第第頁獲取更多資料，關注微信公眾號：Hi數學派考向13函數的零點及函數的應用1．判斷函數y=f（x）在某個區間上是否存在零點，主要利用函數零點的存在性定理進行判斷．首先看函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是否連續，然后看是否有．若有，則函數在區間內必有零點．2．判斷函數y=f（x）的零點個數時，常用以下方法：（1）解方程：當對應方程易解時，可通過解方程，判斷函數零點的個數；（2）根據函數的性質結合已知條件進行判斷；（3）通過數形結合進行判斷，畫函數圖象，觀察圖象與軸交點的個數來判斷．3．已知函數有零點（方程有根），求參數的取值范圍常用的方法：（1）直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍．（2）分離參數法：先將參數分離，再轉化成求函數值域問題加以解決．（3）數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，再數形結合求解．4．解決函數應用問題的步驟（1）審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；（2）建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；（3）解模：求解數學模型，得出數學結論；（4）還原：將數學結論還原為實際問題的意義．判斷函數零點個數的方法：（1）利用零點存在性定理判斷法；（2）代數法：求方程的實數根；（3）幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數的圖象聯系起來，利用函數的性質找出零點或利用兩個函數圖象的交點求解．在利用函數性質時，可用求導的方法判斷函數的單調性．一、函數的零點對于函數，我們把使的實數叫做函數的零點．二、方程的根與函數零點的關系方程有實數根函數的圖像與軸有公共點函數有零點．三、零點存在性定理如果函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區間內有零點，即存在，使得也就是方程的根．1．（2022·河南安陽·模擬預測（文））已知函數經過點，且在上只有一個零點，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．2．（2022·北京工業大學附屬中學三模）已知實數是方程的一個解，是方程的一個解，則可以是（

）A． B． C． D．3．（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））函數在區間上的所有零點之和為（

）A． B．C． D．4．（2022·廣東惠州·二模）函數的圖像與函數的圖像的交點個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．01．（2022·廣西·貴港市高級中學三模（理））已知在有且僅有6個實數根，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2022·山東師范大學附中模擬預測）已知函數有唯一零點，則實數（

）A．1 B． C．2 D．3．（2022·青海·海東市第一中學模擬預測（理））若函數有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2022·上海浦東新·二模）已知，，，實數滿足，設，，現有如下兩個結論：①對于任意的實數，存在實數，使得；②存在實數，對于任意的，都有；則（

）A．①②均正確 B．①②均不正確C．①正確，②不正確 D．①不正確，②正確5．（2022·江西·模擬預測（理））已知函數的圖象關于直線對稱，對，都有恒成立，當時，若函數的圖象和直線，有5個交點，則k的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（2022·浙江紹興·模擬預測）定義在R上的偶函數滿足，當時，若在區間內，函數有個5零點，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2022·全國·南京外國語學校模擬預測）已知函數，若函數有三個零點，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·浙江·模擬預測）已知函數的定義域為，對任意，都有．現已知，那么（

）A． B． C． D．9．（2022·河南安陽·模擬預測（理））已知函數，在處的切線斜率為，若在上只有一個零點，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．10．（2022·云南師大附中模擬預測（理））已知函數的最大值為2，若方程在區間內有三個實數根，且，則等于（

）A． B． C． D．11．（2022·北京市大興區興華中學三模）已知，若函數有兩個不同的零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．（2022·山東煙臺·三模）已知函數，若方程有且僅有三個實數解，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．13．（2022·安徽·合肥市第六中學模擬預測（理））已知函數，，的零點分別為a，b，c則a，b，c的大小順序為（

）A． B．C． D．14．（2022·全國·模擬預測）已知函數以下結論正確的是（

）A．在區間[7,9]上是增函數B．C．若函數在上有6個零點，則D．若方程恰有3個實根，則15．（2022·廣東·潮州市瓷都中學三模）定義在上的偶函數滿足，當時，，設函數，則正確的是（

）A．函數圖像關于直線對稱 B．函數的周期為6C． D．和的圖像所有交點橫坐標之和等于816．（2022·浙江省江山中學模擬預測）已知函數當時，函數有_________個零點；記函數的最大值為，則的值域為_________．17．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（文））已知定義在（0，+）上的函數f（x）滿足：，若方程在（0，2]上恰有三個根，則實數k的取值范圍是___________.18．（2022·上海黃浦·二模）對于給定的正整數()，定義在區間上的函數滿足：當時，，且對任意的，都成立．若與有關的實數使得方程在區間上有且僅有一個實數解，則關于的方程的實數解的個數為____________．19．（2022·上海松江·二模）已知函數，是定義在R上的奇函數，且滿足，當時，．則當時，方程實根的個數為_______．20．（2022·吉林·東北師大附中模擬預測（理））已知函數，若，且，則的取值范圍是______．21．（2022·廣東·模擬預測）已知函數滿足時，，．若函數的圖像與x軸恰好有個不同的交點，則_________．1．（2021·天津·高考真題）設，函數，若在區間內恰有6個零點，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2020·天津·高考真題）已知函數若函數恰有4個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2020·海南·高考真題）基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)（

