考慮運輸能力的動態出行均衡模型

0公共交通系統內的體現隨著我國城市社會經濟的發展和城市規劃策略的改變，生活和工作場所的空間布局和聯系發生了根本性的變化。在北京和上海等大城市，越來越多的居民搬到市中心，但他們的工作場所仍然位于城市，這就給大城市的日常交通帶來了大規模的關注。以北京為例。根據《北京城市規劃總體規劃》（2004-2010年），中心城市的人口規模將嚴格控制。現在有650萬人，2020年將減少到540萬人。其中，前城市住宅的人口控制在110萬人左右。根據相關研究，僅占北京城市總面積的5%以上的舊城，集中在全市50%以上的交通和商業活動。北京的經濟和社會發展幾乎集中在首都。然而，由于舊道路空間有限，交通壓力過大，功能不足，無法簡單地解決一條和兩條道路。越來越多的人認識到，解決中國大城市交通問題的根本途徑是優先公共交通，建立以軌道交通系統為骨架、以傳統公共交通為主體、以不同交通方式協調發展的綜合交通體系。然而,當有關部門把注意力集中在通過發展公共交通改善道路交通擁擠狀況時,卻往往忽視了公共交通系統內因人流過度擁擠造成的外部不經濟.比如車廂內的身體過度接觸造成的不便和站臺上的長時間等待,以及由于擁擠所導致的人們受到騷擾和丟失私人物品的風險增大等,這些都是公共交通系統內的擁擠成本.也以北京市為例,據有關調查顯示,乘客表示喜歡乘坐公交車出行的不到兩成,近半的受訪者明確表示不喜歡.而導致老百姓產生不滿意的最主要的兩個原因是“人太多,車內擁擠”(47.1%)和“等車時間過長”(42.7%).不喜歡卻不得不選擇搭乘公交車出行,這說明乘坐公交車更多地是大家一種無奈的選擇.目前,公共交通車輛中雖然普遍提供座位,但在高峰期,更多的人要站立乘車,這就導致了每班次的人數不確定,搭乘人數多的班次較搭乘人數少的班次要更擁擠,人們也就要承擔更多的擁擠成本.在地鐵等大容量公共交通設施內,高峰期過度擁擠,距離車門遠的乘客往往要提前數站擠到車門附近準備下車.對于無軌電車和公共汽車等小容量公共交通設施,在高峰期甚至可能因為車輛滿員而被迫等待幾班車.如何優化利用有限的資源、提高服務質量,發展公共交通系統,從而吸引更多的居民樂于選擇公交出行就變得十分關鍵了.北京的大多數居民表示,買得起私家車就不會選乘公交,而香港的家庭幾乎都買得起私家車,但卻樂于使用大眾交通工具,這很值得我們深思.本文考慮高峰期公共交通系統的內部擁擠,對公交沿線乘客出行行為的差異展開深入研究.揭示人們出行的內在規律,有助于加深對復雜交通行為的理解,為優化發展公共交通方式、改進公交規劃與管理、改善城市交通擁堵狀況,提供科學依據.1動態出行模型緩解城市道路交通擁擠,除了通過新建和擴建道路直接改善交通外,鼓勵公交出行、進行交通需求管理也是重要的辦法,這個問題引起了許多經濟學家、交通運籌學家的關注[3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18].在20世紀70年代,Mohring利用公共產品邊際成本定價原理建立了固定需求下公共交通方式的微觀經濟模型,并給出了最優的發車頻率,發現了著名的“平方根法則”(最優發車頻率與出行人數的平方根成正比).Jansson簡化了Mohring的模型,給出了最優站點距離的解析解,同時也驗證了“平方根法則”.deCea和Fernandez建立了一個公交均衡配流模型,考慮了公交線路容量的影響.在他們的模型中,引入了“有效頻率”(effectivefrequency)的概念,考慮了因為換乘點人流擁擠的影響,導致乘客實際接受公交服務的頻率變化.