13.3.1等腰三角形13.3.1

等腰三角形R·八年級上冊第十三章軸對稱

目錄0102030405復習導入探索新知鞏固練習課堂小結作業布置復習導入什么是等腰三角形？什么是三角形？探索新知仔細觀察自己剪出的等腰三角形紙片，你能發現這個等腰三角形的特征嗎？同學們剪下的等腰三角形紙片大小不同，形狀各異，是否都具有上述所概括的特征？在練習本上任意畫一個等腰三角形，把它剪下來，折一折，上面得出的結論仍然成立嗎？由此你能概括出等腰三角形的性質嗎？探索新知

等腰三角形的性質:性質1：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）；性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、

底邊上的高相互重合（三線合一）．探索新知

由上面的操作過程獲得啟發，我們可以利用三角形的全等證明這些性質.ABCD如圖，△ABC中，AB=AC，作底邊BC的中線AD.證明：

AB=AC，∵BD=CD，

AD=AD，∴△BAD≌△CAD（SSS）．∴∠B=∠C．探索新知AＢCD∴∠BAD=∠CAD，∠BDA

=∠CDA．∵∠BDA

+∠CDA=180°，∴∠ADB=90°．∴AD⊥BC．探索新知

在等腰三角形性質的探索過程和證明過程中“折痕”“輔助線”發揮了非常重要的作用，由此，你能發現等腰三角形具有什么特征？

等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線就是它的對稱軸．探索新知知識點2等腰三角形性質的運用

例1如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD．

求△ABC各角的度數．解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD設∠A=x，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x，從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x，于是在△ABC

中，有∠A

+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°解得x=36°.所以，在△ABC

中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.探索新知知識點3探索等腰三角形的判定定理

我們知道，如果一個三角形有兩條邊相等，那么它們所對的角相等.反過來，如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊有什么關系？探索新知ABC

證明：過A點作AD⊥BC，垂足為D.在△BAD和△CAD中，D∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ABD≌△ACD

．

∴AB=AC．

已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C.求證：AB=AC．探索新知

等腰三角形的判定方法：

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．符號語言：∵在△ABC中，∠B=∠C，∴

AB=AC．ABC探索新知知識點4等腰三角形判定的應用

例1求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形.

已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．

求證：AB=AC.ABCDE12探索新知證明：∵

AD∥BC，∴∠1=∠B（），

∠2=∠C（）．兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內錯角相等∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．∴

AB=AC（）．等角對等邊ABCDE12探索新知DC

例3

已知等腰三角形底邊長為a，底邊上的高的長為h，求作這個等腰三角形.作法：（1）作線段AB=a；（2）作線段AB的垂直平分線MN，與AB相交于點D；（3）在MN上取一點C，使DC=h；（4）連接AC，BC，則△ABC就是所求作的等腰三角形.ABMNah鞏固練習

練習1在下列等腰三角形中，分別求出它們的底角的度數.72°30°鞏固練習練習2如圖，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），

AD是底邊BC上的高.標出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度

數，并寫出圖中所有相等的線段.鞏固練習練習3如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C

的度數.鞏固練習練習4如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AC=BD，求∠B的

度數.解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.∵AD=AC，∴∠ADC=∠C.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B.設∠B=x，則∠BAC=2∠BAD=2x，∠C=∠ADC=∠B+∠BAD=2x，∴∠B+∠BAC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，∴∠B=36°.鞏固練習ABCD共有3個等腰三角形．△ABC、

△DAB、△BCD

練習5如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，圖中一共有幾個等腰三角形？找出其中的一個等腰三角形給予證明．鞏固練習練習6如圖，把一張長方形的紙沿著對角線折疊，重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？ABCDCE解：是等腰三角形∵△ABD≌△CDB，∴∠ADB=∠CBD，∴△EBD是等腰三角形.鞏固練習練習7已知：△ABC，D為AC的中點，BD=AC.求證：∠ABC=90°.證明：∵D為AC的中點，

BD=AC.∴AD=BD=DC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠DBC.∵∠A+∠ABC+∠C=2（∠ABD+∠DBC）=2∠ABC=180°.∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形.鞏固練習練習8如圖，AC和BD相交于O點，且AB

∥

DC，OA=OB.

求證OC=OD.證明：∵OA=OB，∴∠A=∠B，又∵AB∥DC，∴∠C=∠A=∠D=∠B，∴OC=OD.鞏固練習練習9

如圖，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延長線上，

∠AEF＝∠AFE，求證：EF⊥

BC.證明：作AD⊥BC，垂足為D.∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAD.∵∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠AEF+∠AFE=2∠AEF.∴∠CAD=∠AEF，∴AD∥EF.∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.鞏固練習練習10（1）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點F，

過F作DE∥BC，交AB于點D，交AC于E．問圖中哪些三角形是等

腰三角形？

（2）上題中，若去掉條件AB=AC，其他條件不變，圖中還有等腰三

角形嗎？解：（1）△ABC，△ADE，△BDF，△CEF，△BCF都是等腰三角形.鞏固練習（2）△BDF和△CEF是等腰三角形.∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF.