第2課時空間向量的數量積[學習目標]1.了解空間向量的夾角.2.掌握空間向量的數量積的定義、性質、運算律及計算方法.3.了解投影向量以及投影數量的概念.4.掌握兩個向量的數量積在判斷垂直中的應用，掌握利用向量數量積求空間兩點間的距離．導語在平面向量中已經學過兩個平面向量的數量積運算，由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量，因此，兩個空間向量的夾角和數量積就可以像平面向量那樣來定義．一、空間向量的夾角及數量積知識梳理1．兩個向量的夾角定義已知兩個非零向量a，b，在空間中任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫作向量a與b的夾角，記作〈a，b〉范圍0≤〈a，b〉≤π向量平行當〈a，b〉＝0時，向量a與b方向相同；當〈a，b〉＝π時，向量a與b方向相反向量垂直當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，稱向量a，b互相垂直，記作a⊥b規定：零向量與任意向量垂直2.兩個向量的數量積(1)空間向量的數量積已知兩個空間向量a，b，把|a||b|cos〈a，b〉叫作a與b的數量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．零向量與任意向量的數量積為0，即0·a＝0.①cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)；②|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)，|a|2＝a2；③a⊥b?a·b＝0.(2)運算律交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c數乘向量與數量積的結合律(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)例1如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F分別是AB，AD的中點，計算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))；(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→)).解(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos60°＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos0°＝eq\f(1,2).(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(DC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos120°＝－eq\f(1,4).(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)[eq\o(BD,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))]＝eq\f(1,4)[－eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))]＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)))＝－eq\f(1,8).反思感悟由向量數量積的定義知，要求a與b的數量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關，一定要根據方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準確．跟蹤訓練1(1)(多選)設a，b為空間中的任意兩個非零向量,下列各式中正確的有()A．a2＝|a|2B.eq\f(a·b,a2)＝eq\f(b,a)C．(a·b)2＝a2·b2D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2答案AD解析由數量積的性質和運算律可知A，D是正確的；而eq\f(a·b,a2)運算后是實數，eq\f(b,a)沒有這種運算，B不正確；(a·b)2＝(|a|·|b|cos〈a，b〉)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠|a|2·|b|2＝a2·b2，C不正確．(2)已知空間向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為____．答案－13解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.二、投影向量與投影數量知識梳理已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，過點B作直線OA的垂線，垂足為點B1，稱向量eq\o(OB1,\s\up6(→))為向量b在向量a方向上的投影向量，其長度等于||b|cos〈a，b〉|，當〈a，b〉為銳角時，|b|cos〈a，b〉>0(如圖(1))；當〈a，b〉為鈍角時，|b|cos〈a，b〉<0(如圖(2))；當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，|b|cos〈a，b〉＝0(如圖(3))．若用a0表示與向量a(a≠0)同方向的單位向量，則向量b在向量a方向上的投影向量為eq\o(OB1,\s\up6(→))＝|b|cos〈a，b〉a0.因此，稱|b|cos〈a，b〉為投影向量eq\o(OB1,\s\up6(→))的數量，也稱為向量b在向量a方向上的投影數量．向量b在向量a方向上的投影數量為|b|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|)＝a0·b.注意點：(1)投影數量可正、可負、也可為零，這是由兩非零向量的夾角決定的．(2)投影數量不一定是投影向量的模．當兩向量的夾角小于或等于90°時，投影數量才是投影向量的模．例2(1)已知向量a與b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝6，則2a－b在a方向上的投影數量為________．答案1解析∵a與b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝6，∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝2×22－2×6×eq\f(1,2)＝2，∴2a－b在a方向上的投影數量為eq\f(2a－b·a,|a|)＝eq\f(2,2)＝1.(2)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，BC⊥PB；|PA|＝2，|PB|＝2eq\r(2)，若eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的單位向量為e，則eq\o(CP,\s\up6(→))在向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影向量為________．答案－2e解析∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，BC⊥PB，∴BC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴CB⊥AB，又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，故eq\o(CP,\s\up6(→))在向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影向量為eq\o(BA,\s\up6(→))＝－2e.