北京市大興區2023年九年級上學期《數學》期末試卷與參考答案一、選擇題本題共16分，每小題2分。第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個。1.下列事件是隨機事件的是（）A.射擊運動員射擊一次，命中靶心 B.在標準大氣壓下，通常加熱到時，水沸騰C.任意畫一個三角形，其內角和等于 D.在空曠的操場，向空中拋一枚硬幣，硬幣不會從空中落下答案：A2.如圖，四邊形是的內接四邊形，若，則的度數為（）A. B. C. D.答案：B3.如圖，點為正五邊形的中心，連接，，則的度數為（）A.48° B.54° C.60° D.72°答案：D4.將二次函數化成的形式為（）A. B. C. D.答案：B5.把一副普通撲克牌中的5張洗勻后，正面向下放在桌子上，其中有1張“黑桃”，2張“梅花”和2張“紅桃”，從中隨機抽取一張，恰好是“梅花”的概率是（）A. B. C. D.答案：C6.《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作，奠定了中國傳統數學的基礎框架《九章算術》中記載：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何．”大意是說：“已知長方形門的高比寬多尺寸，門的對角線長丈，那么門的高和寬各是多少？”（1丈尺，1尺寸），若設門寬為尺，則根據題意，列方程為（）A. B.C. D.答案：C7.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點在半圓上點，的讀數分別為，．則的度數是（）A. B. C. D.答案：A8.下列關于二次函數有如下說法：①圖象的開口向上；②圖象最低點到軸的距離為；③圖象的對稱軸為直線；④當時，隨的增大而增大．其中所有正確結論的序號是（）A.①② B.①③ C.②④ D.③④答案：B二、填空題本題共16分，每小題2分。9.已知一個二次函數圖象開口向上，對稱軸為直線，請寫出一個滿足條件的二次函數的解析式_______．答案：（答案不唯一）10.如圖，為的直徑，弦于點，連接，若，，則弦的長度為___________．答案：11.已知，兩點都在拋物線上，那么___________．答案：212.如圖，一次函數與二次函數的圖象分別交于點，．則關于的方程的解為___________．答案：13.水稻育秧前都要提前做好發芽試驗，特別是高水分種子，確保發芽率達到85%以上，保證成苗率，現有，兩種新水稻種子，為了解它們的發芽情況，在推廣前做了五次發芽實驗，每次隨機各自取相同的種子數，在相同的培育環境中分別實驗，實驗情況記錄如下：種子數量100500100020003000A發芽率0.970.960.980.970.97B發芽率0.980.960.940.960.95下面有兩個推斷：①當實驗種子數量為500時，兩種種子的發芽率均為0.96，所以，兩種新水稻種子發芽的概率一樣；②隨著實驗種子數量的增加，種子發芽率在0.97附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計種子發芽的概率是0.97．其中合理的是___________．答案：②14.如圖，圓心角為的扇形的半徑為1，點為的中點，則圖中的陰影部分面積是___________．答案：15.如圖所示，將一把刻度尺，含角的直角三角板和圓形卡片如圖擺放，使三角板的一條直角邊與刻度尺重合，圓形卡片與刻度尺和三角板分別都有唯一的公共點，測得圓形卡片與刻度尺的公共點到三角板頂點的距離，則圓形卡片的半徑為___________．答案：16.如圖，在平面直角坐標系中，點，，若拋物線與線段有公共點，則的取值范圍是___________．答案：三、解答題本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27-28題，每小題7分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.解方程：答案：（x－4）（x－2）＝0x－4＝0或x－2＝0∴x1＝4，x2＝218.已知是方程的一個根，求代數式的值．答案：∵是方程的一個根，∴，∴，∴．19.已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．（1）求的取值范圍；（2）若為正整數，求方程的根．答案：【小問1詳解】∵方程有兩個不相等的實數根，∴，∴．【小問2詳解】∵m為正整數，且，∴．當時，方程為，∴∴．20.已知：如圖，中，．求作：射線，使得平分．作法：①作的垂直平分線交于點；②以為圓心，為半徑畫圓，與直線的一個交點為（點與點在的異側）；③作射線．所以射線即為所求．（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接．