T型去耦等效得圖〔c電路。則等效電感為：例10-3圖〔c例10-3圖〔d

〔b圖中5H和6H電感為同側相接的T型結構,2H和3H電感為異側相接的T型結構,應用T型去耦等效得圖〔d電路。則等效電感為：

例10-4圖〔a為有耦合電感的電路,試列寫電路的回路電流方程。例10—4〔a 例10—4〔b解：設網孔電流如圖〔b所示,為順時針方向,則回路方程為：

注意：列寫有互感電路的回路電流方程是,注意互感電壓的極性和不要遺漏互感電壓。例10-5求圖〔a所示電路的開路電壓。例10-5圖〔a 例10-5圖〔b解法1：列方程求解。由于線圈2中無電流,線圈1和線圈3為反向串聯,所以電流

則開路電壓

解法2：作出去耦等效電路,消去耦合的過程如圖〔b、〔c、〔d所示<一對一對消>。〔c 〔d由圖〔d的無互感電路得開路電壓：

例10-6圖〔a為有互感的電路,若要使負載阻抗Z中的電流i=0,問電源的角頻率為多少？例10-6〔a例10-6〔b 例10-6〔c解：根據兩線圈的繞向標定同名端如圖〔b所示,應用T型去耦等效,得無互感的電路如圖〔c所示,顯然當電容和M電感發生串聯諧振時,負載阻抗Z中的電流為零。因此有：

,§10.3空心變壓器變壓器由兩個具有互感的線圈構成,一個線圈接向電源,另一線圈接向負載。變壓器是通過互感來實現從一個電路向另一個電路傳輸能量或信號的器件。當變壓器線圈的芯子為非鐵磁材料時,稱空心變壓器。

1.空心變壓器電路圖10.18為空心變壓器的電路模型,與電源相接的回路稱為原邊回路〔或初級回路,與負載相接的回路稱為副邊回路〔或次級回路。圖10.182.分析方法〔1方程法分析

在正弦穩態情況下,圖10.18電路的回路方程為：

令稱為原邊回路阻抗,稱為副邊回路阻抗。則上述方程簡寫為：

從上列方程可求得原邊和副邊電流：

〔2等效電路法分析

等效電路法實質上是在方程分析法的基礎上找出求解的某些規律,歸納總結成公式,得出等效電路,再加以求解的方法。

首先討論圖10.18的原邊等效電路。令上述原邊電流的分母為：

則原邊電流為：根據上式可以畫出原邊等效電路如圖10.19所示。上式中的Zf稱為引入阻抗〔或反映阻抗,是副邊回路阻抗通過互感反映到原邊的等效阻抗,它體現了副邊回路的存在對原邊回路電流的影響。從物理意義講,雖然原、副邊沒有電的聯系,但由于互感作用使閉合的副邊產生電流,反過來這個電流又影響原邊電流電壓。 圖10.19把引入阻抗Zf展開得：

上式表明：

〔1引入電阻不僅與次級回路的電阻有關,而且與次級回路的電抗及互感有關。

〔2引入電抗的負號反映了引入電抗與付邊電抗的性質相反。

可以證明引入電阻消耗的功率等于副邊回路吸收的功率。根據副邊回路方程得：

方程兩邊取模值的平方：

從中得：

應用同樣的方法分析方程法得出的副邊電流表達式。令

則根據上式可以畫出副邊等效電路如圖10.20所示。上式中的Z2f稱為原邊回路對副邊回路的引入阻抗,它與Z1f有相同的性質。應用戴維寧定理也可以求得空心變壓器副邊的等效電路。〔3去耦等效法分析

對空心變壓器電路進行T型去耦等效,變為無互感的電路,再進行分析。 圖10.20例10-7圖〔a為空心變壓器電路,已知電源電壓US=20V,原邊引入阻抗Zl=10–j10Ω,求:負載阻抗ZX并求負載獲得的有功功率。例10—7圖〔a 例10—7圖〔b解：圖〔a的原邊等效電路如圖〔b所示,引入阻抗為：

