中考24題圖形的證明專項(xiàng)訓(xùn)練一．選擇題（共1小題）1．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，則DF的長(zhǎng)為（）A．1B．2C．3D．4二．填空題（共2小題）2．如圖，設(shè)△ABC的面積是1，D是邊BC上一點(diǎn)，且，若在邊AC上取一點(diǎn)，使四邊形ABDE的面積為，則的值為_________．3．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△BAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1恰落在∠BCD的平分線上時(shí)，則CA1的長(zhǎng)為_________．三．解答題（共27小題）考點(diǎn)：沿中點(diǎn)將線段延長(zhǎng)一倍.4．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，連接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的長(zhǎng)．（2）若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：CE=BE﹣AD．5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC于G，BH⊥DC于H，CH=DH，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上，并且EF∥DC．（1）若AD=3，CG=2，求CD；（2）若CF=AD+BF，求證：EF=CD．6．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點(diǎn)，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接AD，EC．（1）求證：△ADC≌△ECD；（2）若BD=CD，求證：四邊形ADCE是矩形．7．如圖，正方形ABCD中，M為AD邊上的一點(diǎn)，連接BM，過點(diǎn)C作CN∥BM，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，在CN上截取CE=BC，連接BE交CD于F，（1）若∠AMB=60°，CE=，求DF的長(zhǎng)度；（2）求證：BM=DN+CF．8．如圖，E為正方形ABCD的CD邊上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)A作AF∥BE，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠ABE的平分線分別交AF、AD于點(diǎn)G、H．（1）若∠CBE=30°，AG=，求DH的長(zhǎng)度；（2）證明：BE=AH+DF．9．如圖正方形ABCD中，E為AD邊上的中點(diǎn)，過A作AF⊥BE，交CD邊于F，M是AD邊上一點(diǎn)，且有BM=DM+CD．（1）求證：點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)；（2）求證：∠MBC=2∠ABE．10．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為矩形的邊CD上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AE中點(diǎn)，連接BP并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)F，點(diǎn)M為邊CD上一點(diǎn)，連接FM，且∠1=∠2．（1）若AD=2，DE=1，求AP的長(zhǎng)；（2）求證：PB=PF+FM．11．已知正方形ABCD，點(diǎn)P、Q分別是邊AD、BC上的兩動(dòng)點(diǎn)，將四邊形ABQP沿PQ翻折得到四邊形EFQP，點(diǎn)E在線段CD上，EF交BC于G，連接AE．求證：（1）EA平分∠DEF；（2）EC+EG+GC=2AB．12．已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且EF=ED，EF⊥ED．求證：AE平分∠BAD．13．如圖，已知點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CA，連接AE，過點(diǎn)C作CF⊥AE，垂足為點(diǎn)F，連接BF、FD．（1）求證：△FBC≌△FAD；（2）連接BD，若cos∠FBD=，且BD=10，求FC的值．考點(diǎn)：以矩形為背景.14．如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD外一點(diǎn)，DE⊥BD于點(diǎn)D，DE=CE，BD的垂直平分線交AD于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G．連接EF交BD于點(diǎn)H．（1）若∠CDE=∠DEH=∠HEC，求∠ABG的度數(shù)；（2）求證：H是EF的中點(diǎn)．考點(diǎn)：以菱形為背景.15．已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，過M作ME⊥CD于點(diǎn)E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的長(zhǎng)；（2）求證：AM=DF+ME．16．如圖1，菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，連接CE、CF．（1）求證：CE=CF；（2）如圖2，若H為AB上一點(diǎn)，連接CH，使∠CHB=2∠ECB，求證：CH=AH+AB．考點(diǎn):以正方形為背景.17．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交對(duì)角線BD于F，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，連接EG、AF．（1）求EG的長(zhǎng)；（2）求證：CF=AB+AF．18．已知：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G．DH平分∠ADE交CF于點(diǎn)H，連接BH．（1）若DG=2，求DH的長(zhǎng)；（2）求證：BH+DH=CH．19．如圖，正方形ABCD中，P在對(duì)角線BD上，E在CB的延長(zhǎng)線上，且PE=PC，過點(diǎn)P作PF⊥AE于F，直線PF分別交AB、CD于G、H，（1）求證：DH=AG+BE；（2）若BE=1，AB=3，求PE的長(zhǎng)．20．在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F，如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DF=CF．如圖（2），若點(diǎn)P在線段AO上（不與點(diǎn)A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于點(diǎn)E，（1）求證：DF=EF；（2）求證：．21．如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EF，若BE=DF，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．（1）求證：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面積．22．如圖，正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB邊上的一點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，作EH⊥FG交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．（1）若BC=8，BF=5，求線段FG的長(zhǎng)；（2）求證：EH=2EG．23．已知點(diǎn)E是正方形ABCD中的CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AD上一點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，AB=6．