20202021學年山東省新高考質量測評聯盟高一上學期12月月考數學試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出集合，然后再由并集運算可得答案.【詳解】由得所以故選：C2．已知，，那么是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由全稱命題的否定為特稱命題可得結果.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以是，，故選：D.3．不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接利用因式分解，結合二次函數的圖象即可求解不等式得解．【詳解】解：因為，所以，所以或，即故選：C4．下列函數在區間上為增函數的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據函數特征一一判斷即可．【詳解】A中，在區間上為增函數，故A正確；B中，是指數函數，其底數為，故為減函數，則B錯；C中，因為的底數為，則在上為增函數，所以在區間上為減函數，所以C錯；D中，為二次函數，其圖象對稱軸為，開口向上，所以在區間上為不單調，故D錯．故選：A5．冪函數、、以及將平面直角坐標系第一象限分成八個“卦限”：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ（如圖所示），那么冪函數的圖像在第一象限中經過的“卦限”是（）A．Ⅳ和Ⅶ B．Ⅳ和Ⅷ C．Ⅲ和Ⅶ D．Ⅲ和Ⅷ【答案】C【分析】本題可通過繪出冪函數的圖像得出結果.【詳解】如圖所示，在圖中繪出冪函數的圖像（用虛線表示）結合圖像易知，冪函數的圖像經過的“卦限”是Ⅲ和Ⅶ，故選：C.6．某人的智能密碼是一個六位數字，將前三位數組成的數與后三位數組成的數相加得741，將前兩位數組成的數與后四位數組成的數相加得633，該密碼對應的六位數是（）A．201126 B．210612 C．110631 D．120621【答案】D【分析】設該密碼對應的六位數字是abcdef，根據題意，由求解.【詳解】設該密碼對應的六位數字是abcdef，由題意得：即，解得，所以該密碼對應的六位數字是120621故選：D7．若正實數，滿足，則的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由對數的性質可知：原等式等價于，即，可推導出，根據“1”的應用可求出的最小值.【詳解】由條件可知，因為，，所以等價于，即，即，即，所以，當且僅當時，等號成立.故選：B.【點睛】知識點點睛：（1）當時，，當且僅當時“等號”成立；（2）基本不等式的應用為“一正二定三相等”.8．已知，為正實數，且，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據指數函數及冪函數的單調性可判斷A，B，當時可判斷C，根據均值不等式判斷D即可.【詳解】，為正實數，且在上均為減函數，在上為增函數.A：當時，，故A錯誤；B：當時，，故B錯誤；C：當時，聯立，解得，此時，故C錯誤；D：，，，，，，故D正確.故選：D【點睛】關鍵點點睛：利用指數函數的單調性，冪函數的單調性容易判斷AB存在錯誤，根據均值不等式推導，利用指數函數性質及不等式的傳遞性判斷D正確，是解題的關鍵.二、多選題9．已知實數，且，則下列不等式中一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】A.根據在R上遞增判斷；B.由時判斷；C.由時判斷；D.利用不等式的乘法性質判斷.【詳解】A.因為，所以，又因為在R上遞增，所以，故正確；B.當時，，故錯誤；C.當時，不成立，故錯誤；D.因為，，所以，故正確；故選：AD10．下列說法正確的是（）A．函數在定義域上為減函數B．“”是“”的充分不必要條件C．冪函數在上是增函數的一個充分條件是D．是的必要不充分條件【答案】BCD【分析】在上是增函數，則判斷；D.利用對數函數的圖象和性質判斷.【詳解】A.函數在上是減函數，故錯誤；B.命題若“”，則“”的等價命題是命題若“”，則“”，原命題為真，逆命題為假，故充分不必要條件，故正確；C.若冪函數在上是增函數，則，故正確；，則，故正確；故選：BCD11．中國傳統文化中有很多內容體現了數學的對稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分展現了相互轉化、對稱統一的數學之美.現給出定義：能夠將圓的周長和面積同時平分的函數稱為這個圓的“和諧函數”，下列命題正確的是（）A．對于任意一個圓，其“和諧函數”有無數個B．函數不是任意一個圓的“和諧函數”C．