從中解得：

此時負載獲得的功率等于引入電阻消耗的功率,因此：

注意：電路實際處于最佳匹配狀態,即

例10-8已知圖〔a空心變壓器電路參數為：L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20Ω,R2=0.08Ω,RL=42Ω,ω=314rad/s,,求：原、副邊電流。例10—8圖〔a例10—8圖〔b例10—8圖〔c解法1：應用圖〔b所示的原邊等效電路,得：

所以

解法2：應用圖〔c所示的副邊等效電路,得：

所以例10-9全耦合互感電路如圖〔a所示,求電路初級端ab間的等效阻抗。例10—9圖〔a例10—9圖〔b解法1：應用原邊等效電路,因為：

所以

解法2：應用T型去耦等效電路如圖〔b所示,則等效電感為：

例10-10已知圖〔a所示電路中,L1=L2=0.1mH,M=0.02mH,R1=10Ω,C1=C2=0.01mF,ω=106rad/s,,問：R2=？時能吸收最大功率,并求最大功率。例10-8圖〔a 例10-8圖〔b 例10-8圖〔c解法1：因為

所以原邊自阻抗為：

副邊自阻抗為：

原邊等效電路如圖〔b所示,引入阻抗為：

因此當

即R2=40Ω時吸收最大功率,最大功率為：

解法2：應用圖〔c所示的副邊等效電路,得

因此當時吸收最大功率,最大功率為：

例10-11圖示互感電路已處于穩態,t=0時開關打開,求t＞0+時開路電壓u2<t>。例10—11圖解：副邊開路,對原邊回路無影響,開路電壓u2<t>中只有互感電壓。先應用三要素法求電流i<t>：

當,時間常數為：

當,有：

所以

則例10-12已知圖〔a電路中,,問負載Z為何值時其上獲得最大功率,并求出最大功率。例10-12圖〔a 例10-12圖〔b〔c 〔d 〔e解：〔1首先判定互感線圈的同名端,如圖〔b所示。〔2做出去耦等效電路如圖〔c所示。由于LC串聯支路發生諧振,可用短路線替代這條支路,如圖〔d所示,斷開負載,得開路電壓：

由圖〔e得等效阻抗

當時,負載獲取最大功率,最大功率為：

§10.4理想變壓器理想變壓器是實際變壓器的理想化模型,是對互感元件的理想科學抽象,是極限情況下的耦合電感。1．理想變壓器的三個理想化條件條件1：無損耗,認為繞線圈的導線無電阻,做芯子的鐵磁材料的磁導率無限大。

條件2：全耦合,即耦合系數

條件3：參數無限大,即自感系數和互感系數但滿足：

上式中N1和N2分別為變壓器原、副邊線圈匝數,n為匝數比。以上三個條件在工程實際中不可能滿足,但在一些實際工程概算中,在誤差允許的圍,把實際變壓器當理想變壓器對待,可使計算過程簡化。2.理想變壓器的主要性能滿足上述三個理想條件的理想變壓器與有互感的線圈有著質的區別。具有以下特殊性能。〔1變壓關系

圖10.21為滿足三個理想條件的耦合線圈。由于,所以

因此圖10.21圖10.22

根據上式得理想變壓器模型如圖10.22所示。

注意：理想變壓器的變壓關系與兩線圈中電流參考方向的假設無關,但與電壓極性的設置有關,若u1、u2的參考方向的"+"極性端一個設在同名端,一個設在異名端,如圖10.23所示,此時u1與u2之比為：

〔2變流關系

根據互感線圈的電壓、電流關系〔電流參考方向設為從同名端同時流入或同時流出：

則 圖10.23圖10.24代入理想化條件：,

得理想變壓器的電流關系為：

注意：理想變壓器的變流關系與兩線圈上電壓參考方向的假設無關,但與電流參考方向的設置有