讀書報告近期，我閱讀了一些有關于分形方面的文獻，大致的了解了一下分形以及分形的量度一—分數維，下面就是一些我對于分形的理解。在經典的歐幾里德幾何中，可以用直線、圓、球等這一類規則的形狀去描述諸如墻、車輪、衛星等人造物體，因為這些物體本來就是根據歐氏幾何的規則圖形生成的。然而自然界中，卻存在著許許多多極其復雜的形狀，女口：山不是錐體，云不是球體，閃電不是折線，雪花邊緣也不是圓等等，再如宇宙中點點繁星所構成的集合更非經典幾何所能描述的，它們不再具有人們早已熟知的數學分析中的連續、光滑（可導）這一基本性質了，而是非線性的。為了描述這些問題，哈佛大學數學系教授曼德布羅特（BenoitB.Mandelbort）在1975年首次提出分形（Fractal）概念。1982年Mandelbrot著作《TheFractalGeometryofNature》的出版，標志著分形理論的產生。分形理論的建立為研究無序結構和探索復雜事物提供了一極有力的工具。分形理論與耗散結構理論、協同學、混沌理論都是同一時期在非線性科學研究中取得的重要成果。所謂分形就是事物組成部分以某種方式與整體相似的形其整體具有自相似性。分形研究的對象是具有自相似性的無序系統其維數的變化是連續的，而非歐氏幾何中的整數維，如空間的歐氏維數是3。（琚正挺,2006）從Mandelbrot在《英國的海岸線有多長》一文中提出分數維概念以后，分形幾何學逐漸發展成為專門研究復雜、非規則現象的新理論，并已被證實在研究過去常被認為的無規律體,如地質體的內在規律方面行之有效，分形能夠對自然世界和表面的復雜性作出更精確的表達。分形具有自相似性和無標度性。（1）自相似性：一個分形的某種結構或過程從不同的空間或時間尺度來看都是自相似的。事實上，在標度區內具有對稱性，即表征自相似系統或結構的定量性質如分維數，并不會因為放大或縮小等而變化，所改變的只是系統的外部形式，即系統的部分和整體之間存在自相似性。雖然這種定義不完備，但抓住了分形的本質特征一一自相似性。通常所說的自相似可以分為兩類:一類是完全相似，由數學模型生成，如圖1所示科赫曲線的構造:設E0為一單位線段，將其三等分，中間的1/3用邊長為1/3的等邊三角形向上指的另兩條邊代替,得到的集記為E1，它包含四條線段。對氣的每條線段重復這一過程得到E2。歸

圖2謝爾賓斯基墊片(李伯奎等,2004)納得到Ek和Ek+1。當k充分大時,Ek+1與Ek只在精細的細節上不同。當kTa時，極限曲線稱為科契曲線，被人們用來做典型的海岸線模型，它可以刻畫出真實海岸線的復雜性和粗糙程度。又如謝爾賓斯基墊的構造，數學過程簡單描述為:在每步構造中都將前次的正三角形等分成4個小正三角形并去掉中間的一個，這一構造過程的極限圖形是一曲線,稱為謝爾賓斯基墊,如圖2所示。另外一類就是自然界中的分形,如蜿蜒曲折的海岸線、云彩的形狀等，其相似性并不是嚴格的圖2謝爾賓斯基墊片(李伯奎等,2004) Eti J ￡1凸 i￡圖1Koch曲線(李伯奎等,2004)(2)無標度性：在具有分形性質的物體上任選一局部區域由于其自身具有自相似性，對它進行放大后,得到的放大圖形會顯示出原圖的形態特性，即它的形態、內在的復雜程度、不規則形等各種特性，與原圖相比均不會發生變化，如上面討論的科契曲線的性質這種特性稱為無標度性，又稱為伸縮對稱性。(李伯奎等,2004)分形維作為分形的標準量度，必然有它作為標準的經典模型維數一一自相似維數(Sel-fsimilarDimension),豪斯道夫維數(HausdorffDimension),盒計數維數(Box-countingDimension),功率譜維數(PowerspectrumDimension),結構函數法維數(StructurefunctionDimen-sion)。