./9含有耦合電感電路教學(xué)基本要求1、熟練掌握互感的概念及具有耦合電感的電路計(jì)算方法。2、掌握空心變壓器和理想變壓器的應(yīng)用。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：<1>.互感和互感電壓的概念及同名端的含義；

<2>.含有互感電路的計(jì)算<3>.空心變壓器和理想變壓器的電路模型2．教學(xué)難點(diǎn)：<1>.耦合電感的同名端及互感電壓極性的確定；<2>.含有耦合電感的電路的方程<3>.含有空心變壓器和理想變壓器的電路的分析。三、本章與其它章節(jié)的聯(lián)系：本章的學(xué)習(xí)容建立在前面各章理論的基礎(chǔ)之上。四、學(xué)時(shí)安排總學(xué)時(shí)：4教學(xué)容學(xué)時(shí)1．互感、含有耦合電感電路的計(jì)算22．空心變壓器、理想變壓器2五、教學(xué)容§10.1互感耦合電感元件屬于多端元件,在實(shí)際電路中,如收音機(jī)、電視機(jī)中的中周線圈、振蕩線圈,整流電源里使用的變壓器等都是耦合電感元件,熟悉這類多端元件的特性,掌握包含這類多端元件的電路問題的分析方法是非常必要的。1.互感圖10.1兩個(gè)靠得很近的電感線圈之間有磁的耦合,如圖10.1所示,當(dāng)線圈1電流i1時(shí),不僅在線圈1中產(chǎn)生磁通φ11,同時(shí),有部分磁通φ21穿過臨近線圈2,同理,若在線圈2電流i2時(shí),不僅在線圈2中產(chǎn)生磁通φ22,同時(shí),有部分磁通φ12穿過線圈1,φ12和φ21稱為互感磁通。定義互磁鏈：

ψ12=N1φ12ψ21=N2φ21

當(dāng)周圍空間是各向同性的線性磁介質(zhì)時(shí),磁通鏈與產(chǎn)生它的施感電流成正比,即有自感磁通鏈：

互感磁通鏈：

上式中M12和M21稱為互感系數(shù),單位為〔H。當(dāng)兩個(gè)線圈都有電流時(shí),每一線圈的磁鏈為自磁鏈與互磁鏈的代數(shù)和：

需要指出的是：１M值與線圈的形狀、幾何位置、空間媒質(zhì)有關(guān),與線圈中的電流無關(guān),因此,滿足M12=M21=M

２自感系數(shù)L總為正值,互感系數(shù)M值有正有負(fù)。正值表示自感磁鏈與互感磁鏈方向一致,互感起增助作用,負(fù)值表示自感磁鏈與互感磁鏈方向相反,互感起削弱作用。2.耦合因數(shù)工程上用耦合因數(shù)k來定量的描述兩個(gè)耦合線圈的耦合緊密程度,定義

一般有：

當(dāng)k=1稱全耦合,沒有漏磁,滿足f11=f21,f22=f12。

耦合因數(shù)k與線圈的結(jié)構(gòu)、相互幾何位置、空間磁介質(zhì)有關(guān)。3.耦合電感上的電壓、電流關(guān)系當(dāng)電流為時(shí)變電流時(shí),磁通也將隨時(shí)間變化,從而在線圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓。根據(jù)電磁感應(yīng)定律和楞次定律得每個(gè)線圈兩端的電壓為：

即線圈兩端的電壓均包含自感電壓和互感電壓。

在正弦交流電路中,其相量形式的方程為

注意：當(dāng)兩線圈的自感磁鏈和互感磁鏈方向一致時(shí),稱為互感的"增助"作用,互感電壓取正；否則取負(fù)。以上說明互感電壓的正、負(fù)：

〔1與電流的參考方向有關(guān)。

〔2與線圈的相對(duì)位置和繞向有關(guān)。

4.互感線圈的同名端

由于產(chǎn)生互感電壓的電流在另一線圈上,因此,要確定互感電壓的符號(hào),就必須知道兩個(gè)線圈的繞向,這在電路分析中很不方便。為了解決這一問題引入同名端的概念。