反思感悟(1)求投影向量的方法①依據投影向量的定義和平面幾何知識作出恰當的垂線，直接得到投影向量．②首先根據題意確定向量a的模與b同向的單位向量e及兩向量a與b的夾角θ，然后依據公式|a|cosθ·e計算．(2)a在b方向上的投影數量為|a|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|b|).跟蹤訓練2(1)已知|b|＝3，a在b方向上的投影數量為eq\f(3,2)，則a·b＝________.答案eq\f(9,2)解析∵|a|cos〈a，b〉＝eq\f(3,2)，∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).(2)已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12且e是與b方向相同的單位向量，則a在b方向上的投影向量為________．答案－eq\f(12,5)e解析由于cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(12,3×5)＝－eq\f(4,5)，所以a在b方向上的投影向量為|a|cos〈a，b〉·e＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))·e＝－eq\f(12,5)e.三、空間向量數量積的運算例3已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1，AD＝AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠DAB＝∠DAA1＝60°，eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝3eq\o(NC1,\s\up6(→))，eq\o(D1B,\s\up6(→))＝4eq\o(MB,\s\up6(→))，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.(1)試用a，b，c表示eq\o(MN,\s\up6(→))；(2)求MN的長度．解(1)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1N,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(D1B,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)(eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)c－eq\f(3,4)(a－b)－b＋eq\f(2,3)(a＋b)＝－eq\f(1,12)a＋eq\f(5,12)b＋eq\f(3,4)c.(2)∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,12)a＋eq\f(5,12)b＋eq\f(3,4)c.eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，∴eq\o(MN,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,12)a＋\f(5,12)b＋\f(3,4)c))2＝eq\f(1,144)a2＋eq\f(25,144)b2＋eq\f(9,16)c2－2×eq\f(1,12)×eq\f(5,12)a·b－2×eq\f(1,12)×eq\f(3,4)a·c＋2×eq\f(5,12)×eq\f(3,4)b·c＝eq\f(1,144)＋eq\f(25,144)＋eq\f(9,16)－2×eq\f(1,12)×eq\f(5,12)×cos60°－2×eq\f(1,12)×eq\f(3,4)×cos60°＋2×eq\f(5,12)×eq\f(3,4)×cos60°＝eq\f(138,144)，∴MN的長度為|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(138),12).反思感悟求向量的夾角和模(1)求兩個向量的夾角：利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求cos〈a，b〉，進而確定〈a，b〉．(2)求線段長度(距離)：①取此線段對應的向量；②用其他已知夾角和模的向量表示該向量；③利用|a|＝eq\r(a2)，計算出|a|，即得所求長度(距離)．跟蹤訓練3(1)已知正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為1，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，則〈eq\o(A′B,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))〉等于()A．30°B．60°C．90°D．120°答案D(2)已知在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且這三條棱彼此之間的夾角都是60°，則AC1的長為________．答案eq\r(6)解析設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).由eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，得|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC\o\al(2,1),\s\up6(→))＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6).1．知識清單：(1)空間向量的夾角、投影向量和投影數量．(2)空間向量數量積、性質及運算．2．方法歸納：化歸轉化．3．常見誤區：數量積的符號由夾角的余弦值決定．1．(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(C1A1,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(C1B,\s\up6(→))D.eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(AD1,\s\up6(→))答案AD2．已知等邊△ABC的邊長為2，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(CA,\s\up6(→))方向上的投影向量為()A．－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))C．2eq\o(AC,\s\up6(→)) D．2eq\o(CA,\s\up6(→))答案A解析在等邊△ABC中，因為A＝60°，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(AC,\s\up6(→))方向上的投影向量為eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(CA,\s\up6(→))方向上的投影向量為－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→)).3．若a，b為空間夾角是60°的兩個單位向量，則|a－b|＝________.答案1解析∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1.∴|a－b|＝1.4.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，設AD＝AA1＝