（1）求證：CG=DF；（2）連接BF，若BF＞GF，試求AF的范圍．24．如圖，在菱形ABCD中，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，使得∠E=∠B，過D作DH⊥AE于H．（1）若AB=10，DH=6，求HE的長(zhǎng)；（2）求證：AH=CE+EH．25．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上的一點(diǎn)，∠DAE的平分線AF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（1）若AB=8，BF=16，求CE的長(zhǎng)；（2）求證：AE=BE+DG．26．如圖，E是正方形ABCD的邊DC上的一點(diǎn)，過A作AF⊥AE，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．AE的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：AE=AF．（2）若AF=7，DE=2，求EG的長(zhǎng)．27．已知正方形ABCD如圖所示，連接其對(duì)角線AC，∠BCA的平分線CF交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BM⊥CF于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CP⊥CF，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求△ACP的面積；（2）求證：CP=BM+2FN．28．如圖，△AGB中，以邊AG、AB為邊分別作正方形AEFG、正方形ABCD，線段EB和GD相交于點(diǎn)H，tan∠AGB=，點(diǎn)G、A、C在同一條直線上．（1）求證：EB⊥GD；（2）若∠ABE=15°，AG=，求BE的長(zhǎng)．29．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段0D上一點(diǎn)，連接EC，作BF⊥CE于點(diǎn)F，交0C于點(diǎn)G．（1）求證：BG=CE；（2）若AB=4，BF是∠DBC的角平分線，求OG的長(zhǎng)．30．如圖，AC為正方形ABCD的一條對(duì)角線，點(diǎn)E為DA邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接BE，在BE上取一點(diǎn)F，使BF=BC，過點(diǎn)B作BK⊥BE于B，交AC于點(diǎn)K，連接CF，交AB于點(diǎn)H，交BK于點(diǎn)G．（1）求證：BH=BG；（2）求證：BE=BG+AE．

中考24題圖形的證明專項(xiàng)訓(xùn)練參考答案與試題解析一．選擇題（共1小題）1．（2011?阜新）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，則DF的長(zhǎng)為（）A．1B．2C．3D．4考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；矩形的性質(zhì)．專題：壓軸題；探究型．分析：作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接AE′交CD于點(diǎn)F，再根據(jù)△CEF∽△BEA即可求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出DF的長(zhǎng)．解答：解：作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接AE′交CD于點(diǎn)F，∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，∴BE=CE=CE′=4，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴=，即=，解得CF=2，∴DF=CD﹣CF=6﹣2=4．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出E點(diǎn)關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出CE′的長(zhǎng)，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．二．填空題（共2小題）2．如圖，設(shè)△ABC的面積是1，D是邊BC上一點(diǎn)，且，若在邊AC上取一點(diǎn)，使四邊形ABDE的面積為，則的值為．考點(diǎn)：三角形的面積；三角形的角平分線、中線和高．專題：計(jì)算題．分析：首先連接AD，利用三角形的面積公式和邊上的高相同，分別求出△ABD△ACD△ADE△CDE的面積，利用同高的三角形的面積比等于邊之比即可求出答案．解答：解：連接AD，設(shè)△ABD△ACD△ADE△CDE的面積分別為s1s2s3s4，∵△ABD的邊BD上和△ACD的邊CD上的高相同，=，由面積公式得：==，∵△ABC的面積是1，∴s1=，s2=，∵四邊形ABDE的面積為，即s3+s1=，∴s3=，∴s4=s2﹣s3=，∵△AED的邊AE上和△ECD的邊CE上的高相同，由面積公式得：===．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)三角形的面積公式的靈活運(yùn)用和掌握，特別是對(duì)三角形等高時(shí)面積之比等于邊之比的巧妙運(yùn)用．3．（2014?鄞州區(qū)模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△BAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1恰落在∠BCD的平分線上時(shí)，則CA1的長(zhǎng)為2±1．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．分析：如圖，過點(diǎn)A1作A1M⊥BC于點(diǎn)M．設(shè)CM=A1M=x，則BM=4﹣x．在直角△A1MB中，由勾股定理得到：A1M2=A1B2﹣BM2=9﹣（4﹣x）2．由此求得x的值；然后在等腰Rt△A1CM中，CA1=A1M．解答：解：如圖，過點(diǎn)A1作A1M⊥BC于點(diǎn)M．∵點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1恰落在∠BCD的平分線上，∴設(shè)CM=A1M=x，則BM=4﹣x．又由折疊的性質(zhì)知AB=A1B=3．∴在直角△A1MB中，由勾股定理得到：A1M2=A1B2﹣BM2=9﹣（4﹣x）2．∴9﹣（4﹣x）2=x2，∴x=A1M=2±，∴在等腰Rt△A1CM中，CA1=A1M=2±1．故答案是：2±1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題）．解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建直角三角形△A1MB和等腰直角△A1CM，利用勾股定理將所求的線段與已知線段的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來．三．解答題（共27小題）4．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，連接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的長(zhǎng)．（2）若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：CE=BE﹣AD．考點(diǎn)：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)．專題：證明題；壓軸題．分析：（1）作輔助線EM⊥AB，交AB于點(diǎn)M．由已知條件“AE=BE，EM⊥AB”知，EM是等腰三角形AEB底邊AB上的高線，所以AM=3，然后根據(jù)矩形的判定定理判定四邊形AMEF是矩形，再由勾股定理在Rt△AFE中求得AE=5；（2）延長(zhǎng)AF、BC交于點(diǎn)N．根據(jù)△ADF≌△NCF（AAS）的對(duì)應(yīng)邊相等知AD=CN；又∠B+∠N=90°，∠BAE+∠AEN=90°，AE=BE，∠B=∠BAE，所以AE=EN，所以知BE=EN=EC+CN=EC+AD，即CE=BE﹣AD．