函數可以是某個圓的“和諧函數”D．函數是“和諧函數”的充要條件為函數的圖象是中心對稱圖形【答案】AC【分析】根據“和諧函數”的定義，一一驗證即可.【詳解】對于A：過大圓圓心的直線由無數條，故A正確；對于B：函數定義域為R，為奇函數，所以它是圓心在原點的圓的“和諧函數”，故B錯誤；對于C:函數是奇函數，符合題意，故C正確；對于D：函數的圖象是中心對稱圖形，則函數不一定是“優美函數”，如；函數是“優美函數”時，圖象也不一定是中心對稱圖形，如圖所示：所以函數的圖象是中心對稱圖形是函數是“優美函數”的不充分不必要條件，故選項D錯誤.故選：AC12．已知函數（且），則下列結論正確的是（）A．，等式恒成立B．若，則一定有C．，方程有兩個不相等的實根D．存在無數多個實數，使得函數有三個零點【答案】ABD【分析】A.利用函數奇偶性定義判斷；B.由，分，的值域；D.將函數有三個零點，轉化為有三個交點，利用數形結合法判斷.【詳解】A.，故正確；B.因為，當時，遞增，所以遞增，當時，遞減，所以遞減，綜上，單調，所以若，則一定有，故正確；C.因為，則，，所以，當時，方程無實根，故錯誤；D.若函數有三個零點，則有三個交點，因為都是奇函數且都過，當時，如圖所示：當時，如圖所示：所以存在無數多個實數，使得函數有三個零點，故正確；故選：ABD【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解三、填空題13．函數的定義域為______.【答案】【分析】根據函數，由求解.【詳解】因為函數，所以，即，解得，所以函數的定義域是故答案為：14．方程的解為______.【答案】【分析】設，即求二次方程的正實數根，即可解決問題.【詳解】設，即轉化為求方程的正實數根由得或(舍)所以，則故答案為：15．已知是定義在上的偶函數，在上單調遞增，且有，則不等式的解集為______.【答案】【分析】先函數為偶函數以及條件得出的單調性和，進一步得出函數的符號情況，將化為，分和兩種情況解不等式,即可得出答案.【詳解】由是定義在上的偶函數，在上單調遞增，且所以在上單調遞減，所以當或時，，當時，等式，即當時，則，所以不成立，故以此時無解.當時，則，由當或時，，則或故答案為：四、雙空題16．已知函數，若方程有四個不同的解，且，則實數的取值范圍是______，的最大值是______.【答案】【分析】畫出的圖像,再數形結合分析參數的的最小值,再根據對稱性與函數的解析式判斷中的定量關系化簡再求最值即可.【詳解】畫出的圖像有：因為方程有四個不同的解,故的圖像與有四個不同的交點,又由圖，,，故的取值范圍是.又由圖可知,，，故，故.故.又當時,.當時,,故.又在時為減函數，故當時取最大值.故答案為：；【點睛】關鍵點點睛：求解函數零點個數以及范圍的問題，關鍵是畫出函數圖象，根據題意分析交點間的關系,并結合函數的性質，利用數形結合求解，屬于難題.五、解答題17．化簡并求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據指數冪的運算法則求解即可；（2）根據對數的運算法則及性質求解.【詳解】（1）.（2）.18．已知，.（1）求；（2）已知函數，從①，都有成立，②，使得成立，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并完成解答.問題：記，______，若為假，為真，求實數的范圍.（若選擇兩個條件分別解答，按照第一個解答計分）【答案】（1）或（2）答案見解析．【分析】（1）先化簡集合，再計算并集與補集即可；（2）若選①：有恒成立，因為，所以，所以，結合假真即可得結果；若選②：有能成立，則計算最小值，結合假真即可得結果．【詳解】（1）由已知，得，，所以，所以或.（2）因為為假，所以．若選①：因為，恒成立，即恒成立，因為，所以，當且僅當是，，所以，因為為假，為真，所以的取值范圍是.若選②：由，使成立，即能成立，因為，所以，當且僅當時，，所以，因為為假，為真，所以的取值范圍是．【點睛】方法點睛：已知不等式能恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數法：討論參數范圍，借助函數單調性求解；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域或最值問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解．19．函數.（1）當時，求函數的值域；（2）當時，函數有兩個零點，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出的表達式，再換元可得，，由指數函數的單調性可得答案.

