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文檔簡介

2.7利用等價無窮小量代換求極限1、問題的提出無窮小的和、差、積仍為無窮小.無窮小的商是什么？引例:趨向于零的“快慢”程度不同.結論:x10.50.10.010.001…→02x210.20.020.002…→0x210.250.010.00010.000001…→02、兩個無窮小的關系:定義：例1解：證注意：若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積，則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小代換，而不會改變原式的極限．等價無窮小因子替換法替換方法：要么替換整個分子（分母），要么替換分子（分母）中的因子．證:常用的幾個等價無窮小:注意：等價無窮小中，可以對相應的變量進行置換如：一般地，有：如果又如：例1解:例2解:例3解：例4解:此題用倒代換也可例5解：例6解：此題用倒代換也可例7解:例8解:由題意知注意：不能濫用等價無窮小代換.無窮小代換原則：乘除可以替換，加減不能單項替換，只能總體代換!!反例：解錯解常用的等階無窮小列舉如下：

當

x

0時.

0

,

,

,

>?aNnm其中記住2.8函數的連續性一、函數改變量（或稱函數增量）1、問題的提出

冰水吸收熱量與溫度的函數關系：我們知道，當冰加熱到一定程度時，就會溶化成水.但我們是否知道，冰在溶化過程中，它所吸收的熱量Q與溫度t之間有何種關系呢？下面我們來研究這個問題.結論：函數的圖像在點處是間斷的（不連續）⑴放到冰箱中熱飲料的溫度C或一天的氣溫C是隨時間T連續地變化著.⑵生長植物的高度H或動物的體重G隨時間T連續地變化著.⑶神舟六號飛天時或駿馬奔走時的空間位置隨時間T連續地變化著.以上這些現象在數學上都體現函數的連續性.T(時間)O

C溫度414242、變量的改變量⑴定義⑵幾何意義定義：即：函數的改變量=函數的終值–函數的初值3、函數的改變量（或函數增量）

函數的改變量可以寫成自變量改變量的函數例1求函數

改變量

解：解：例2(1)正方形邊長由x增加到x+

x，則面積S的改變量

S為多少？(2)邊長由2米改變到2.05米(3)邊長由2米改變到1.95米觀察下述圖形：函數

所表示的曲線在點

處連續，當時，二、連續函數的概念觀察下述圖形：函數

所表示的曲線在點

處不連續，當

時，

1、函數在點x0連續的定義記于是，上述定義可以轉化為確切地，有以下定義：例3證可見,函數f(x)在點x0連續必須具備下列條件:1、函數在點x0連續的定義（續）(1)f(x)在點x0有定義，即f(x0)存在;(2)極限(3)存在;用極限的“”語言來描述：例4證由定義知2、單側連續的定義(1)左連續:(2)右連續:在區間上每一點都連續的函數,叫做在該區間上的連續函數,或者說函數在該區間上連續.

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