解答：解：（1）作EM⊥AB，交AB于點(diǎn)M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∵EF⊥AF，∴∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四邊形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延長(zhǎng)AF、BC交于點(diǎn)N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵F是CD的中點(diǎn)，∴DF=FC，∵∠AFD=∠NFC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了梯形、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及勾股定理．本題主要是通過作輔助線來構(gòu)建矩形與全等三角形的．5．（2014?南充模擬）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC于G，BH⊥DC于H，CH=DH，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上，并且EF∥DC．（1）若AD=3，CG=2，求CD；（2）若CF=AD+BF，求證：EF=CD．考點(diǎn)：直角梯形；勾股定理；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）由AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC得到四邊形ABGD為矩形，利用矩形的性質(zhì)有AD=BG=3，AB=DG，而BH⊥DC，CH=DH，根據(jù)等腰三角形的判定得到△BDC為等腰三角形，即有BD=BG+GC=3+2=5，先在Rt△ABD中求出AB，然后在Rt△DGC中求出DC；（2）由CF=AD+BF，AD=BG，經(jīng)過線段代換易得GC=2BF，再由EF∥DC得到∠BFE=∠GCD，根據(jù)三角形相似的判定易得Rt△BEF∽R(shí)t△GDC，利用相似比即可得到結(jié)論．解答：（1）解：連BD，如圖，∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC，∴四邊形ABGD為矩形，∴AD=BG=3，AB=DG，又∵BH⊥DC，CH=DH，∴△BDC為等腰三角形，∴BD=BG+GC=3+2=5，在Rt△ABD中，AB===4，∴DG=4，在Rt△DGC中，∴DC===2．（2）證明：∵CF=AD+BF，∴CF=BG+BF，∴FG+GC=BF+FG+BF，即GC=2BF，∵EF∥DC，∴∠BFE=∠GCD，∴Rt△BEF∽R(shí)t△GDC，∴EF：DC=BF：GC=1：2，∴EF=DC．點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形的性質(zhì)：有一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行，且有一個(gè)直角．也考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)．6．（2012?吉林）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點(diǎn)，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接AD，EC．（1）求證：△ADC≌△ECD；（2）若BD=CD，求證：四邊形ADCE是矩形．考點(diǎn)：矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．專題：證明題；壓軸題．分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理SAS可以證得△ADC≌△ECD；（2）利用等腰三角形的“三合一”性質(zhì)推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四邊形的判定定理（對(duì)邊平行且相等是四邊形是平行四邊形）證得四邊形ADCE是平行四邊形，所以有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．解答：證明：（1）∵四邊形ABDE是平行四邊形（已知），∴AB∥DE，AB=DE（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等）；∴∠B=∠EDC（兩直線平行，同位角相等）；又∵AB=AC（已知），∴AC=DE（等量代換），∠B=∠ACB（等邊對(duì)等角），∴∠EDC=∠ACD（等量代換）；∵在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS）；（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形（已知），∴BD∥AE，BD=AE（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等），∴AE∥CD；又∵BD=CD，∴AE=CD（等量代換），∴四邊形ADCE是平行四邊形（對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性質(zhì)），∴∠ADC=90°，∴?ADCE是矩形．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一個(gè)角是直角的‘平行四邊形’是矩形”，而不是“有一個(gè)角是直角的‘四邊形’是矩形”．7．如圖，正方形ABCD中，M為AD邊上的一點(diǎn)，連接BM，過點(diǎn)C作CN∥BM，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，在CN上截取CE=BC，連接BE交CD于F，（1）若∠AMB=60°，CE=，求DF的長(zhǎng)度；（2）求證：BM=DN+CF．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)．分析：（1）由正方形的性質(zhì)可以得出AD∥BC，再由CN∥BM就可以得出四邊形BCNM是平行四邊形，就可以得出∠MBC=60°，就有∠BCN=120°，由BC=EC就可以得出∠FBC=30°，勾股定理就可以求出CF的值，從而可以得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)C作CG⊥BE交AD于點(diǎn)H，可以得出△BCF≌△CDH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)就可以得出∠CHN=∠ECG，由四邊形MBCN為平行四邊形就可以得出結(jié)論．解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．∵CN∥BM，∴四邊形BCNM是平行四邊形，∴BM=CN，∠AMB=∠MBC．∵∠AMB=60°，∴∠MBC=60°，∴∠BCN=120°．∵BC=CE，∴∠1=∠2=30°，∴BF=2CF．在Rt△BCF中，BC=2，由勾股定理，得CF=2．∵CD=2，∴DF=2﹣2．答：DF=2﹣2；（2）過點(diǎn)C作CG⊥BE交AD于點(diǎn)H，∴∠BGC=∠FGC=90°．∴∠1=∠4．在△BCF和△CDH中，∴△BCF≌△CDH（ASA），∴CF=HD．∵∠CHN=90°﹣∠4，∠ECG=90°﹣∠2=90°﹣∠1=90°﹣∠4∴∠CHN=∠ECG，∴CN=HN∵四邊形MBCN為平行四邊形，∴BM=CN，∴BM=CN=HN=DN+HD=DN+CF．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．8．如圖，E為正方形ABCD的CD邊上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)A作AF∥BE，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠ABE的平分線分別交AF、AD于點(diǎn)G、H．（1）若∠CBE=30°，AG=，求DH的長(zhǎng)度；（2）證明：BE=AH+DF．考點(diǎn)：四邊形綜合題．分析：（1）利用正方形的性質(zhì)以及已知得出∠ABG=∠GBE=30°，∠AGB=∠GBE，求出AB=BG的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AH的長(zhǎng)，即可得出DH的長(zhǎng)；（2）首先證明△ADF≌△BCE，進(jìn)而得出∠GBC=∠MBE，再得出BE=EM=AH+DF，即可得出答案．