）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天4．（2020·全國·高考真題（理））在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（

）A．10名 B．18名 C．24名 D．32名5．（2020·全國·高考真題（理））若，則（

）A． B． C． D．6．（2019·全國·高考真題（文））函數在的零點個數為A．2 B．3 C．4 D．57．（2019·浙江·高考真題）已知，函數，若函數恰有三個零點，則A． B．C． D．8．（2019·全國·高考真題（理））2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M１，月球質量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：.設，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為A． B．C． D．9．（2019·北京·高考真題（理））李明自主創業，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．10．（2022·北京·高考真題）若函數的一個零點為，則________；________．11．（2021·北京·高考真題）已知函數，給出下列四個結論：①若，恰有2個零點；②存在負數，使得恰有1個零點；③存在負數，使得恰有3個零點；④存在正數，使得恰有3個零點．其中所有正確結論的序號是_______．12．（2019·江蘇·高考真題）設是定義在上的兩個周期函數，的周期為4，的周期為2，且是奇函數.當時，，，其中.若在區間上，關于的方程有8個不同的實數根，則的取值范圍是_____.1．【答案】C【解析】因為經過點，所以，因為，所以，即，令，因為，所以，因為在上只有一個零點，所以有，所以的最大值為，故選：C2．【答案】B【解析】解：依題意，，即，，所以，即或，所以或；故選：B3．【答案】C【解析】解：因為，令，即，當時顯然不成立，當時，作出和的圖象，如圖，它們關于點對稱，由圖象可知它們在上有4個交點，且關于點對稱，每對稱的兩個點的橫坐標和為，所以4個點的橫坐標之和為．故選：C．4．【答案】C【解析】在上是增函數，在和上是減函數，在和上是增函數，，，，作出函數的圖像，如圖，由圖像可知它們有4個交點．故選：C．1．【答案】D【解析】解：由，得，即.設，即在有且僅有6個實數根，因為，故只需，解得，故選：D．2．【答案】D【解析】設，定義域為R,∴，故函數為偶函數，則函數的圖象關于y軸對稱，故函數的圖象關于直線對稱，∵有唯一零點，∴，即．故選：D．3．【答案】D【解析】由得，令，由，得，因此函數在上單調遞增，在上單調遞減，且，當時，，則的圖像如圖所示：即函數的最大值為，令，則，由二次函數的圖像可知，二次方程的一根必在內，另一根或或上，當時，，則另一根，不滿足題意，當時，a＝0，則另一根，不滿足題意，當時，由二次函數的圖像可知，解得，則實數的取值范圍是，故選：D.4．【答案】C【解析】對①，的幾何意義為與兩點間的斜率，同理的幾何意義為與兩點間的斜率.數形結合可得，當時，存在；當時，存在，使得，即成立.即對于任意的實數，存在實數，使得，故①正確；對②，若存在實數，對于任意的，都有，即，即，即.即存在實數，對于任意的，恒成立.設，則，即為減函數.故原題意可轉化為：存在實數，使得在上為減函數.因為當時，，因為對稱軸為，故當時一定為增函數，故不存在實數，使得在上為減函數.故②錯誤故選：C5．【答案】C【解析】由題設關于y軸對稱，即為偶函數，又，則，即是周期為4的函數，若，則，故，所以且，又過定點，所以與的部分圖象如下圖示：當過時，；當過時，；由圖知：時，和直線有5個交點.故選：C6．【答案】D【解析】由題意知，函數為偶函數，且，令，則，所以函數是以4為周期的函數.當時，，所以，即當時，因為函數在上有5個零點，所以方程在上有5個根，即函數圖像與在上有5個不同的交點，如圖，由圖可知，且，即，解得，又當時，函數圖像與在上有4個不同的交點，不符合題意，故m的取值范圍為.故選：D.7．【答案】A【解析】（1）當a<0時，，令，得，或（舍去），令，得，令，得，若函數有三個零點，則，無解，即不可能有三個零點；（2）當a=0時，，由（1）知有，或，三個零點，滿足題意；（3）當a>0時，，當時有一個零點，是函數的一個零點，所以當時函數只有一個零點，令，得，或（舍去），令，得，即不論a取大于0的何值，是函數的一個零點，故有三個零點，綜上，實數a的取值范圍是故選:A8．【答案】D【解析】不妨設，則，所以，得，，因為，所以．令，易得在上單調遞增，因為，，由零點存在定理知：.故選：D．9．【答案】C【解析】依題意，，則，即，而，解得，因此，，由得：，又，有，因在上只有一個零點，于是得，解得，所以的最大值為2.故選：C10．【答案】A【解析】，由題知，且，解得，于是．方程在區間內的實數根，即為在區間內的圖象與直線的交點的橫坐標，如圖所示，由圖象的對稱性可知，，即，，所以，故選：A．11．【答案】A【解析】，則是函數的一個零點由，解得要使得有兩個不同的零點，則故選：A12．【答案】B【解析】解：作出函數的圖象如圖：依題意方程有且僅有三個實數解，即與有且僅有三個交點，因為必過，且，若時，方程不可能有三個實數解，則必有，當直線與在時相切時，設切點坐標為，則，即，則切線方程為，即，切線方程為，且，則，所以，即當時與在上有且僅有一個交點，要使方程有且僅有三個的實數解，則當時與有兩個交點，設直線與切于點，此時，則，即，所以，故選：B13．【答案】D【解析】由得，，由得，由得.在同一平面直角坐標系中畫出、、的圖象，由圖象知，，.故選：D14．【答案】BC【解析】A：由題意,當時以3為周期的函數，故在[7,9]上的單調性與在[-2,0]上的單調性相同，而當時，∴在[-2,0]上不單調，錯誤；B：，，故，正確；C：作出的函數圖象如圖所示：由于在上有6個零點，故直線與在上有6個交點，不妨設，i＝1，2，3，4，5，由圖象知:，關于直線對稱，，關于直線對稱，，關于直線對稱，∴，正確；D：若直線經過(3,0)，則，若直線與相切，則消元可得：，令可得，解得k＝-1或k＝-5（舍），若直線與在(0,3)上的圖象相切，由對稱性得:k＝1．因為恰有3個實根，故直線與有3個交點，∴或k＝1，錯誤，故選：BC．15．【答案】AD【解析】，函數圖像關于直線對稱，故A正確；又為偶函數，，所以函數的周期為4，故B錯誤；由周期性和對稱性可知，，故C錯誤；做出與的圖像，如下：由圖可知，當時，與共有4個交點，與均關于直線對稱，所以交點也關于直線對稱，則有，故D正確.故選：AD.16．【答案】

