第三節矩陣的秩主要內容矩陣的秩的概念；初等變換不改變矩陣的秩的原理，以及矩陣的秩的求法；矩陣的秩的基本性質.基本要求理解矩陣的秩的概念，知道初等變換不改變矩陣的秩的原理；掌握用初等變換求矩陣的秩的方法；知道矩陣的標準形與秩的聯系；知道矩陣的秩的基本性質.1線性代數-矩陣的秩--期末復習資料一、k階子式例如是的一個2階子式，的2階子式共有個.一般地，矩陣的階子式共有個.2線性代數-矩陣的秩--期末復習資料二、矩陣的秩定義設在矩陣中有一個不等于零的階子式，且所有階子式（如果存在的話）全等于零，那么稱為矩陣的最高階非零子式，數稱為矩陣的秩，記作或.規定：零矩陣的秩等于0.例1求矩陣和的秩.3線性代數-矩陣的秩--期末復習資料在中，容易看出一個2階子式的3階子式只有一個因此在中，

由于它是行階梯形矩陣，容易看出它的4階子式全為零，而以三個非零行的首非零元為對角元的3階子式不等于零，因此這里的兩個行列式分別是和的最高階非零子式4線性代數-矩陣的秩--期末復習資料說明根據行列式的展開法則知，在中當所有階子式全為零時，所有高于階的子式也全為零，因此把階非零子式稱為最高階非零子式；矩陣的秩就是中不等于零的子式的最高階數，這就是矩陣的秩所表明的矩陣的一個特征；當矩陣中有某個階子式不為0，則

當矩陣中所有階子式都為0，則5線性代數-矩陣的秩--期末復習資料對于階矩陣，當時，稱為滿秩矩陣；否則稱為降秩矩陣.

由于階矩陣的階子式只有一個，當時，所以可逆矩陣的秩等于矩陣的階數，可逆矩陣又稱滿秩矩陣，不可逆矩陣又稱降秩矩陣.6線性代數-矩陣的秩--期末復習資料四、矩陣的秩的計算定理1若，則即兩個等價矩陣的秩相等.說明根據此定理，為求矩陣的秩，只要把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數即是矩陣的秩.證明略7線性代數-矩陣的秩--期末復習資料例2設求矩陣的秩，并求的一個最高階非零子式.解析：根據定理1，為求的秩，只需將化為行階梯形矩陣.8線性代數-矩陣的秩--期末復習資料所以大多情況下只用初等行變換，不用初等列變換9線性代數-矩陣的秩--期末復習資料再求的一個最高階非零子式.因此

在中,找一個3階非零子式是比較容易的，另外注意到，的子式都是的子式，所以易求得的一個最高階非零子式10線性代數-矩陣的秩--期末復習資料說明最高階非零子式一般是不唯一的.上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外觀察法也是常用的方法.11線性代數-矩陣的秩--期末復習資料例3設已知，求與的值.解析：這是一道已知矩陣的秩，討論其中參數的值的題目.一般有兩個途徑，一是用定義；二是用初等變換.當時，的3階子式全為零，從而可以計算出參數的值.下面用初等變換解答此題.12線性代數-矩陣的秩--期末復習資料因為，故即說明此方法就是，用初等變換，將矩陣化為比較簡單的矩陣，然后根據矩陣的秩進行討論.13線性代數-矩陣的秩--期末復習資料分塊矩陣的概念用一些橫線和豎線把矩陣分成若干小塊，這種“操作”稱為對矩陣進行分塊，每一個小塊稱為子塊；這樣處理矩陣的方法稱為分塊法；矩陣分塊后，以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.說明分塊矩陣只是形式上的矩陣；分塊法的優越之處是：把大矩陣的運算化為小矩陣的運算.矩陣分塊后，能突出該矩陣的結構，從而可利用它的特殊結構，使運算簡化.可為某些命題的證明提供方法.14線性代數-矩陣的秩--期末復習資料例如得到4個子塊：以這些子塊為元素，于是，得到的按照這種分法的分塊矩陣：這是一個形式上為的分塊矩陣15線性代數-矩陣的秩--期末復習資料對還可以進行其它分法，如下面的兩種分法：16線性代數-矩陣的秩--期末復習資料五、矩陣的秩的性質若為矩陣，則

若，則

若可逆，則

特別地，當b為列向量時，有即，分塊矩陣的秩不小于每一個子塊的秩，不超過所有子塊的秩之和.17線性代數-矩陣的秩--期末復習資料矩陣的秩的性質

若則

（下節）（下章）18線性代數-矩陣的秩--期末復習資料例4設為矩陣，為矩陣，證明證根據性質7，有而為階矩陣，所以關于矩陣的秩的性質的證明題19線性代數-矩陣的秩--期末復習資料關于矩陣的秩的性質的證明題例5設為階矩陣，證明證因為由性質6，有而所以20線性代數-矩陣的秩--期末復習資料六、小結矩陣的秩是用矩陣的最高階非零子式的階數定義的；矩陣的秩的求法：根據定義，求最高階非零子式的階數，根據初等變換不改變矩陣的秩