同名端:當(dāng)兩個(gè)電流分別從兩個(gè)線圈的對(duì)應(yīng)端子同時(shí)流入或流出時(shí),若產(chǎn)生的磁通相互增強(qiáng),則這兩個(gè)對(duì)應(yīng)端子稱為兩互感線圈的同名端,用小圓點(diǎn)或星號(hào)等符號(hào)標(biāo)記。

例如圖10.2中線圈1和線圈2用小圓點(diǎn)標(biāo)示的端子為同名端,當(dāng)電流從這兩端子同時(shí)流入或流出時(shí),則互感起相助作用。同理,線圈1和線圈3用星號(hào)標(biāo)示的端子為同名端。線圈2和線圈3用三角標(biāo)示的端子為同名端。圖10.2注意：上述圖示說明當(dāng)有多個(gè)線圈之間存在互感作用時(shí),同名端必須兩兩線圈分別標(biāo)定。

根據(jù)同名端的定義可以得出確定同名端的方法為：

<1>當(dāng)兩個(gè)線圈中電流同時(shí)流入或流出同名端時(shí),兩個(gè)電流產(chǎn)生的磁場將相互增強(qiáng)。

<2>當(dāng)隨時(shí)間增大的時(shí)變電流從一線圈的一端流入時(shí),將會(huì)引起另一線圈相應(yīng)同名端的電位升高。兩線圈同名端的實(shí)驗(yàn)測(cè)定：實(shí)驗(yàn)線路如圖10.3所示,當(dāng)開關(guān)S閉合時(shí),線圈1中流入星號(hào)一端的電流i增加,在線圈2的星號(hào)一端產(chǎn)生互感電壓的正極,則電壓表正偏。圖10.3有了同名端,以后表示兩個(gè)線圈相互作用,就不再考慮實(shí)際繞向,而只畫出同名端及電流和電壓的參考方向即可,如圖10.4所示。根據(jù)標(biāo)定的同名端和電流、電壓參考方向可知：圖10.4〔a 圖10.4〔b〔a圖〔b圖

例10-1如圖所示〔a、〔b、〔c、〔d四個(gè)互感線圈,已知同名端和各線圈上電壓電流參考方向,試寫出每一互感線圈上的電壓電流關(guān)系。例10-1圖〔a 例10-1圖〔b例10-1圖〔c 例10-1圖〔d解：〔a

〔b

〔c

〔d例10-2電路如圖〔a所示,圖〔b為電流源波形。

已知：,例10-2圖〔a 例10-2圖〔a〔b解：根據(jù)電流源波形,寫出其函數(shù)表示式為：

該電流在線圈2中引起互感電壓：

對(duì)線圈1應(yīng)用KVL,得電流源電壓為：

§10.2含有耦合電感電路的計(jì)算含有耦合電感〔簡稱互感電路的計(jì)算要注意：

<1>在正弦穩(wěn)態(tài)情況下,有互感的電路的計(jì)算仍可應(yīng)用前面介紹的相量分析方法。

<2>注意互感線圈上的電壓除自感電壓外,還應(yīng)包含互感電壓。

<3>一般采用支路法和回路法計(jì)算。因?yàn)轳詈想姼兄返碾妷翰粌H與本支路電流有關(guān),還與其他某些支路電流有關(guān),若列結(jié)點(diǎn)電壓方程會(huì)遇到困難,要另行處理。1.耦合電感的串聯(lián)〔1順向串聯(lián)

圖10.5所示電路為耦合電感的串聯(lián)電路,由于互感起"增助"作用,稱為順向串聯(lián)。圖10.5 圖10.6按圖示電壓、電流的參考方向,KVL方程為：

根據(jù)上述方程可以給出圖10.6所示的無互感等效電路。等效電路的參數(shù)為：

〔2反向串聯(lián)

圖10.7所示的耦合電感的串聯(lián)電路,由于互感起"削弱"作用,稱為反向串聯(lián)。圖10.7按圖示電壓、電流的參考方向,KVL方程為：

根據(jù)上述方程也可以給出圖10.6所示的無互感〔去耦等效電路。但等效電路的參數(shù)為：

在正弦穩(wěn)態(tài)激勵(lì)下,應(yīng)用相量分析,圖10.5和圖10.7的相量模型如圖10.8所示。圖10.8〔a 圖10.8〔b圖〔a的KVL方程為：

