§5.2與圓有關的計算中考數學

(湖南專用)A組2014—2018年湖南中考題組五年中考考點一弧長、扇形面積的計算1.(2017湖南湘潭,7,3分)如圖,在半徑為4的☉O中,CD是直徑,AB是弦,且CD⊥AB,垂足為點E,∠

AOB=90°,則陰影部分的面積是

()

A.4π-4

B.2π-4

C.4πD.2π答案

D因為CD⊥AB,∠AOB=90°,所以∠AOC=∠BOC=45°,故S陰影=S扇形AOC=

=

=2π,故選D.思路分析

先將陰影部分合成一個扇形,再計算扇形的面積.2.(2018湖南永州,16,4分)如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(1,1),以點O為旋轉中心,將點A逆

時針旋轉到點B的位置,則?的長為

.

答案

思路分析

由點A(1,1),可得OA=

=

,點A在第一象限的角平分線上,那么∠AOB=45°,再根據弧長公式計算即可.解析∵點A(1,1),∴OA=

=

,點A在第一象限的角平分線上,∵以點O為旋轉中心,將點A逆時針旋轉到點B的位置,∴∠AOB=45°,∴

的長為

=

.故答案為

.解題關鍵

本題考查了弧長公式:l=

(弧長為l,圓心角的度數為n°,圓的半徑為R),也考查了旋轉的性質,求出OA=

以及∠AOB=45°是解題的關鍵.3.(2017湖南懷化,14,4分)如圖,☉O的半徑為2,點A,B在☉O上,∠AOB=90°,則陰影部分的面積為

.

答案

π-2解析∵∠AOB=90°,OA=OB,∴△OAB是等腰直角三角形.∵OA=2,∴S陰影=S扇形OAB-S△OAB=

-

×2×2=π-2.4.(2016湖南懷化,11,4分)已知扇形的半徑為6cm,面積為10πcm2,則該扇形的弧長等于

.答案

cm解析設扇形的弧長為lcm,∵扇形的半徑為6cm,面積為10πcm2,∴

l×6=10π,解得l=

.故答案為

cm.評析本題考查的是扇形面積的計算,熟記扇形的面積公式是解答此題的關鍵.5.(2016湖南常德,14,3分)如圖,△ABC是☉O的內接正三角形,☉O的半徑為3,則圖中陰影部分

的面積是

.

答案3π解析∵△ABC是☉O的內接正三角形,∴∠ACB=60°,∴∠AOB=120°,∴S陰影=

=3π.思路分析

根據等邊三角形的性質及圓周角定理可得扇形所對的圓心角度數,再根據扇形面

積公式計算即可.解題關鍵

關鍵是利用圓周角定理求圓心角度數.6.(2016湖南岳陽,11,4分)在半徑為6cm的圓中,120°的圓心角所對的弧長為

cm.答案4π解析半徑為6cm的圓中,120°的圓心角所對的弧長為

=4π(cm).故答案為4π.7.(2015湖南益陽,12,5分)如圖,正六邊形ABCDEF內接于☉O,☉O的半徑為1,則?的長為

.

答案

解析連接OA,OB,∵六邊形ABCDEF為正六邊形,∴∠AOB=360°×

=60°,

的長為

=

.8.(2017湖南長沙,23,9分)如圖,AB與☉O相切于點C,OA,OB分別交☉O于點D,E,?=?.(1)求證:OA=OB;(2)已知AB=4

,OA=4,求陰影部分的面積.

解析(1)證明:如圖,連接OC,則OC⊥AB,

∵?=?,∴∠AOC=∠BOC.在△AOC與△BOC中,

∴△AOC≌△BOC(ASA),∴OA=OB.(2)由(1)知AC=BC=

AB=2

,在Rt△AOC中,OC=

=?=2=

OA,∴∠OAC=30°,∴∠COE=∠AOC=60°,∴S陰影=S△OBC-S扇形OCE=

×2×2

-

=2

-

π.思路分析

(1)連接OC,則OC⊥AB,然后根據等弧對等角求得∠AOC=∠BOC,再判定△AOC≌

△BOC,根據全等三角形的性質可得證;(2)由(1)可求得AC=2

,運用勾股定理求出OC的長,進而求得∠COE=60°,利用S陰影=S△OBC-S扇形OCE求得結果.考點二圓柱、圓錐的側面展開圖1.(2018湖南郴州,15,3分)如圖,圓錐的母線長為10cm,高為8cm,則該圓錐的側面展開圖(扇形)

的弧長為

cm.(結果用π表示)

答案12π解析設圓錐的底面圓半徑為r,則r=

=6cm,所以圓錐的側面展開圖的弧長=2πr=12πcm.2.(2017湖南郴州,14,3分)已知圓錐的母線長為5cm,高為4cm,則該圓錐的側面積為

cm2(結果保留π).