解答：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，∵∠CBE=30°且BG平分∠ABE，∴∠ABG=∠GBE=30°，∴∠AGB=∠GBE，∴∠ABG=∠AGB，∴AB=AG=，又∵在Rt△ABH中，∠ABG=30°，∴AH=AB=1，又∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∴DH=﹣1；（2）證明：將△ABH繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCM，∵ABCD是正方形，∴AD=BC，∠ADC=∠C=90°，∴∠ADF=∠C，∵AF∥BE，∴∠F=∠BEC，在△ADF和△BCE中∴△ADF≌△BCE（AAS），∴DF=CE，又由旋轉(zhuǎn)可知：AH=CM，∠AHB=∠M，∠BAH=∠BCM=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCD+∠BCM=180°，∴點(diǎn)E、C、M在同一直線．∴AH+DF=EC+CM=EM，又∵BG平分∠ABE，∴∠ABG=∠GBE，又∵∠ABH=∠CBM，∴∠GBE=∠CBM，∴∠GBE+∠CBE=∠CBM+∠CBE，即∠GBC=∠MBE，又∵正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠AHB=∠GBC，∴∠GBC=∠M，∴∠M=∠MBE，∴BE=EM=AH+DF，∴BE=AH+DF．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊等知識(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AH+DF=EC+CM=EM是解題關(guān)鍵．9．如圖正方形ABCD中，E為AD邊上的中點(diǎn)，過A作AF⊥BE，交CD邊于F，M是AD邊上一點(diǎn)，且有BM=DM+CD．（1）求證：點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)；（2）求證：∠MBC=2∠ABE．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題；壓軸題．分析：（1）由正方形得到AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，根據(jù)AF⊥BE，求出∠AEB=∠AFD，推出△BAE≌△ADF，即可證出點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)；（2）延長(zhǎng)AD到G使BM=MG，得到DG=BC=DC，證△FDG≌△FCB，求出B，F(xiàn)，G共線，再證△ABE≌△CBF，得到∠ABE=∠CBF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出結(jié)論．解答：（1）證明：∵正方形ABCD，∴AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，∵AF⊥BE，∴∠AOE=90°，∴∠EAF+∠AEB=90°，∠EAF+∠BAF=90°，∴∠AEB=∠BAF，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∴∠AEB=∠AFD，∵∠BAD=∠D，AB=AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE=DF，∵E為AD邊上的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)；（2）證明：延長(zhǎng)AD到G．使MG=MB．連接FG，F(xiàn)B，∵BM=DM+CD，∴DG=DC=BC，∵∠GDF=∠C=90°，DF=CF，∴△FDG≌△FCB（SAS），∴∠DFG=∠CFB，∴B，F(xiàn)，G共線，∵E為AD邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)，AD=CD∴AE=CF，∵AB=BC，∠C=∠BAD=90°，AE=CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF，∵AG∥BC，∴∠AGB=∠CBF=∠ABE，∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE，∴∠MBC=2∠ABE．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)拔高的題目，有一定的難度．10．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為矩形的邊CD上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AE中點(diǎn)，連接BP并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)F，點(diǎn)M為邊CD上一點(diǎn)，連接FM，且∠1=∠2．（1）若AD=2，DE=1，求AP的長(zhǎng)；（2）求證：PB=PF+FM．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．專題：壓軸題．分析：（1）由矩形的性質(zhì)可知△ADE是直角三角形，利用勾股定理即可求出AP的長(zhǎng)；（2）延長(zhǎng)BF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，首先證明△APB和△EPN全等，得到PB=PN，再根據(jù)已知條件證明FN=FM即可．解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADE=90°，∵AD=2，DE=1，∴AE==，∵點(diǎn)P為線段AE中點(diǎn)，∴AP=AE=；（2）延長(zhǎng)BF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵點(diǎn)P為線段AE中點(diǎn)，∴AP=PE，∵AB∥CD，∴∠PEN=∠PAB，∠2=∠N，∵在△APB和△EPN中，，∴△APB≌△EPN（AAS），∴PB=PN，∵∠1=∠2，∠2=∠N，∴∠1=∠N，∴FN=FM，∴PB=PN=PF+FN=PF+FM，∴PB=PF+FM．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)．11．已知正方形ABCD，點(diǎn)P、Q分別是邊AD、BC上的兩動(dòng)點(diǎn)，將四邊形ABQP沿PQ翻折得到四邊形EFQP，點(diǎn)E在線段CD上，EF交BC于G，連接AE．求證：（1）EA平分∠DEF；（2）EC+EG+GC=2AB．考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出DC∥AB，∠BAD=90°，進(jìn)而得出∠PEF﹣∠3=∠PAB﹣∠2，即可得出∠DEA=∠4，問題得證；（2）首先證明Rt△AHG≌Rt△ABG（HL）即可得出EC+EG+GC=EC+DE+BG+GC=DC+BC=2AB．解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形∴DC∥AB，∠BAD=90°，∴∠DEA=∠1，又由折疊知，PA=PE，∠PEF=∠PAB=90°∴∠2=∠3，則∠PEF﹣∠3=∠PAB﹣∠2，即∠1=∠4∴∠DEA=∠4，即EA平分∠DEF；（2）在EG上截取EH，使得EH=ED，連接AH、AG則△ADE≌△AHE（SAS）∴AD=AH，∠D=∠5∵四邊形ABCD是正方形∴∠D=∠B=90°，AB=BC=CD=DA∴AH=AB，且∠5=∠B=90°，則∠6=90°∵在Rt△AHG和Rt△ABG中∴Rt△AHG≌Rt△ABG（HL）∴HG=BG，∴EG=EH+HG=DE+BG，∴EC+EG+GC=EC+DE+BG+GC=DC+BC=2AB．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及全等三角形的證明，利用折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等得出是解題關(guān)鍵．12．（2008?