輸入阻抗為：

可以看出耦合電感順向串聯(lián)時(shí),等效阻抗大于無互感時(shí)的阻抗。順向串聯(lián)時(shí)的相量圖如圖10.9所示。圖10.9 圖10.10圖〔b的KVL方程為：

輸入阻抗為：

可以看出耦合電感反向串聯(lián)時(shí),等效阻抗小于無互感時(shí)的阻抗。反向串聯(lián)時(shí)的相量圖如圖10.10所示。

注意：

〔1互感不大于兩個(gè)自感的算術(shù)平均值,整個(gè)電路仍呈感性,即滿足關(guān)系：

〔2根據(jù)上述討論可以給出測(cè)量互感系數(shù)的方法：把兩線圈順接一次,反接一次,則互感系數(shù)為：2.耦合電感的并聯(lián)〔1同側(cè)并聯(lián)

圖10.11為耦合電感的并聯(lián)電路,由于同名端連接在同一個(gè)結(jié)點(diǎn)上,稱為同側(cè)串聯(lián)。根據(jù)KVL得同側(cè)并聯(lián)電路的方程為：

由于i=i1+i2

解得u,i的關(guān)系：圖10.11圖10.12根據(jù)上述方程可以給出圖10.12所示的無互感等效電路,其等效電感為：

〔2異側(cè)并聯(lián)

圖10.13中由于耦合電感的異名端連接在同一個(gè)結(jié)點(diǎn)上,故稱為異側(cè)并聯(lián)。圖10.13此時(shí)電路的方程為：

考慮到：i=i1+i2

解得u,i的關(guān)系：根據(jù)上述方程也可以給出圖10.12所示的無互感等效電路,其等效電感為：

3.耦合電感的T型去耦等效如果耦合電感的2條支路各有一端與第三條支路形成一個(gè)僅含三條支路的共同結(jié)點(diǎn)如圖10.14所示,稱為耦合電感的T型聯(lián)接。顯然耦合電感的并聯(lián)也屬于T型聯(lián)接。

〔1同名端為共端的T型去耦等效圖10.14 圖10.15圖10.14的電路為同名端為共端的T型聯(lián)接。根據(jù)所標(biāo)電壓、電流的參考方向得：

由上述方程可得圖10.15所示的無互感等效電路。〔2異名端為共端的T型去耦等效圖10.16 圖10.17圖10.16的電路為異名端為共端的T型聯(lián)接。根據(jù)所標(biāo)電壓、電流的參考方向得：

由上述方程可得圖10.17所示的無互感等效電路。

注意：T型去耦等效電路中3條支路的等效電感分別為：

支路3：〔同側(cè)取"+",異側(cè)取"—"

支路1：

支路2：例10-3求圖〔a、〔b所示電路的等效電感。例10-3圖〔a 例10-3圖〔b

解：〔a圖中4H和6H電感為T型結(jié)構(gòu),應(yīng)用T型去耦等效得圖〔c電路。則等效電感為：例10-3圖〔c例10-3圖〔d

〔b圖中5H和6H電感為同側(cè)相接的T型結(jié)構(gòu),2H和3H電感為異側(cè)相接的T型結(jié)構(gòu),應(yīng)用T型去耦等效得圖〔d電路。則等效電感為：

例10-4圖〔a為有耦合電感的電路,試列寫電路的回路電流方程。例10—4〔a 例10—4〔b解：設(shè)網(wǎng)孔電流如圖〔b所示,為順時(shí)針方向,則回路方程為：

注意：列寫有互感電路的回路電流方程是,注意互感電壓的極性和不要遺漏互感電壓。例10-5求圖〔a所示電路的開路電壓。例10-5圖〔a 例10-5圖〔b解法1：列方程求解。由于線圈2中無電流,線圈1和線圈3為反向串聯(lián),所以電流