自相似維數(Sel-fsimilarDimension)自相似維數的引入受到規則形體如線段、正方形、立方體的啟發。如果把線段、正方形和立方體的邊分成兩等份，這時線段是原來一半長度的兩個線段,正方形被分成四個全等的小正方形，立方體則被分成八個全等的小立方體。也就是說，線段、正方形和立方體可被看成是由2、4、8個與整體相似的圖形組成。2、4、8個這些數字可以改寫成21、22、23,這里出現的指數分別與圖形的歐氏維數與拓撲維數一致。一般地若把某個圖形的長度(或標度)縮小1/r時得到N個和原圖形相似的圖形，有N=r-D，這里的指數D就具有維數的意義，稱為自相似維數，用數學語言描述如下：如果一個集F由m個相等的且與F相似的部分組成，則稱F為自相似集。若部分與F的相似比為r，則定義自相似維數為：D=-logm/logr自相似維數只對嚴格自相似的均勻一致的線性分形集有意義為了刻畫更廣泛的集類，需要引入更一般的維數Hausdorff維數。豪斯道夫維數(HausdorffDimension)其計算的基本原理為:分形集都遵循一定的標度律000，即測度M(5)隨測量尺度5按照一種幕指數規律而變化，即M(5)正比5k將M(5)和5在雙對數坐標中作圖，并進行最小二乘擬合得一直線,其斜率K與分形維數D之間有如下關系：D=f(K)采用不同的測度，對應的函數也不同，在后面將分別進行說明。盒計數維數(Box-countingDimension)對于分形集F,N(5)是覆蓋F的直徑至多為5的集的個數,N(5)和5之間有幕律關系：N(5)正比5k在雙對數坐標中擬合的logN(5)-log5直線的斜率K與分形維數D的關系為D=1-K盒維數是最簡單也最明了的分形維數。在不同的標度下,用盒計數法來分析實際分形集的方法適用范圍廣，無論分形集是不連通的點集，還是曲線、曲面或立體都可用這一方法，除了自仿射分形。功率譜維數(PowerspectrumDimension)分形曲線若以功率譜Pg)為測度，以頻率?為尺度，則有P(①)正比?k那么，所擬合的logP(?)-log?直線的斜率K與D的關系為D=(5+K)/2功率譜法適合于自仿射分形曲線,但在用于工程表面輪廓曲線的分維計算時，其幕律關系不很明顯，誤差較大,使用場合受到很大的限制。結構函數法維數(StructurefunctionDimen-sion)自相關函數(ACF)已經成為描述空間變量的最流行的方法。它毫無疑問地包含了有用的空間信息,然而當我們用ACF來研究已知形貌在磨損、變形或者某些類似過程中的變化時,許多變化由于集合平均而被掩蓋著。如圖3表示某一表面在磨損前后的輪廓形貌。圖4表示該表面未磨損輪廓和已磨損輪廓的自相關函數曲線，圖中磨損幾乎在整波長上出現，因而在自相關函數圖中二者變化甚微是顯然的。［汕未磨損輪啣程樣芒矍//rm(b)已磨損輪郵圖3磨損前后的表面形貌比較(李伯奎等,2004)另外當從輪廓擴展到表面時，尤其是要求三維描述各向異性結構時，自相關函數(ACF)也會出現問題了。標準化的自相關函數必須利用輪廓方差，但是對各個角度上的輪廓來說輪廓方差是不同的，而且在自協方差函數上出現奇異點。如果用表面方差標準化ACF,那么在坐標原點會有奇異點，只有在相對于同一個中位面測量各輪廓時才會消除。以結構函數或者方差函數(SF)的方式來描述時就會消除這些問題，Sayles和Thomas(1977)對于輪廓結構函數定義為S(t)=E[Z(x+1)-Z(x)]2=f+TOS(w)(ejwt-1)dw=c/4~2D)—g這個函數是描述任意空間距離S上高度差均方的期望值。對平穩結構來說它含有與ACF相同的信息，該函數的兩個主要優點是:它的意義不局限于平穩的情況，其次它不依賴于中位面。