常州）已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且EF=ED，EF⊥ED．求證：AE平分∠BAD．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：要證AE平分∠BAD，可轉(zhuǎn)化為△ABE為等腰直角三角形，得AB=BE，又AB=CD，再將它們分別轉(zhuǎn)化為兩全等三角形的兩對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)全等三角形的判定，和矩形的性質(zhì)，可確定ASA．即求證．解答：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠BAD=90°，AB=CD，∴∠BEF+∠BFE=90°．∵EF⊥ED，∴∠BEF+∠CED=90°．∴∠BFE=∠CED．∴∠BEF=∠EDC．在△EBF與△DCE中，，∴△EBF≌△DCE（ASA）．∴BE=CD．∴BE=AB．∴∠BAE=∠BEA=45°．∴∠EAD=45°．∴∠BAE=∠EAD．∴AE平分∠BAD．點(diǎn)評(píng)：三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)．求證的結(jié)果可一步步轉(zhuǎn)化為全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等．13．如圖，已知點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CA，連接AE，過點(diǎn)C作CF⊥AE，垂足為點(diǎn)F，連接BF、FD．（1）求證：△FBC≌△FAD；（2）連接BD，若cos∠FBD=，且BD=10，求FC的值．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AF=EF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BF=AF，然后利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到∠FBA=∠FAB，從而推出∠FAD=∠FBC，再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AD=BC，然后利用“邊角邊”即可證明；（2）根據(jù)（1），利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得FC=FD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BFC=∠AFD，然后證明∠BFD=90°，再根據(jù)余弦=求出FB的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求出FD，從而得解．解答：（1）證明：∵CE=AC，CF⊥AE，∴AF=EF，∴在Rt△ABE中，BF=AF，∴∠FBA=∠FAB，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠FBA+∠ABC=∠FAB+∠BAD，即∠FAD=∠FBC，在△FBC和△FAD中，∵，∴△FBC≌△FAD（SAS）；（2）解：∵△FBC≌△FAD，∴FC=FD，∠BFC=∠AFD，∴∠BFD=∠BFC+∠CFD=∠AFD+∠CFD=90°，∵cos∠FBD==，BD=10，∴FB=×10=6，∴FD===8，∴FC=8．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，求出∠FAD=∠FBC是證明三角形全等的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．14．如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD外一點(diǎn)，DE⊥BD于點(diǎn)D，DE=CE，BD的垂直平分線交AD于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G．連接EF交BD于點(diǎn)H．（1）若∠CDE=∠DEH=∠HEC，求∠ABG的度數(shù)；（2）求證：H是EF的中點(diǎn)．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：（1）設(shè)∠CDE=x°，則∠CDE=∠DCE=x°，∠DEH=x°，∠HEC=2x°，根據(jù)∠CDE+∠DEC+∠DCE=180°得出5x=180°，求出x即可；（2）連接AC，GE，求出GD=GC，得出在CD的垂直平分線上，E在CD的垂直平分線上，推出GE為CD的垂直平分線，求出DM=CM，求出FD∥GE，F(xiàn)G∥DE，求出四邊形FDEG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出即可．解答：（1）解：設(shè)∠CDE=x°，∵DE=CE，∴∠CDE=∠DCE=x°，∵∠CDE=∠DEH=∠HEC，∴∠deh=x°，∠HEC=2x°，∵∠CDE+∠DEC+∠DCE=180°，∴5x=180°，x=36°，∵DE⊥BD，∴∠EDB=90°，∴∠BDC=90°﹣36°=54°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABG=∠BDC=54°；（2）證明：連接AC，GE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AG=GC，BG=GD，∴GD=GC，∴G在CD的垂直平分線上，∵DE=CE，∴E在CD的垂直平分線上，∴GE為CD的垂直平分線，∴DM=CM，∵BG=DG，∴GM∥BC，∴∠DGE=∠DBC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DBC=∠FDG，∴∠DGE=∠FDG，∴FD∥GE，∵FG⊥BD，DE⊥BD，∴FG∥DE，∴四邊形FDEG是平行四邊形，∴H為EF的中點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．15．（2012?重慶）已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，過M作ME⊥CD于點(diǎn)E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的長(zhǎng)；（2）求證：AM=DF+ME．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）根據(jù)菱形的對(duì)邊平行可得AB∥CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得CM=DM，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=DE，然后求出CD的長(zhǎng)度，即為菱形的邊長(zhǎng)BC的長(zhǎng)度；（2）先利用“邊角邊”證明△CEM和△CFM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得ME=MF，延長(zhǎng)AB交DF于點(diǎn)G，然后證明∠1=∠G，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得AM=GM，再利用“角角邊”證明△CDF和△BGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得GF=DF，最后結(jié)合圖形GM=GF+MF即可得證．解答：（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵M(jìn)E⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）證明：如圖，∵F為邊BC的中點(diǎn)，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延長(zhǎng)AB交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由圖形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．如圖1，菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，連接CE、CF．（1）求證：CE=CF；（2）如圖2，若H為AB上一點(diǎn)，連接CH，使∠CHB=2∠ECB，求證：CH=AH+AB．