則開路電壓

解法2：作出去耦等效電路,消去耦合的過程如圖〔b、〔c、〔d所示<一對(duì)一對(duì)消>。〔c 〔d由圖〔d的無互感電路得開路電壓：

例10-6圖〔a為有互感的電路,若要使負(fù)載阻抗Z中的電流i=0,問電源的角頻率為多少？例10-6〔a例10-6〔b 例10-6〔c解：根據(jù)兩線圈的繞向標(biāo)定同名端如圖〔b所示,應(yīng)用T型去耦等效,得無互感的電路如圖〔c所示,顯然當(dāng)電容和M電感發(fā)生串聯(lián)諧振時(shí),負(fù)載阻抗Z中的電流為零。因此有：

,§10.3空心變壓器變壓器由兩個(gè)具有互感的線圈構(gòu)成,一個(gè)線圈接向電源,另一線圈接向負(fù)載。變壓器是通過互感來實(shí)現(xiàn)從一個(gè)電路向另一個(gè)電路傳輸能量或信號(hào)的器件。當(dāng)變壓器線圈的芯子為非鐵磁材料時(shí),稱空心變壓器。

1.空心變壓器電路圖10.18為空心變壓器的電路模型,與電源相接的回路稱為原邊回路〔或初級(jí)回路,與負(fù)載相接的回路稱為副邊回路〔或次級(jí)回路。圖10.182.分析方法〔1方程法分析

在正弦穩(wěn)態(tài)情況下,圖10.18電路的回路方程為：

令稱為原邊回路阻抗,稱為副邊回路阻抗。則上述方程簡寫為：

從上列方程可求得原邊和副邊電流：

〔2等效電路法分析

等效電路法實(shí)質(zhì)上是在方程分析法的基礎(chǔ)上找出求解的某些規(guī)律,歸納總結(jié)成公式,得出等效電路,再加以求解的方法。

首先討論圖10.18的原邊等效電路。令上述原邊電流的分母為：

則原邊電流為：根據(jù)上式可以畫出原邊等效電路如圖10.19所示。上式中的Zf稱為引入阻抗〔或反映阻抗,是副邊回路阻抗通過互感反映到原邊的等效阻抗,它體現(xiàn)了副邊回路的存在對(duì)原邊回路電流的影響。從物理意義講,雖然原、副邊沒有電的聯(lián)系,但由于互感作用使閉合的副邊產(chǎn)生電流,反過來這個(gè)電流又影響原邊電流電壓。 圖10.19把引入阻抗Zf展開得：

上式表明：

〔1引入電阻不僅與次級(jí)回路的電阻有關(guān),而且與次級(jí)回路的電抗及互感有關(guān)。

〔2引入電抗的負(fù)號(hào)反映了引入電抗與付邊電抗的性質(zhì)相反。

可以證明引入電阻消耗的功率等于副邊回路吸收的功率。根據(jù)副邊回路方程得：

方程兩邊取模值的平方：

從中得：

應(yīng)用同樣的方法分析方程法得出的副邊電流表達(dá)式。令

則根據(jù)上式可以畫出副邊等效電路如圖10.20所示。上式中的Z2f稱為原邊回路對(duì)副邊回路的引入阻抗,它與Z1f有相同的性質(zhì)。應(yīng)用戴維寧定理也可以求得空心變壓器副邊的等效電路。〔3去耦等效法分析

對(duì)空心變壓器電路進(jìn)行T型去耦等效,變?yōu)闊o互感的電路,再進(jìn)行分析。 圖10.20例10-7圖〔a為空心變壓器電路,已知電源電壓US=20V,原邊引入阻抗Zl=10–j10Ω,求:負(fù)載阻抗ZX并求負(fù)載獲得的有功功率。例10—7圖〔a 例10—7圖〔b解：圖〔a的原邊等效電路如圖〔b所示,引入阻抗為：

從中解得：

此時(shí)負(fù)載獲得的功率等于引入電阻消耗的功率,因此：

注意：電路實(shí)際處于最佳匹配狀態(tài),即

例10-8已知圖〔a空心變壓器電路參數(shù)為：L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20Ω,R2=0.08Ω,RL=42Ω,ω=314rad/s,,求：原、副邊電流。例10—8圖〔a例10—8圖〔b例10—8圖〔c解法1：應(yīng)用圖〔b所示的原邊等效電路,得：