（2）令則，將問題轉化為二次方程在上有兩個不等實根，由二次方程實數根的分布的條件可得答案.【詳解】（1）時，，所以，令，，此時，因為在上是增函數，所以，所以的值域是.（2）當時，有兩個零點，即有兩個不等實根，即存在兩個不等實根，令，所以在上有兩個不等實根，設，則，解得.所以的取值范圍是.20．“鳳眼藍”是一種花朵為淺藍色的浮水草本植物，它是我國園林水景中的常用造景材料，并且適宜在污染嚴重的水中生長，是監測環境污染的良好植物，某市2019年底為了凈化某水庫的水質，引人“鳳眼藍”，這些“鳳眼藍”在水中蔓延速度越來越快，2020年1月底“鳳眼藍”覆蓋面積為，到了4月底測得“鳳眼藍”覆蓋面積為，“鳳眼藍”覆蓋面積單位：）與月份（單位：月）的關系有兩個函數模型（且）與可供選擇.（1）分別求出兩個函數模型的解析式；（2）經測得2020年5月底“鳳眼藍”的覆蓋面積約為，從上述兩個函數模型中選擇更合適的一個模型，并求“鳳眼藍”覆蓋面積達到時的最小月份.（參考數據：，）【答案】（1），；（2）更合適，10月.【分析】（1）根據2020年1月底“鳳眼藍”覆蓋面積為，到了4月底測得“鳳眼藍”覆蓋面積為，將代入求解.（2）將，代入（1）所求的解析式，根據2020年5月底“鳳眼藍”的覆蓋面積約為判斷哪個模型更合適，然后再根據覆蓋面積達到求解.【詳解】（1）若選：由題意，得解得所以.若選：由題意得解得所以.（2）若用，當時，，若用，當時，，所以用模型更合適，令，即，所以，所以.所以“鳳眼藍”覆蓋面積達到時的最小月份是10月.【點睛】方法點睛：解函數應用問題的步驟：(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；(3)解模：求解數學模型，得出數學結論；(4)還原：將數學結論還原為實際問題的意義．21．已知是定義在上的奇函數，且，若對任意的，，都有.（1）判斷并證明的單調性；（2）解不等式；（3）若不等式對于任意恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）單調遞減，證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）任取且，根據單調性的定義可得結論；

（2）利用函數單調性可得去掉不等式中的符號，轉化為具體不等式，再考慮到函數定義域可得不等式組，解出即可；

（3）要使得對于任意的x∈[1，1]，a∈[1，1]都有恒成立，只需對任意的a∈[1，1]時，看作關于a的一次函數可得不等式組求解.【詳解】（1）在上單調遞減.證明：任取且，則即，所以在上單調遞減.（2）因為且為奇函數，所以，又結合（1）得：，故解集為.（3）由（1）得，所以在上恒成立，即.令，只需即解得，所以實數的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：根據函數的單調性、奇偶性求解抽象不等式問題，其中利用函數性質去掉符號是解抽象不等式的關鍵．22．已知是上的偶函數，其中為自然對數的底數.（1）求實數的值；（2）設，求函數在的最小值；（3）已知為的反函數，設，若對任意的，當，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據偶函數的定義轉化為恒等式求解即可；（2）換元后函數轉化為，討論二次函數對稱軸與的關系求最值；（3）根據反函數求出，原不等式恒成立轉化為對任意的恒成立，分離參數求最值求解即可.【詳解】（1）因為是偶函數