但是他們把這樣的擁擠影響看作是流量的無上限單調遞增凸函數,而沒有在模型中對物理容量約束加以限制.以上這些模型都把乘客流量視為外生變量,即研究靜態公交配流,沒有考慮乘客出發時間選擇這樣的動態行為.現實中,公共交通系統內人流量在一天內的變化差異往往很大,因此動態地研究公交系統內乘客的出行行為就變得尤為重要.進入1990年代,這一方向逐漸成為研究的熱點.Sumi等提出了大容量公共交通系統下的出發時間和路徑選擇模型.Alfa和Chen設計了一個算法考察高峰期通勤者出發時間選擇問題,他們將乘客的期望等車時間視為擁擠成本,由于計算過程復雜,不能給出模型的解析結果.Kraus和Yoshida分析了與文獻類似的單線路模型,但側重于經濟分析與優化,他們用車站排隊等待時間成本來反映公交擁擠,證明高峰期最優的發車頻率與出行人數之間并不滿足“平方根法則”,這也說明研究公交系統內的動態特性十分必要.Lam等人研究了由于公交系統內上下車的擁擠而引起公共交通實際服務頻率的動態變化.以上幾個典型的動態模型都假設高峰期公交車廂內的乘客人數達到固定的上限值,沒有考慮即使在高峰期,不同班次中的人數也可能存在變化.事實上,由于高峰期大量乘客站立乘車,車廂內不同班次之間的擁擠程度往往不同.Lam等人在香港的調查結果顯示,車廂內的乘客數量是動態變化的,車廂內的擁擠和等車時車站上的擁擠會給出行者帶來不便,這些不便會影響人們的交通模式選擇和出發時刻選擇.為了反映擁擠帶來的不便影響,Huang等人使用一種不舒適度函數(Discomfortfunction)對公共交通的動態出行行為進行了研究,他們把乘客在車廂內經歷的擁擠成本視為車內人數和乘車時間的單調增函數,研究了高峰期選擇不同班次的乘客人數變化.隨后,Huang等人又研究了在公共汽車與私家車混行的道路系統內,私家車對公共交通的影響,發現選擇公共汽車的乘客數量在高峰期內呈“V”字形分布.進一步,Tian等人在多起點單訖點的網絡上分別研究了不同站點乘客的班次選擇行為差異和車廂容量對上下游乘客選擇班次的影響.本文同樣考慮了公交系統內的擁擠成本,使用動態規劃的建模方法對一種典型的公交系統(多起點單訖點)展開研究,考察高峰期的產生和消散,分析乘客的動態出行行為,并完成必要的模擬計算.應用本文提出的模型,可以評價公共交通規劃與管理方案對乘客出行行為的影響.2乘客容量的增加由于高峰期車輛內往往存在站立的乘客,使得車廂內的人數為變量,從而導致不同班次車輛內的擁擠程度不同.廂內擁擠給人們造成的外部成本可以表示成車內人數n的函數,定義單位時間擁擠成本函數為g(n),并對其作如下假設:(1)g(n)≥0;(2)g(0)=0;(3)g’(n)>0,n≥0.假設(1)說明擁擠成本非負,假設(2)說明當車內沒有人時就不存在擁擠成本,假設(3)說明擁擠成本為車內人數的增函數,這些都符合基本的客觀現象和物理條件.乘坐公共交通工具,在高峰期都要承受車廂內的擁擠成本,但不同的公交工具又有不同的特點.比如在地鐵、輕軌等大容量公共交通系統內,每一班次所運載的乘客數量可以達到數百甚至上千.出于安全考慮,車廂的容量都設計得比較大,正是因為設計容量大(當然,設計容量還是小于極限的物理容量),可以被擠壓的潛力也大,就可能出現這樣的乘車現象:在車內人數達到設計容量之前,人們很介意擁擠的程度,發現擁擠后能夠自動選擇別的班次;當車內人數超過設計容量時,有部分乘客還能夠繼續上車(除非物理容量也達到了).