第二十二章四邊形22.6正方形第1課時(shí)

1課堂講解正方形的定義正方形邊的性質(zhì)正方形角的性質(zhì)2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1知識(shí)點(diǎn)正方形的定義做一做：用一張長(zhǎng)方形的紙片(如圖所示)折出一個(gè)正方形．知1－導(dǎo)問題：什么樣的四邊形是正方形？正方形(square)是我們熟悉的幾何圖形，它的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.它既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì).知1－導(dǎo)知1－講正方形的定義：有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．要點(diǎn)精析(1)正方形的四條邊都相等，說明正方形是特殊的菱形；(2)正方形的四個(gè)角都是直角,說明正方形是特殊的矩形.即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．知1－講例1

如圖，已知點(diǎn)E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且EA⊥AF.求證：DE=BE.（來自《點(diǎn)撥》）本題要證明兩條線段相等，而證明線段相等的方法有很多，根據(jù)題中所給的條件，由正方形ABCD，我們可以得到邊相等，角相等，也可以得到平行，所以在可以得到比較多的條件的情況下，一般會(huì)想到用全等去解決，而本題中全等的條件也很充足，那么問題即可解決．分析：知1－講（來自《點(diǎn)撥》）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABF=∠BAD=90°．∴∠BAE+∠EAD=90°．∴EA⊥AF，∴∠BAE+∠FAB=90°．∴∠EAD=∠FAB．∴△ABF≌△ADE．∴DE=BF.證明：總

結(jié)知1－講

知道正方形就說明它的四邊都相等，四個(gè)角都是直角.知1－練（來自教材）如圖，如果正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后能與正方形CFED重合，那么圖形所在的平面上可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)共有多少個(gè)？請(qǐng)指出它們的位置.1共3個(gè)．分別是點(diǎn)D、點(diǎn)C和線段CD的中點(diǎn)．解：知1－練（來自《典中點(diǎn)》）下面四個(gè)定義中不正確的是(

)A．有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形B．有一組鄰邊相等的四邊形叫做菱形C．有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的

平行四邊形叫做正方形D．有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2B知1－練（來自《典中點(diǎn)》）已知在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一個(gè)條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是(

)A．∠D＝90°B．AB＝CDC．AD＝BCD．BC＝CD3D知1－練（來自《典中點(diǎn)》）【中考·蘭州】?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：________，使得?ABCD為正方形．4AC＝BD2知識(shí)點(diǎn)正方形邊的性質(zhì)正方形的性質(zhì)：具有矩形、菱形、平行四邊形的一切性質(zhì)，即：①邊：四條邊相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行；②角：四個(gè)角都是直角.知2－講知2－講例2已知：如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線的交

點(diǎn)為O，E是OB上的一點(diǎn)，DG⊥AE于G，DG

交AO于F，求證：EF∥AB.要證EF∥AB，由于∠OBA＝45°，∠EOF＝90°，即需證∠OEF＝45°，即要證明OE＝OF，而OE＝OF可通過證明△AEO≌△DFO獲得．導(dǎo)引：（來自《點(diǎn)撥》）知2－講（來自《點(diǎn)撥》）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.又∵DG⊥AE，∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.∴△AEO≌△DFO(ASA)．∴OE＝OF.∴∠OEF＝45°.∴∠OEF＝∠OBA.∴EF∥AB.證明：總

結(jié)知2－講（來自《點(diǎn)撥》）通過證明三角形全等得到邊和角相等，再進(jìn)一步得到平行或垂直，是有關(guān)正方形中證邊或角相等的最常用的方法，而正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角為證明三角形全等提供了條件．1已知：如圖，四邊形ABCD和BGFE都是正方形.求證：AE=CG.知2－練（來自教材）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°.∵四邊形BGFE是正方形，∴BE＝BG，∠EBG＝90°.∴∠ABC－∠EBC＝∠EBG－∠EBC，即∠ABE＝∠CBG.∴△ABE≌△CBG.∴AE＝CG.解：

知2－練（來自《典中點(diǎn)》）正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是(

)A．四個(gè)角都相等B．四條邊相等C．對(duì)角線相等D．對(duì)角線互相平分2B知2－練（來自《典中點(diǎn)》）【中考·寧波】一個(gè)大矩形按如圖方式分割成九個(gè)小矩形，且只有標(biāo)號(hào)為①和②的兩個(gè)小矩形為正方形，在滿足條件的所有分割中，若知道九個(gè)小矩形中n個(gè)小矩形的周長(zhǎng)，就一定能算出這個(gè)大矩形的面積，則n的最小值是(

)A．3B．4C．5D．63A知2－練（來自《典中點(diǎn)》）如圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點(diǎn)連線EF為邊的正方形EFGH的周長(zhǎng)為(

)

A.B．2C.＋1D．2＋14B【中考·畢節(jié)】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH.若BE∶EC＝2∶1，則線段CH的長(zhǎng)是(

)A．3

B．4

C．5

D．65B知2－練（來自《典中點(diǎn)》）知3－講3知識(shí)點(diǎn)正方形角的性質(zhì)例3

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，AC為對(duì)角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的長(zhǎng)．線段BE是Rt△ABE的一邊，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由條件可證△ABE≌△AFE，問題轉(zhuǎn)化為求EF的長(zhǎng)，結(jié)合已知條件易獲解．導(dǎo)引：（來自《點(diǎn)撥》）知3－講（來自《點(diǎn)撥》）∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.

又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF，∴FC＝BE.

在Rt△ABC中，AC∴FC＝AC－AF＝(－1)(cm)，∴BE＝(－1)cm.解：總

結(jié)知3－講（來自《點(diǎn)撥》）

解有關(guān)正方形的問題，要充分利用正方形的四邊相等、四角相等、對(duì)角線垂直平分且相等等性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的特點(diǎn)、勾股定理是解決正方形的相關(guān)證明與計(jì)算問題的三把鑰匙．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC為菱形AEFC的一邊.求∠FAB的度數(shù).知3－練1（來自教材）由題意可知∠CAE＝∠DAB＝45°.∵在菱形AEFC中，AF平分∠CAE，∴∠FAB＝∠CAE＝22.5°.解：如圖，E是正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=BD，AE交DC于點(diǎn)F.求∠AFC的度數(shù).知3－練2（來自教材）連接AC，在正方形ABCD中，AC＝BD，AD∥BC，∠DAC＝∠ACD＝45°.∵BD＝CE，∴AC＝CE.∴∠CAE＝∠CEA.∵AD∥CE，∴∠DAF＝∠AEC.∴∠DAF＝∠CAE＝∠DAC＝22.5°.又∵∠ACF＝45°，∴∠AFC＝112.5°.解：知3－練【中考·河北】如圖是邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片，過兩個(gè)頂點(diǎn)剪掉一個(gè)三角形，以下四種剪法中，裁剪線長(zhǎng)度所標(biāo)的數(shù)據(jù)(單位：cm)不正確的是(

)3A（來自《典中點(diǎn)》）知3－練（來自《典中點(diǎn)》）【中考·郴州】如圖，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF為直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，則EF的長(zhǎng)是(

)A．7B．8C．7D．74C知3－練【中考·河南】我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，固定點(diǎn)A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點(diǎn)D落在y軸正半軸上點(diǎn)D′處，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(

)A．(，1)B．(2，1)C．(1，)D．(2，)5D（來自《典中點(diǎn)》）1知識(shí)小結(jié)正方形同時(shí)具備平行四邊形、菱形、矩形的所有性質(zhì)，因此，正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，對(duì)角線互相垂