因此與中線有關的任何輪廓結構函數SF是表面結構函數SF的一個部分，這一性質ACF是不具備的。圖5表示圖3中的磨損和未磨損輪廓的結構函數SF曲線，從圖中可以清晰地看到磨損和未磨損表面變化明顯,表明了這種描述方法優于圖4的自相關函數ACF方法。同時，擬合的logS(i)-logI直線,其斜率K與D有關系為D=(4-K)/2很多的研究表明,對于自仿射輪廓曲線，最具有意義的量就是結構函數,因此結構函數法特別適用于具有統計自仿射分形特征的工程表面輪廓曲線的分形維數計算，而機加工表面大多都具有自仿射分形的特征。(李伯奎等,2004)圖4磨損(I)和未磨損(II)輪廓的自相關函數(李伯奎等,2004)圖5磨損和未磨損輪廓的結構函數(李伯奎等,2004)然而，理論只有與實踐聯系在一起才具有真實的意義，則在觀察自然界中的具有統計自相似性的景象時，我們需要一些方法去計算它們的分數維，經過許多科學家研究與努力,大致總結出了以下的幾種方法：量規法量規法的思路是使用不同長度的尺子去度量同一段曲線(以海岸線為例,海岸線的長度L(r)由尺子長度r和尺子測量的次數N(r)來決定：L(r)=N(r)xr當海岸線的彎曲程度、復雜程度不同，且尺子長度r也出現變化,那么被測海岸線的長度也必然出現相應的變化，尺子長度越小,則所測得的海岸線長度值越接近被測海岸線長度的真實值。然而，隨著尺子尺度的縮小，海岸線邊上的各種小島嶼也就被納入了測量的范圍，所以,分形理論告訴人們，與傳統的認知不一樣的是，海岸線的長度更確切地來說是一個變量，它并不是描繪海岸線的一個完好的量度，而必須找到一個表征海岸線性質的客觀量度，這就是分維數。根據Mandelbrot的研究，有下式成立：L(r)=Mxr1-D式中,L(r)為被測海岸線的長度;r為標度;M為待定常數;D為被測海岸線的分維數。

對式(2)兩邊同取雙對數，可得:LgL(r)=(l-D)lgr+C式中,C為待定常數;該式斜率值等于1-D,即分維數D=l-K(該式的斜率值)。(朱曉華,2002)盒維數法將曲線用一邊長等于1的方盒子覆蓋，將此方盒分割成含有2n個小方盒的網格集,小方盒的邊長為2-n,用這個網格集覆曲線，統計出與相交的小盒子數量M(n)，則曲線的分形維數為(王東升等,1995)D=limD=limnslogM(n)nlog2含量面積法如果把地球化學元素的數據記為x,y,z,其中x,y代表地理位置，z代表元素TOC\o"1-5"\h\zii i i i i含量，貝收,y,z構成的曲面稱為含量曲面.先將含量曲面的投影平面用矩形網絡分割i i i為邊長為5x^5y的矩形，第k個矩形記為abcd,這4個點的投影高度為hhhak bk ckhdk(即4個點處元素的含量),選取含量尺度r,當hk,hbk,hk,hdk均大于或等于r時，計dk akbk ck dk算該投影網格對應的小曲面面積，近似面積公式為Sk心1[J6Sk心1[J6x2+(h-h)2x丿 akdk-h}+.6x2+(h-h^2ck' bkck-hbk則整個投影網絡對應在曲面上的覆蓋總面積可近似為S(r)=TNS(r)kk=1式中,N是小矩形數目。當取不同的r值,將得到不同的S(r)。為了求出分維數D,將觀測數據S(r),S(r),,,S(r)和r,r,,,r繪在雙對數1 2 n 12 n坐標圖上，用最小乘法進行分段擬合，求出斜率D的估計量，即為分維數。(陳聆等，2004)為使含量-面積分形法所計算的結果更加精確,在估計的拐點兩側可適當加密分類的面積數。4）三角棱柱表面積法三角棱柱表面積法是通過比較在采用不同尺度觀測圖像“表面”時表面積的大小的變化情況來計算曲面的分形維數的一種方法。此方法利用柵格的4個角點（A、B、C、D）像素值來計算，而中心點的像素值為這4個角點像素平均值。