靠近站點的人樂于搭乘雖然擁擠、但延誤時間很少的班次,對他們來說,不愿過早或很晚地趕到車站登上可以早到或很晚達到W的列車,因此擁擠不可避免.對這類公共交通工具而言,容量約束是相對軟性的.對于公共汽車、無軌電車和雙層巴士等小容量的交通工具而言,下游站點的乘客就要考慮到達的班車是否滿員,若滿員了,他們就不得不等待下一班車.小容量交通工具的挖潛空間十分小.在高峰期,小容量公共交通工具的站臺上往往會形成長長的等待隊列,因此,對小容量交通工具來說,車內容量是一個不可以被突破的強約束.對等待隊列中的人們來說,即使愿意忍受車內擁擠,也上不了車.如何刻畫不同公共交通工具車內擁擠所導致的出行分布差異,就是本文所要研究的核心內容.2.1出行總成本的確定城市高峰期出行具有很強的集聚性,本文研究如圖1所示的公交系統,列車由生活區H1出發,途經H2,…,HK-1,HK等站,開往工作區W.每天早晨,有N1,N2,…,NK個出行者,分別從H1,H2,…,HK出發去W上班(中途無人下車).列車的容量有限,為N0,如果某一班次列車達到某一站點前,其車內人數達到了最大容量,該班車就不能搭載新的乘客,該站點的乘客只能等待后面到達的不滿員班次列車.本文將車廂容量視作約束條件,只有這樣才能描述出行者上車的先后順序,這種順序影響下游站出行者的策略集合(因為滿員的車不可以再搭載新乘客),導致不同站點的乘客有不同的上車優先權,這就是,上游站點的乘客(先上車)比下游站點的乘客(后上車)具有更多的優先選擇班次的機會.當列車到達某一站點時,可能還有一定的接納乘客空間,但不能滿足該站當時所有乘客的搭乘要求,這列即將滿員的車輛就擁有了“稀缺資源”,車站上的某些乘客要得到“稀缺資源”,就必須付出額外成本,假設列車按照“先到先上”的規則服務乘客,這筆額外成本就表現為排隊等待時間.在不失一般性的前提下,假設所有出行者同質,即具有相同的上班時間,相同的時間價值,對擁擠有著相同的敏感性.出行者經過長期的實踐和認識,將擁有完備的發車信息,對上游來的列車的載客情況也有了充分的認識,他們會調整自己的到站時刻,避免不必要的站臺等待時間.因此,Hi處乘客乘坐第j班列車的出行總成本是TCijij=pi+αTi+Cijij+δ(j)+ρijij,1≤i≤K,j∈Z(1)其中:右邊第1項pi為Hi處的上車票價,本文設pi為常數;右邊第2項為乘客的車上時間成本,α為乘客的單位車上時間成本,Ti為自Hi處上車的乘客的總乘車時間,假設列車以恒定的速度行駛,每班車從H1到W所經過各區段的行駛時間(包含車站停靠時間)是固定的,分別為τ1,τ2,…,τK,則有Τi=Κ∑m=iτmTi=∑m=iKτm;右邊第3項Cijij為Hi處乘客乘坐第j班車的車內擁擠成本.根據假設,有Cij=Κ∑s=i[g(s∑m=1nmj)τs],1≤i≤Κ,j∈Ζ(2)Cij=∑s=iK[g(∑m=1snmj)τs],1≤i≤K,j∈Z(2)其中:nmjmj≥0表示從Hm站搭乘第j班車的人數,Z是所有列車班次的集合,Z={…,5,4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4,-5,…},正數表示提前到達W的列車,負數表示晚到的列車(早到和晚到是相對于上班時間而言的).式(1)右邊第4項δ(j)為乘坐第j班車到達終點W的乘客所承受的早到或晚到懲罰成本,可以表示為δ(j)={jβt,j>00,j=0|j|γt,j<0(3)其中:β和γ分別為早到和遲到的單位時間懲罰成本,t是發車時間間隔.