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題；壓軸題．分析：（1）由菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，易證得△BCE≌△DCF（SAS），則可得CE=CF；（2）由平行線的性質(zhì)，可得AG=AB，∠G=∠FCD，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得∠BCE=∠DCF，然后由∠CHB=2∠ECB，易證得∠G=∠HCG，則可得CH=GH，則可證的結(jié)果．解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，∵點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，∴BE=AB，DF=AD，∴BE=DF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴CE=CF；（2）證明：延長(zhǎng)BA與CF，交于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF∥BC，AB∥CD，∴∠G=∠FCD，∵點(diǎn)F分別為AD的中點(diǎn)，且AG∥CD，∴AG=AB，∵△BCE≌△DCF，∴∠ECB=∠DCF，∵∠CHB=2∠ECB，∴∠CHB=2∠G，∵∠CHB=∠G+∠HCG，∴∠G=∠HCG，∴GH=CH，∴CH=AH+AG=AH+AB．點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．17．（2011?重慶）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交對(duì)角線BD于F，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，連接EG、AF．（1）求EG的長(zhǎng)；（2）求證：CF=AB+AF．考點(diǎn)：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）根據(jù)BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根據(jù)勾股定理求出BC=2，根據(jù)CE⊥BE，點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)即可求出EG；（2）在線段CF上截取CH=BA，連接DH，根據(jù)BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，證出△ABD≌△HCD，得到CD=BD，∠ADB=∠HDC，根據(jù)AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，證出△ADF≌△HDF，即可得到答案．解答：（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC==2，∵CE⊥BE，∠BEC=90°，∵點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，∴EG=BC=（直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)）．答：EG的長(zhǎng)是．（2）證明：在線段CF上截取CH=BA，連接DH，∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF，∵DB=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD，∴AD=DH，∠ADF=∠HDC，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DBC=45°，∴∠HDC=45°，∴∠HDF=∠BDC﹣∠HDC=45°，∴∠ADF=∠HDF，∵AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF=HF，∴CF=CH+HF=AB+AF，∴CF=AB+AF．（解法二）證明：延長(zhǎng)BA與CD延長(zhǎng)線交于M，∵△BFE和△CFD中，∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，∴∠MBD=∠FCD，∵在△BCD中，∠DCB=45°，BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD，△BMD和△CFD中，∵BD=CD，∠BDM=∠CDF=90°，∠MBD=∠FCD，∴△BMD≌△CFD，∴CF=BM=AB+AM，DM=DF，∵AD∥BC，∠ADF=∠DBC=45°，∠BDM=90°，∴∠ADM=∠ADF=45°，在△AFD和△AMD中∵，∴△AFD≌△AMD，∴AM=AF，∴CF=BM=AB+AM=AB+AF，即CF=AB+AF．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)梯形，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．18．已知：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G．DH平分∠ADE交CF于點(diǎn)H，連接BH．（1）若DG=2，求DH的長(zhǎng)；（2）求證：BH+DH=CH．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．分析：（1）通過證明△DGH是等腰直角三角形，得到DH=DG=2；（2）如圖，過點(diǎn)C作CM⊥CH，交HD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．構(gòu)建等腰直角△HCM和全等三角形△MCD≌△HCB，所以根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)推知MH=CH，DM=BH．則BH+DH=MH=CH．解答：（1）解：∵如圖，DF=DC，DG⊥CF，∴∠FDG=∠FDC．∵DH平分∠ADE，∴∠FDH=∠ADF，∴∠HDG=∠FDG﹣∠FDH=（∠FDC﹣∠ADF）=∠ADC=45°．∴△DGH是等腰直角三角形，∵DG=2，∴DH=2；（2）證明：如圖，過點(diǎn)C作CM⊥CH，交HD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．∵∠DCB=90°，∴∠1=∠2（同角的余角相等）．又∵△DGH是等腰直角三角形，∴△MCH是等腰直角三角形，∴MC=CH．∴MH=CH．∵在△MCD與△HCB中，，∴△MCD≌△HCB）SAS），∴DM=BH．∴BH+DH=DM+DH=MH=CH．即BH+DH=CH．點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．19．如圖，正方形ABCD中，P在對(duì)角線BD上，E在CB的延長(zhǎng)線上，且PE=PC，過點(diǎn)P作PF⊥AE于F，直線PF分別交AB、CD于G、H，（1）求證：DH=AG+BE；（2）若BE=1，AB=3，求PE的長(zhǎng)．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．專題：壓軸題．分析：（1）在DC上截取DM=BE，連接AM，證△ABE≌△ADM，推出∠1=∠2，推出AM⊥AE，推出AM∥FH，AB∥CD，得出四邊形AGHM是平行四邊形，推出AG=MH即可；（2）連接AP．根據(jù)四邊形ABCD是正方形的性質(zhì)得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，證△ABP≌△CBP，推出PA=PC，∠3=∠4，求出∠3=∠5，得出△APE是等腰直角三角形，求出AE，即可求出PE．解答：（1）證明：在DC上截取DM=BE，連接AM，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADM=90°，AB=AD，∵在△ABE和△ADM中，∴△ABE≌ADM，∴∠1=∠2，∴∠1+∠BAM=∠2+∠BAM=90°，即AM⊥AE．又∵PF⊥AE于F，∴AM∥FH，又∵AB∥CD，∴四邊形AGHM是平行四邊形，∴AG=MH，∵DH=DM+MH，∴DH=AG+BE．（2）解：連接AP．