所以

解法2：應(yīng)用圖〔c所示的副邊等效電路,得：

所以例10-9全耦合互感電路如圖〔a所示,求電路初級(jí)端ab間的等效阻抗。例10—9圖〔a例10—9圖〔b解法1：應(yīng)用原邊等效電路,因?yàn)椋?/p>

所以

解法2：應(yīng)用T型去耦等效電路如圖〔b所示,則等效電感為：

例10-10已知圖〔a所示電路中,L1=L2=0.1mH,M=0.02mH,R1=10Ω,C1=C2=0.01mF,ω=106rad/s,,問：R2=？時(shí)能吸收最大功率,并求最大功率。例10-8圖〔a 例10-8圖〔b 例10-8圖〔c解法1：因?yàn)?/p>

所以原邊自阻抗為：

副邊自阻抗為：

原邊等效電路如圖〔b所示,引入阻抗為：

因此當(dāng)

即R2=40Ω時(shí)吸收最大功率,最大功率為：

解法2：應(yīng)用圖〔c所示的副邊等效電路,得

因此當(dāng)時(shí)吸收最大功率,最大功率為：

例10-11圖示互感電路已處于穩(wěn)態(tài),t=0時(shí)開關(guān)打開,求t＞0+時(shí)開路電壓u2<t>。例10—11圖解：副邊開路,對(duì)原邊回路無影響,開路電壓u2<t>中只有互感電壓。先應(yīng)用三要素法求電流i<t>：

當(dāng),時(shí)間常數(shù)為：

當(dāng),有：

所以

則例10-12已知圖〔a電路中,,問負(fù)載Z為何值時(shí)其上獲得最大功率,并求出最大功率。例10-12圖〔a 例10-12圖〔b〔c 〔d 〔e解：〔1首先判定互感線圈的同名端,如圖〔b所示。〔2做出去耦等效電路如圖〔c所示。由于LC串聯(lián)支路發(fā)生諧振,可用短路線替代這條支路,如圖〔d所示,斷開負(fù)載,得開路電壓：

由圖〔e得等效阻抗

當(dāng)時(shí),負(fù)載獲取最大功率,最大功率為：

§10.4理想變壓器理想變壓器是實(shí)際變壓器的理想化模型,是對(duì)互感元件的理想科學(xué)抽象,是極限情況下的耦合電感。1．理想變壓器的三個(gè)理想化條件條件1：無損耗,認(rèn)為繞線圈的導(dǎo)線無電阻,做芯子的鐵磁材料的磁導(dǎo)率無限大。

條件2：全耦合,即耦合系數(shù)

條件3：參數(shù)無限大,即自感系數(shù)和互感系數(shù)但滿足：

上式中N1和N2分別為變壓器原、副邊線圈匝數(shù),n為匝數(shù)比。以上三個(gè)條件在工程實(shí)際中不可能滿足,但在一些實(shí)際工程概算中,在誤差允許的圍,把實(shí)際變壓器當(dāng)理想變壓器對(duì)待,可使計(jì)算過程簡化。2.理想變壓器的主要性能滿足上述三個(gè)理想條件的理想變壓器與有互感的線圈有著質(zhì)的區(qū)別。具有以下特殊性能。〔1變壓關(guān)系

圖10.21為滿足三個(gè)理想條件的耦合線圈。由于,所以

因此圖10.21圖10.22

根據(jù)上式得理想變壓器模型如圖10.22所示。

注意：理想變壓器的變壓關(guān)系與兩線圈中電流參考方向的假設(shè)無關(guān),但與電壓極性的設(shè)置有關(guān),若u1、u2的參考方向的"+"極性端一個(gè)設(shè)在同名端,一個(gè)設(shè)在異名端,如圖10.23所示,此時(shí)u1與u2之比為：

〔2變流關(guān)系

根據(jù)互感線圈的電壓、電流關(guān)系〔電流參考方向設(shè)為從同名端同時(shí)流入或同時(shí)流出：

則 圖10.23圖10.24代入理想化條件：,

得理想變壓器的電流關(guān)系為：

注意：理想變壓器的變流關(guān)系與兩線圈上電壓參考方向的假設(shè)無關(guān),但與電流參考方向的設(shè)置有