式(1)右邊第5項為前面提到的排隊時間成本.對于在同一個車站Hi上車的所有乘客而言,pi+αTi是相同的,不會導致決策差異.因此,不失一般性,可以假設pi+αTi=0.在同一站上車的乘客將在擁擠成本、早到/晚到懲罰成本和排隊時間成本之間做出比較,通過乘坐班次的選擇,使個人出行成本最小.假設所有乘客的班次選擇是在信息公開、不合作博弈規則下進行的,則經過長期的調整,存在一種所謂的用戶均衡狀態(User-Equilibrium),人們的總出行成本是相同的,沒有人可以通過單方面改變乘坐班次來減少個人成本,即{ΤCij=ΤCi,nij>0ΤCij≥ΤCi,nij=0j∈Ζ,i=1,2,?,Κ(4)其中:TCi是均衡狀態下、站點Hi處乘客的個人出行成本.上式表明,當有乘客選擇第j班列車時,乘坐該班車的成本等于均衡成本,如果沒有乘客選擇第j班列車,乘坐該班次的成本將不小于均衡成本.2.2最優性條件和乘子的確定由于存在硬性的容量約束,不同站點的出行者將因為他們的空間位置不同而在長期的均衡博弈中處于不同的地位,當列車的載客量接近最大容量時,距離W比較遠的站點的乘客比距離W比較近的站點的乘客更容易得到上車機會.在給定發車時間間隔t的前提下,尋找滿足均衡條件(4)的乘客出行分布等價于同時求解下面的K個極小值問題約束條件∑j∈Ζnij=Νi(6)nij≥0,j∈Z(7)i∑s=1nsj≤Ν0,j∈Ζ(8)其中:G(x)=∫x0g(ω)dω,ni={nij|j∈Z}.目標函數式(5)是所有乘客擁擠成本函數的積分和與他們所承受的所有延誤時間成本之和,優化變量ni為站點Hi處搭乘各班次的人數.與經典的用戶均衡配流問題類似,目標函數中的G(x)并沒有直接的經濟意義.式(6)是站點Hi處乘車人數的守恒條件,式(7)是人數的非負條件,式(8)是車廂容量約束條件,表示列車離開站點Hi后車內人數不超過極限容量.上述K個極小值問題的物理意義是,K個不同站點的乘客在其他站點乘客出行選擇已經確定的情況下各自做出自己的用戶均衡決策.這K個極小值問題的目標函數相同,在其凸可行域內為有下界的連續函數,所以必存在下確界.另外,由于每一個優化問題的解空間都是凸集,且目標函數為凸函數,使得每一步優化問題都可以得到唯一的最優解,多次迭代優化后將收斂到唯一的均衡解.這就說明了我們所建立模型的存在性和唯一性.下面證明與最優化問題(5)～(8)等價的一階條件滿足前面定義的用戶均衡條件(4).對于Hi站,一階最優性條件是nij[Cij+δ(j)+ρij-vi]=0,j∈Z(9)Cij+δ(j)+ρij-vi≥0,j∈Z(10)ρij(Ν0-i∑s=1nsj)=0(11)ρij≥0,j∈Z(12)和約束(6)～(8).其中vi和ρij是對應于約束條件(6)和(8)的拉氏乘子.式(9)和(10)說明,如果Hi處有人搭乘第j班列車,即nij>0,那么乘客的出行成本等于常數vi,如果Hi處沒有人搭乘第j班列車,即nij=0,那么乘客的出行成本將不小于常數vi.因此vi就是Hi處乘客出行的均衡成本TCi.式(11)和(12)說明,若列車離開Hi處還沒有滿員,在Hi處就沒有發生排隊等待成本,所以ρij=0,否則,從該處上車的乘客就是使用了“稀缺資源”,要付出額外的排隊等待成本,即ρij≥0,因此ρij就是Hi處乘客搭乘第j班車的排隊等待成本.可見,對每個車站而言,模型(5)～(8)的一階最優性條件等價于用戶均衡條件(4),即乘客在其選擇搭乘的班次中都將承擔相同的也是最低的出行成本,同時滿足列車極限容量約束條件.3基于均衡流量分布的均衡流量分布求解算法本節設計一個算法,求解均衡狀態下的乘客班次選擇分布.