2

【解析】解：當時，，當時，，則，當時，，則，所以當時，函數有2個零點；令，則，當時，，當時，，所以函數在上遞增，在上遞減，所以，當時，，當時，，令，則，如圖，分別作出函數和的圖象，由圖可知，函數的最大值為，即的值域為.故答案為：2；.17．【答案】【解析】方程在（0，2]上恰有三個根，即直線與函數的圖像有三個交點，當時，，則，當時，；當時，，所以f（x）在（0，）上單調遞減，f（x）在（，1]上單調遞增.結合函數的“周期現象”得f（x）在（0，2]上的圖像如下：由于直線l；過定點A（0，）.如圖連接A，B（1，0）兩點作直線，過點A作的切線l2，設切點P（，），其中，則斜率切線過點A（0，）.則，即，則，當直線繞點A（0，）在與之間旋轉時.直線與函數在[-1，2]上的圖像有三個交點，故故答案為：18．【答案】【解析】由題意，畫出在之間的圖象，又對任意的，都成立，可理解為區間的圖象由區間的圖象往右平移一個單位，再往上平移一個單位所得，即可畫出在上的圖象.故若與有關的實數使得方程在區間上有且僅有一個實數解，則與在區間上的圖象相切，且易得的圖象在與區間區間，…，上的公切線之間.故與在區間，…上均有2個交點，故關于的方程的實數解的個數為個故答案為：19．【答案】506【解析】因為，所以的圖像關于對稱又是定義在R上的奇函數，圖像關于原點對稱，所以是周期為8的周期函數分別作出在上的圖像，共2個交點；又剛好為的252個周期，易知在每個周期內有兩個交點，在上共有504個交點，綜上，共有506個交點，即方程實根的個數為506.故答案為：50620．【答案】【解析】的圖象如圖，因為，所以，因為，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，則，所以，令，則，當時，，所以在上遞減，所以，所以，所以的取值范圍為，故答案為：21．【答案】【解析】∵，∴，所以函數周期為4，當時，，即；當時，，函數周期為4，令，即與函數恰有個不同的交點，根據圖象知，直線與第個半圓相切，故，故，所以．故答案為：.1．【答案】A【解析】最多有2個根，所以至少有4個根，由可得，由可得，（1）時，當時，有4個零點，即；當，有5個零點，即；當，有6個零點，即；（2）當時，，，當時，，無零點；當時，，有1個零點；當時，令，則，此時有2個零點；所以若時，有1個零點.綜上，要使在區間內恰有6個零點，則應滿足或或，則可解得a的取值范圍是.2．【答案】D【解析】注意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根即可，令，即與的圖象有個不同交點.因為，當時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；當時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；當時，如圖3，當與相切時，聯立方程得，令得，解得（負值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D.

【點晴】本題主要考查函數與方程的應用，考查數形結合思想，轉化與化歸思想，是一道中檔題.3．【答案】B【解析】因為，，，所以，所以，設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為天，則，所以，所以，所以天.故選：B.4．【答案】B【解析】由題意，第二天新增訂單數為，，故至少需要志愿者名.故選：B【點晴】本題主要考查函數模型的簡單應用，屬于基礎題.5．【答案】B【解析】設，則為增函數，因為所以，所以，所以.，當時，，此時，有當時，，此時，有，所以C、D錯誤.故選：B.【點晴】本題主要考查函數與方程的綜合應用，涉及到構造函數，利用函數