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，∵在△ABP和△CBP中∴△ABP≌△CBP，∴PA=PC，∠3=∠4，∵PE=PC，∴PA=PE，∵PE=PC，∴∠4=∠5，∴∠3=∠5，又∵∠ANP=∠ENB，∴∠3+∠ANP=∠5+∠ENB=90°，∴AP⊥PE，即△APE是等腰直角三角形，∵BE=1，AB=3，∴AE==，∴PE===．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．20．在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F，如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DF=CF．如圖（2），若點(diǎn)P在線段AO上（不與點(diǎn)A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于點(diǎn)E，（1）求證：DF=EF；（2）求證：．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）要證明DF=EF，連接PD，證明PD=PE，利用等腰三角形的性質(zhì)，底邊上三線合一，可以得出結(jié)論．（2）由CE=CF﹣EF，又有PC和CF的關(guān)系、PA和EF的關(guān)系，結(jié)合到一起可以求解．解答：證明：如圖①連接PD，∵四邊形ABCD是正方形，AC平分∠BCD，CB=CD，△BCP≌△DCP∴∠PBC=∠PDC，PB=PD∵PB⊥PE，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠PEC=360°﹣∠BPE﹣∠BCE=180°∵∠PEC+∠PED=180°，∴∠PBC=∠PED，∴∠PED=∠PBC=∠PDC，∴PD=PE，∵PF⊥CD，∴DF=EF．（2）如圖②，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，由（1）知：PA=PH=DF=EFPC=CF∴PC﹣PA=（CF﹣EF），即PC﹣PA=CE．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，合理的作出輔助線，利用各邊之間的關(guān)系，通過轉(zhuǎn)換的思想求證．21．（2013?北碚區(qū)模擬）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EF，若BE=DF，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．（1）求證：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面積．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．專題：壓軸題．分析：（1）連接PC．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得PC=EF=PA．運(yùn)用“SSS”證明△APD≌△CPD，得∠ADP=∠CDP；（2）作PH⊥CF于H點(diǎn)．分別求DF和PH的長(zhǎng)，再計(jì)算面積．設(shè)DF=x，在Rt△EFC中，∠CEF=60°，運(yùn)用勾股定理可求DF；根據(jù)三角形中位線定理求PH．解答：（1）證明：連接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中點(diǎn)，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又∵AD=CD，PD=PD（公共邊），∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H點(diǎn)．∵P是EF的中點(diǎn)，∴PH=EC．設(shè)EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，F(xiàn)C=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2，即x2+4x﹣8=0，解得x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，F(xiàn)D=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．點(diǎn)評(píng)：此題考查正方形、特殊直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．22．如圖，正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB邊上的一點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，作EH⊥FG交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．（1）若BC=8，BF=5，求線段FG的長(zhǎng)；（2）求證：EH=2EG．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．分析：（1）求出AF，根據(jù)勾股定理求出EF，證△AFE≌△DGE，推出EF=EG，即可求出答案；（2）過E作EM⊥BH于M，過G作GN⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，證△NFG≌△MHE，推出EH=FG=2EG即可．解答：（1）解：∵BC=8，BF=5∴AF=3∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=4在△AFE中：，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠EDG=90°，∵E為AD中點(diǎn)，∴AE=ED，在△AFE和△DGE中∴△AFE≌△DGE（ASA），∴EF=EG，∴FG=2EF=10；（2）證明：過E作EM⊥BH于M，過G作GN⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵EH⊥FG，∴∠HEG=90°，∴∠H=∠FEM，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°，∵EM⊥BC，∴EM∥CD，∴∠EGC=∠FEM，∴∠H=∠EGC，∵AB∥CD，∴∠EGC=∠NFG∴∠H=∠NFG，在△NFG與△MHE中，∴△NFG≌△MHE（AAS），∴EH=FG=2EG．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．23．（2013?海陵區(qū)模擬）已知點(diǎn)E是正方形ABCD中的CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AD上一點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，AB=6．（1）求證：CG=DF；（2）連接BF，若BF＞GF，試求AF的范圍．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．分析：（1）根據(jù)中點(diǎn)定義可得DE=CE，根據(jù)正方形的四個(gè)角都是直角可得∠BCD=∠D=90°，然后利用“角邊角”證明△DEF和△CEG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=DF；（2）過點(diǎn)F作FH⊥BC于H，可得GH=2DF，設(shè)AF=x，表示出DF，再表示出GH，然后根據(jù)BF＞GF得到AF＞GH，列出方程求出x的取值范圍，再根據(jù)點(diǎn)F在AD上可知AF＜AD，從而得解．解答：（1）證明：∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE，在正方形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，在△DEF和△CEG中，，∴△DEF≌△CEG（ASA），∴CG=DF；（2）解：過點(diǎn)F作FH⊥BC于H，則四邊形ABHF和四邊形CDFH都是矩形，∴DF=HC，AF=BH，∴GH=2DF，設(shè)AF=x，則DF=6﹣x，GH=2（6﹣x），∵BF＞GF，∴AF＞GH，∴x＞2（6﹣x），解得x＞4，又∵點(diǎn)F在AD上，∴x＜6，∴4＜x＜6．