2023-2024學(xué)年吉黑兩省九校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線C的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.2．點(diǎn)到直線的距離為A.1 B.2C.3 D.43．已知數(shù)列中，，()，則（）A. B.C. D.24．已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是（）A. B.5C. D.75．三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，數(shù)學(xué)家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線解決了這個(gè)問題．如圖，在圓D中，為其一條弦，，C，O是弦的兩個(gè)三等分點(diǎn)，以A為左焦點(diǎn)，B，C為頂點(diǎn)作雙曲線T．設(shè)雙曲線T與弧的交點(diǎn)為E，則．若T的方程為，則圓D的半徑為（）A. B.1C.2 D.6．過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.7．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.和 B.和C.和 D.和8．元朝著名的數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走.遇店添一倍，逢友飲一斗.”基于此情景，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，若輸入的，輸出的，則判斷框中可以填（）A. B.C. D.9．下列說法錯誤的是（）A.“若，則”的逆否命題是“若，則”B.“”的否定是”C.“是"”的必要不充分條件D.“或是"”的充要條件10．已知點(diǎn)在拋物線：上，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，則拋物線C的方程為（）A. B.C. D.11．校慶當(dāng)天，學(xué)校需要在靠墻的位置用圍欄圍起一個(gè)面積為200平方米的矩形場地.用來展示校友的書畫作品.靠墻一側(cè)不需要圍欄，則圍欄總長最小需要（）米A.20 B.40C. D.12．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓上的動點(diǎn)，，，則的最小值為（）A. B.C D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),,對任意實(shí)數(shù)都有,則不等式的解集為___________.14．已知、雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A、B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且滿足，，則雙曲線的離心率為___________.15．已知數(shù)列滿足0，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為____，則數(shù)列的前項(xiàng)和______16．在等比數(shù)列中，已知，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)M在線段上，且，試問在線段上是否存在一點(diǎn)N，滿足平面，若存在求的值，若不存在，請說明理由？18．（12分）已知雙曲線與有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值.19．（12分）已知橢圓的焦距為，離心率為（1）求橢圓方程；（2）設(shè)過橢圓頂點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，，成等比數(shù)列，求的值20．（12分）已知圓O：與圓C：（1）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填在下面的橫線上，并解答若______，判斷這兩個(gè)圓位置關(guān)系；（2）若，求直線被圓C截得的弦長注：若第（1）問選擇兩個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)作答計(jì)分21．（12分）已知函數(shù)，其中a為正數(shù)（1）討論單調(diào)性；（2）求證：22．（10分）如圖所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，（1）證明：；（2）若點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)雙曲線的離心率，求出即可得到結(jié)論【詳解】∵雙曲線的離心率是，∴，即1+，即1，則，即雙曲線的漸近線方程為，故選：B2、B【解析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】，答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于簡單題.3、A【解析】由已知條件求出，可得數(shù)是以3為周期的周期數(shù)列，從而可得，進(jìn)而可求得答案【詳解】因?yàn)椋?)，所以，所以數(shù)列的周期為3，，故選：A4、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D5、C【解析】由題設(shè)寫出雙曲線的方程,對比系數(shù),求出即可獲解【詳解】由題知所以雙曲線的方程為又由題設(shè)的方程為,所以,即設(shè)AB的中點(diǎn)為,則由.所以,即圓的半徑為2故選：C6、A【詳解】因?yàn)樗笾本€垂直于直線，又直線的斜率為，所以所求直線的斜率，所以直線方程為，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】利用圓的一般方程的圓心和半徑公式，即得解【詳解】可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標(biāo)為，半徑為.故選：C8、D【解析】根據(jù)程序框圖的算法功能，模擬程序運(yùn)行即可推理判斷作答.【詳解】由程序框圖知，直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，先執(zhí)行循環(huán)體，條件不滿足，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，條件滿足跳出循環(huán)體，則有：當(dāng)?shù)谝淮螆?zhí)行循環(huán)體時(shí)，，，條件不滿足，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；當(dāng)?shù)诙螆?zhí)行循環(huán)體時(shí)，，，條件不滿足，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；當(dāng)?shù)谌螆?zhí)行循環(huán)體時(shí)，，，條件不滿足，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；當(dāng)?shù)谒拇螆?zhí)行循環(huán)體時(shí)，，，條件不滿足，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；當(dāng)?shù)谖宕螆?zhí)行循環(huán)體時(shí)，，，條件滿足，跳出循環(huán)體，輸出，于是得判斷框中的條件為：，所以判斷框中可以填：.故選：D9、C【解析】利用逆否命題、命題的否定、充分必要性的概念逐一判斷即可.【詳解】對于A，“若，則”的逆否命題是“若，則”，正確；對于B，“”的否定是”，正確；對于C，“”等價(jià)于“或，∴“是"”的充分不必要條件，錯誤；對于D，“或是"”的充要條件，正確.故選：C10、D【解析】由拋物線定義可得，注意開口方向.詳解】設(shè)∵點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4∴∵，∴.得：.故選：D.11、B【解析】在出矩形中，設(shè)，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解【詳解】如圖所示，在矩形中，設(shè)，則，根據(jù)題意，可得矩形圍欄總長為因?yàn)椋傻茫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，即圍欄總長最小需要米.故選：B.12、A【解析】由橢圓的定義可得；利用基本不等式，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.