直線為的垂直平分線，．，．點A，，都在上．又點在上，于點，，__________，（_______________________）（填推理的依據）．射線平分．答案：【小問1詳解】如圖，射線即為所求．【小問2詳解】證明：連接．直線為的垂直平分線，．，．點A，，都在上．又點在上，于點，，，（等弧所對的圓周角相等），射線平分，故答案為：；等弧所對的圓周角相等．21.如圖，是的直徑，點A，在上，，交于點．若，求的度數．答案：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴．故答案為：．22.已知二次函數圖象的頂點坐標是，與軸交于點．（1）求二次函數的解析式；（2）在平面直角坐標系中，畫出二次函數的圖象．答案：【小問1詳解】解：設該二次函數的解析式為（），∵圖像經過點，∴，即，解得，∴該二次函數的解析式為，即．【小問2詳解】則該二次函數的圖像如圖所示．23.不透明的袋子中裝有四個小球，除標有的漢字不同外無其他差別，小球上分別標有漢字“大”、“興”、“創”、“城”，每次摸球前先搖勻．（1）隨機摸出一個小球，摸到“創”字的概率為___________；（2）隨機摸出一個小球后，放回并搖勻，再隨機摸出一個，請用列舉法求兩次摸到的球上的漢字，一個是“大”，一個是“興”的概率．答案：【小問1詳解】從袋子隨機摸出一個小球，摸到“創”字的概率為，故答案為：；小問2詳解】從袋子隨機摸出一個小球后，放回并搖勻，再隨機摸出一個，如下，“大”和“大”、“大”和“興”、“大”和“創”、“大”和“城”；“興”和“大”、“興”和“興”、“興”和“創”、“興”和“城”；“創”和“大”、“創”和“興”、“創”和“創”、“創”和“城”；“城”和“大”、“城”和“興”、“城”和“創”、“城”和“城”，由上可得共有16種情況，而一個是“大”，一個是“興”的情況有2種情況，∴．24.如圖，點，在上，且，點為的中點，過點作交的延長線于點．（1）求證：直線是的切線；（2）若的半徑為4，求的長．答案：【小問1詳解】證明：如圖，連接，∵，點為的中點，∴，∵∴是等邊三角形，∴∴∴，∵∴，∴是的切線；【小問2詳解】如圖，過點作于點，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即的長為2．25.拋物線形拱橋具有取材方便，造型美觀的特點，被廣泛應用到橋梁建筑中，如圖是某公園拋物線形拱橋的截面圖．以水面所在直線為軸，為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．點到點的距離（單位：），點到橋拱頂面的豎直距離（單位：）．，近似滿足函數關系．通過取點，測量，得到與的幾組對應值，如下表：01234022（1）橋拱頂面離水面的最大高度為___________；（2）根據上述數據，求出滿足的函數關系和水面寬度的長．答案：【小問1詳解】把，分別代入得解得：即拋物線的解析式為：即∴橋拱頂面離水面的最大高度為米，故答案為：【小問2詳解】由（1）得令，即解得：∴（米）．26.在平面直角坐標系中，點，都在拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）平移拋物線，使得平移后拋物線的頂點為，已知點在原拋物線上，點在平移后的拋物線上，且，兩點都位于直線的右側．當時，若對于，都有，求的取值范圍．答案：【小問1詳解】解：將點，代入，得，，解得：，∴拋物線的解析式為；【小問2詳解】解：如圖，∵，則，又∵，∴，∴，則，當點在時，，此時，根據圖象可知，當時，對于，都有，如圖，當時，∴當時，對于，都有．27.如圖，在中，，，于點，將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，連接交于點．（1）依題意補全圖形；（2）求的度數；（3）求證：．答案：【小問1詳解】解：補畫圖形如下；【小問2詳解】由旋轉的性質，可得，，∵，，∴，，∴，∵，，又∵，∴，∴；【小問3詳解】證明：過點作，交延長線于點，∵，∴為等腰直角三角形，，∵，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴．28.在平面直角坐標系中，的半徑為1．給出如下定義：為上一點，過點作直線，交軸于點，稱點為點的“關聯點”．（1）如圖，，，若點在上，且的長為，則_________，點的“關聯點”點的坐標是__________；（2）求點的“關聯點”點的橫坐標的最小值；（3）若線段的長為，直接寫出這時點的“關聯點”點的橫坐標的最大值和最小值．答案：【小問1詳解】設，∵，∴，即，過點P作交于點C，如圖，∵，∴在中，，∴，∴，∴，將點P代入中，得，解得，∴，當時，得，解得，∴，故答案為：45；；【小問