中心點將柵格正方形分成4個三角形，分別計算這4個三角形的面積,4個三角形的面積之和即為柵格的表面積（圖6）。改變柵格尺寸，重復上述計算，從而得到圖像表面積與柵格尺度之間的關系，即可計算出圖像的分維。（陳文凱等，2010）圖6三角棱柱表面積法示意圖（陳文凱等，2010）5）結構函數法將表面輪廓曲線視為一個時間序列z（x），則具有分形特征的時間序列能使其采樣數據的結構函數滿足E[z（x+九）—Z（x）1二C|九|4-2D（1〈D〈2）式中,E[Z（x+入）-Z（x）]2表示方差的算術平均值，t是數據間隔的任意選擇值，即尺度標準。針對若干尺度t對輪廓曲線的離散信號計算出相應的差方的算術平均值，然后在對數坐標中得logE[Z（x+入）-Z（x）]2-logt直線的斜率k,則分形維數D與斜率k的轉換關系為D=2-k/2也就是說得到k值，就可以得到分形維數D。（王建軍等，2006）具有分形特征的是復雜系統，復雜程度可以用非整數維一一分數維來描述。各種不同的分形維數是集合劃分不同層次的層次標號，它們從不同的角度對集合進行層次的劃分。分形維數D度量了系統填充空間的能力，它從測度論和對稱理論方面刻畫了系統的無序性,是描述復雜對象的最基本特征。比如豪斯道夫維數是描述點集規則與不規則的幾何尺度，同時其整數部分反映出圖形的空間狀態。對于動力學系統,豪斯道夫維數大體上表示了獨立變量的數目。在工程表面評價中已經證明分形維數是不受儀器精度和測量基準影響的重要指標;在材料科學中已經發現分形維數與材料的某些性質參數有關;在化學領域，分形維數同催化劑的催化作用和選擇性相關。在信號處理、地震的預報、石油的開采、生物生態學、經濟因素的分析等方面，分形維數都有其獨特的含義。（李伯奎等，2004）以上就是對于分形的一些了解，經過探討,我們發現對于本次我們的課題長石環帶中的微量元素的分析可以運用到分形中的盒維數法，通過盒維數法我們可以計算出北京周口店地區的房山巖體中的分數維,并推測出各種元素的大致分布,從而為后來者對于房山巖體的研究提供幫助。主要通過兩種的盒維數法來計算分數維。1）剖面曲線的盒維數計算方法：通過我們已經獲得的房山巖體的長石環帶薄片上的各種元素的含量，我們將其制作成元素含量剖面曲線（如圖7），并將元素含量剖面曲線嵌入平面空間，再將平面空間劃分成邊長為a的盒子，數出曲線所占據的盒子數Na,則曲線的長度L可以近似表示為：L=N0然后改變盒子的邊長為b數出曲線所占據的盒子數Nb，獲a aaA b得曲線的長度L，如此改變盒子的邊長計算下去。若將盒子的邊長記為r則獲得的結果b滿足如下關系：L=Nr正比口-drr式中D即為剖面曲線的分形維數，若將上式兩邊取對數，則有：lgN=-Dlg（r）+C（常數），r

則上述剖面曲線所獲得的盒子數與所采用的盒子尺度在雙對數坐標中將呈線性分布，從擬合直線的斜率（slope）即可獲得剖面曲線的分維值（D=-slope）。11瓷至k11瓷至k圖7湖南某地塢含量剖面曲線（龔慶杰等，2002）2）空間曲面的盒維數計算方法:將我們已知的各種元素的含量制作成元素含量空間曲面（如圖8），再將曲面嵌入立體空間，并將立體空間劃分為邊長為a的立方體盒子，數出曲面所占據的盒子數N,則曲面的面積A可以近似表示為：A=Nxa2a a aa然后改變盒子的邊長為b,數出曲面所占據的盒子數Nb,獲得曲面的面積Ab；如此類推計b b算下去。若將盒子的邊長記為r,則獲得的結果滿足如下關系：A=Nxr2正比（r2）2-drr式中D即為曲面的分形維數。上式兩邊取對數有：LgA=lg（Nrx"）=（2-D）lg3）+C（常數）lg（Nr）=（1-D）lg（r2）+C（常數）則由上述曲面所獲得的盒子數或面積與所采用的盒子面