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）熟記正方形的性質(zhì)找出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵，（2）作輔助線構(gòu)造出兩個(gè)矩形并盤淡出AF＞GH是解題的關(guān)鍵．24．如圖，在菱形ABCD中，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，使得∠E=∠B，過D作DH⊥AE于H．（1）若AB=10，DH=6，求HE的長(zhǎng)；（2）求證：AH=CE+EH．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．分析：（1）由在菱形ABCD中，AB=10，DH=6，DH⊥AE，利用勾股定理可求得AH的長(zhǎng)，又由∠E=∠B，易得AE的長(zhǎng)，繼而求得HE的長(zhǎng)；（2）首先過點(diǎn)D作DF⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DE，易證得△ADH≌△CDF（AAS），繼而可證得Rt△DEH≌Rt△DEF（HL），則可證得AH=CE+EH．解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB=10，∵DH⊥AE，∴∠AHD=90°，在Rt△ADH中，AH===8，∵∠E=∠B，∴AE=AB=10，∴HE=AE﹣AH=10﹣8=2；證明：（2）過點(diǎn)D作DF⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DE，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=CD，∴∠1=∠B，∠2=∠3，∵∠B=∠2，∴∠1=∠3，∵DH⊥AE，DF⊥CF，∴∠4=∠F，在△ADH和△CDF中，，∴△ADH≌△CDF（AAS），∴AH=CF，DH=DF，∴在Rt△DEH和Rt△DEF中，，∴Rt△DEH≌Rt△DEF（HL），∴EH=EF，∵CF=CE+EF，∴AH=CE+EH．點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．25．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上的一點(diǎn)，∠DAE的平分線AF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（1）若AB=8，BF=16，求CE的長(zhǎng)；（2）求證：AE=BE+DG．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．分析：（1）求出AE=EF，設(shè)CE=x，則BC=8﹣x，EF=AE=8+x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程82+（8﹣x）2=（8+x）2，求出方程的解即可；（2）根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠3=∠2+∠5=∠4，證△ABM≌△ADG，推出∠4=∠∠M，∠1=∠6，求出∠M=∠MAE，推出ME=AE即可．解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=8，∠B=90°，AD∥BC，∴∠DAG=∠F，∵AF平分∠DAE，∴∠DAG=∠EAF，∴∠EAF=∠F，∴AE=EF，設(shè)CE=x，則BC=8﹣x，EF=AE=8+x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：82+（8﹣x）2=（8+x）2，x=2，解CE=2；（2）證明：延長(zhǎng)CB到M，使BM=DG，連接AM，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠ABM=90°，AD=AB，AB∥CD，∴∠3=∠2+∠5=∠4，在△ABM和△ADG中∴△ABM≌△ADG，∴∠4=∠∠M，∠1=∠6，∵∠1=∠2（角平分線定義），∴∠2=∠6，∴∠4=∠M=∠3=∠2+∠5=∠6+∠5，即∠M=∠MAE，∴AE=BE，∵BM=DG，∴AE=BE+DG．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，用了方程思想．26．（2013?福田區(qū)一模）如圖，E是正方形ABCD的邊DC上的一點(diǎn)，過A作AF⊥AE，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．AE的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：AE=AF．（2）若AF=7，DE=2，求EG的長(zhǎng)．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)．分析：（1）首先利用余角的性質(zhì)證明∠FAB=∠DAE，然后利用ASA即可證明△ABF≌△ADE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得；（2）在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，則EC的長(zhǎng)度即可求得，易證△ADE∽△GCE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．解答：（1）證明：正方形ABCD中，∠BAD=90°，AD=AB，∵AF⊥AE，∴∠FAB+∠BAE=90°∵∠DAE+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠DAE，∵在△ABF與△ADE中．，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴AE=AF；（2）解：在Rt△ABF中，∵∠FBA=90°，AF=7，BF=DE=2∴AB==3，∴EC=DC﹣DE=3﹣2，∵∠D=∠ECG=90°，∠DEA=∠CEG，∴△ADE∽△GCE，∴=，∴EG=﹣7．點(diǎn)評(píng)：本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確證明△ABF≌△ADE是關(guān)鍵．27．已知正方形ABCD如圖所示，連接其對(duì)角線AC，∠BCA的平分線CF交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BM⊥CF于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CP⊥CF，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求△ACP的面積；（2）求證：CP=BM+2FN．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)等角對(duì)等邊易證AP=AC，根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求解；（2）易證△PDC≌△FBC則CP=CF，在CN上截取NH=FN，連接BH，則可以證明△AMB≌BHC，得到CH=BM，即可證得．解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，AC是對(duì)角線，∴∠1=∠2=22.5°，又∵CP⊥CF，∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°∴∠3=∠1=22.5°∴∠P=67.5°又四邊形ABCD為正方形，∴∠ACP=45+22.5=67.5°∴∠P=∠ACP∴AP=AC又AC=AB=4∴AP=4，∴S△APC=AP?CD=4×4=8；（2）∵在△PDC和△FBC中，∴△PDC≌△FBC∴CP=CF在CN上截取NH=FN，連接BH∵FN=NH，且BN⊥FH∴BH=BF∴∠4=∠5∴∠4=∠1=∠5=22.5°又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°∴∠HBC=∠BAM=45°在△AMB和△BHC中，，∴△AMB≌△BHC，∴CH=BM∴CF=BM+2FN∴CP=BM+2FN．點(diǎn)評(píng)：本題是正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線是關(guān)鍵．28．如圖，△AGB中，以邊