為了保證乘客能在高峰期內自由選擇列車班次,列車標號集合Z={ξ,…,5,4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4,-5,…,-ζ}應該足夠大,但過大又不利于提高計算效率.下面給出一個估計ξ和ζ上限的簡單算法.求解下面的優化問題(13)～(16),通過試算的方法找到合適的ξ*和ζ*,使其滿足條件n1ξ*=0和n1-ζ*=0,且n1ξ*-1>0或n1-(ζ*-1)>0.minL(n1)=Κ∑s=1τs?∑j∈ΖG(n1j)+∑j∈Ζn1j?δ(j)(13)約束條件∑j∈Ζn1j=Κ∑i=1Νi(14)n1j≥0,j∈Z(15)n1j≤N0,j∈Z(16)注意到,(13)～(16)其實是優化問題(5)～(8)的一個特例,相當于將所有的出行者都集中到始發站.假設所有出行者都承受最長的擁擠時間Κ∑s=1τs,由此得到的ξ*和ζ*顯然滿足Κ∑i=1niξ*=0,且Κ∑i=1ni-ζ*=0,即,能夠保證乘客在高峰期內自由選擇列車班次.在確定了可選擇班次集合Z后,求解均衡流量分布的算法如下:步驟1初始化.令n(0)={nij=Νiξ+ζ+1,j∈Ζ,1≤i≤Κ},計算L(n(0)),置迭代次數r=1.步驟2用戶均衡分配:步驟2.1基于n(r-1)(-1)={nij|j∈Z,1≤i≤K,且i≠1},求解第1站的優化問題(5)～(8),得到該站新的乘客流量分布n(r)1,更新n(r-1)1=n(r)1.……步驟2.k基于n(r-1)(-k)={nij|j∈Z,1≤i≤K,且i≠k},求解第k站的優化問題(5)～(8),得到該站新的乘客流量分布n(r)k,更新n(r-1)k=n(r)k.……步驟2.K步基于n(r-1)(-K)={nij|j∈Z,1≤i≤K,且i≠K},求解第K站的優化問題(5)～(8),得到該站新的乘客流量分布n(r)K,更新n(r-1)K=n(r)K.步驟3收斂性檢驗:計算L(n(r)),若滿足[L(n(r-1))-L(n(r))]<ε(其中ε是迭代精度),則停止,輸出n*=n(r),此即均衡流量分布;否則,令r=r+1,轉步驟2.4城市軌道交通新特性下面給出一個算例,一方面驗證本文的理論分析結果,另一方面考察最大容量約束對不同居住地的出行影響.模型的輸入參數是:K=8(站),(β,γ)=(10,30)(元/h),τ={τ1,τ2,…,τK}={0.2,0.3,0.1,0.2,0.1,0.2,0.15,0.1}(h),N={N1,N2,…,NK}={200,200,300,300,300,300,300,300}(人),車內的線性擁擠成本函數g(n)=0.05n(元/h),發車間隔t=0.05(h).圖2～圖5是不同容量約束下均衡狀態的乘客出行分布圖.圖2中的容量約束為500(人/班車),在均衡狀態,準時到達班次的車內人數小于450,可以看作是大容量公共交通工具,比如地鐵.圖2顯示,除最接近W的站點(第8站)外,其余站點的乘客流量在高峰期基本是穩定的,第8站的乘客在兩個班次之間的分布變化比較大,但這兩個班次的載客量仍未達到物理極限,這充分反映了大容量公共交通工具的基本特性.圖3中的容量約束為300(人/班車),可以看出,能夠準時到達W的列車在到達第8站之前已經滿員,第8站的人們已經沒有機會實現準時上班,他們必須在早到與遲到之間做出選擇,多數選擇了可以早到的列