【詳解】根據(jù)橢圓的定義可知，，即，因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】令則，∴在R上是減函數(shù)又等價(jià)于∴故不等式的解集是答案：點(diǎn)睛：本題考查用構(gòu)造函數(shù)的方法解不等式，即通過構(gòu)造合適的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式的解集，解題時(shí)要注意常見的函數(shù)類型，如在本題中由于涉及到，故可從以下兩種情況入手解決：（1）對于，可構(gòu)造函數(shù)；（2）對于，可構(gòu)造函數(shù)14、【解析】可得四邊形為矩形，運(yùn)用三角函數(shù)的定義可得，，由雙曲線的定義和矩形的性質(zhì)，可得，由離心率公式求解即可.【詳解】、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，可得四邊形為矩形，在中，，∴，在中，，可得，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：得出四邊形為矩形，利用雙曲線的定義解決焦點(diǎn)三角形問題.15、①.②.【解析】第一空：先構(gòu)造等比數(shù)列求出，即可求出的通項(xiàng)公式；第二空：先求出，令，通過錯位相減求出的前項(xiàng)和為，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及分組求和即可求解.【詳解】第一空：由可得，又，則是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，則；第二空：，設(shè)，前項(xiàng)和為，則，，兩式相減得，則，又，則.故答案為：；.16、2【解析】由等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】由等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)得：故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）存在，的值為.【解析】（1）先證明,再證明，由線面垂直的判定定理求證即可;（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由平面，利用向量法能求出的值【詳解】（1）在三棱柱中，平面ABC，，.∴，，，∵，∴平面，∵平面，∴，∵，∴平面.（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，點(diǎn)M在線段上，且，點(diǎn)N在線段上，設(shè)，，設(shè)，則，，，即，解得，，，∵，∴，解得.∴的值為.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)所求雙曲線與有共同的漸近線可設(shè)出所求雙曲線方程為，在根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，代入雙曲線方程中即可求解.（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得出的關(guān)系，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓方程即可求解.【小問1詳解】由題意，設(shè)雙曲線的方程為，則又因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，，所以雙曲線的方程為：【小問2詳解】由，消去整理，得，設(shè)，則因?yàn)橹本€與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，所以，解得.，所以則中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入圓得，解得.實(shí)數(shù)的值為19、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距為，離心率為結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于的方程組，求出從而求出橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，求出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，然后利用|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，即可求解【詳解】（1）由已知，，解得，所以橢圓的方程為（2）由（1）得過點(diǎn)的直線為，由，得，所以，所以，依題意，因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，所以，所以，即，當(dāng)時(shí)，，無解，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，解得，所以，當(dāng)，，成等比數(shù)列時(shí)，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛（1）求橢圓方程的常用方法：①待定系數(shù)法；②定義法；③相關(guān)點(diǎn)法（2）直線與圓錐曲線的綜合問題，常將直線方程代入圓錐曲線方程，從而得到關(guān)于（或）的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)），利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)的關(guān)系,同時(shí)注意判別式大于零求出參數(shù)的范圍（或者得到關(guān)于參數(shù)的不等關(guān)系），然后將所求轉(zhuǎn)化到參數(shù)上來再求解．如本題及，聯(lián)立即可求解．注意圓錐曲線問題中，常參數(shù)多、字母多、運(yùn)算繁瑣，應(yīng)注意設(shè)而不求的思想、整體思想的應(yīng)用．屬于中檔題.20、（1）選①:外離；選②：相切;（2）【解析】(1)不論選①還是選②，都要首先算出兩圓的圓心距，然后和兩圓的半徑之和或差進(jìn)行比較即可；(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，先計(jì)算圓心到直線的距離，然后利用圓心距、半徑、弦長的一半之間的關(guān)系求解.【小問1詳解】選①圓O的圓心為，半徑為l；圓C圓心為，半徑為因?yàn)閮蓤A的圓心距為，且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外離選②圓O的圓心為，半徑為1．圓C的圓心為，半徑為2因?yàn)閮蓤A的圓心距為．且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外切【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)C到直線的距離，所以直線被圓C截得的弦長為21、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并且求的兩個(gè)根，然后分類討論，和三種情況下對應(yīng)的單調(diào)性；（2）令，通過二次求導(dǎo)法，判斷函數(shù)的單調(diào)性與最小值，設(shè)的零點(diǎn)為，求出取值范圍，最后將轉(zhuǎn)化為的對勾函數(shù)并求解最小值，即可證明出不等式.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椤吡畹谩撸啵没颌佼?dāng)，即時(shí)，時(shí)，或；時(shí)，.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增②當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，或；時(shí)，.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增③當(dāng)，即時(shí)，∴在上單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增【小問2詳解】令，（）∴，令∴，∴在上單調(diào)遞增又∵，，∴使得，即（*）∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴單調(diào)遞增∴，（）由（*）式可知：，∴，∴∵，∴函數(shù)單調(diào)遞減∴，∴∴【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是利用二次求導(dǎo)法，通過虛設(shè)零點(diǎn)，求解原函數(shù)的單調(diào)性與最小值，并通過最小值的取值范圍證明不等式.