答案15π解析∵圓錐的高是4cm,母線長為5cm,∴根據勾股定理得圓錐的底面圓的半徑為3cm,∴圓錐的側面積=π×3×5=15πcm2.思路分析

首先利用勾股定理求得圓錐的底面圓的半徑,然后利用圓錐的側面積=π×底面圓

的半徑×母線長,把相應數值代入即可求解.解題關鍵

本題考查圓錐側面積公式的運用,掌握公式是關鍵.3.(2017湖南永州,17,4分)如圖,這是某同學用紙板做成的一個底面直徑為10cm,高為12cm的

無底圓錐形玩具(接縫忽略不計),則做這個玩具所需紙板的面積是

cm2(結果保留π).

答案65π解析根據勾股定理可得PB=

=13.做這個玩具所需紙板的面積等于展開后扇形的面積,故面積S=

×10π×13=65πcm2.4.(2016湖南衡陽,17,3分)若圓錐底面圓的周長為8π,側面展開圖的圓心角為90°,則該圓錐的母

線長為

.答案16解析圓錐底面圓的周長相當于側面展開所得扇形的弧長,圓錐的母線長相當于側面展開所

得扇形的半徑,設圓錐的母線長為R,根據弧長公式可得

=8π,所以R=16,即圓錐的母線長為16.5.(2015湖南常德,13,3分)一個圓錐的底面半徑為1厘米,母線長為2厘米,則該圓錐的側面積是

厘米2(結果保留π).答案2π解析該圓錐的側面積是S側=

×2π×1×2=2π(厘米2).B組2014—2018年全國中考題組考點一弧長、扇形面積的計算1.(2018四川成都,9,3分)如圖,在?ABCD中,∠B=60°,☉C的半徑為3,則圖中陰影部分的面積是

()

A.πB.2πC.3πD.6π答案

C在?ABCD中,∠B=60°,∴∠C=120°.∵☉C的半徑為3,∴S陰影=

=3π.故選C.2.(2017甘肅蘭州,12,4分)如圖,正方形ABCD內接于半徑為2的☉O,則圖中陰影部分的面積為

(

)

A.π+1

B.π+2 C.π-1

D.π-2答案

D連接AC,OD,則AC=4,所以正方形ABCD的邊長為2

,所以正方形ABCD的面積為8,由題意可知,☉O的面積為4π,根據圖形的對稱性,知S陰影=S扇形OAD-S△OAD=π-2,故選D.思路分析

把陰影部分的面積轉化成一個扇形的面積減去一個三角形的面積進行解答.方法規律

求陰影部分的面積,特別是不規則幾何圖形的面積時,常通過平移、旋轉、割補等

方法,把不規則圖形面積轉化為規則圖形面積的和或差來求解.3.(2017山東萊蕪,8,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,將Rt△ABC繞A點順

時針旋轉90°得到Rt△ADE,則BC邊掃過的面積為

()

A.

B.(2-

)πC.

πD.π答案

D在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,∴AC=2

,AB=4,∵將Rt△ABC繞點A順時針旋轉90°得到Rt△ADE,∴△ABC的面積等于△ADE的面積,∠CAB=∠DAE,AE=AC=2

,AD=AB=4,∴∠CAE=∠DAB=90°,∴陰影部分的面積S=S扇形BAD+S△ABC-S扇形CAE-S△ADE=

+

×2×2

-

-

×2×2

=π.故選D.4.(2014四川成都,10,3分)在圓心角為120°的扇形AOB中,半徑OA=6cm,則扇形AOB的面積是

()A.6πcm2

B.8πcm2C.12πcm2

D.24πcm2

答案

C扇形AOB的面積S=

=

=12π(cm2),故選C.5.(2017安徽,13,5分)如圖,已知等邊△ABC的邊長為6,以AB為直徑的☉O與邊AC,BC分別交于

D,E兩點,則劣弧?的長為

.

答案

π解析連接OD,OE,因為在等邊三角形ABC中,∠A=∠B=60°,又OA=OB=OE=OD=3,所以△

OBE,△ODA都是等邊三角形,所以∠AOD=∠BOE=60°,所以∠DOE=60°,所以劣弧?的長為

=π.思路分析

連接OD,OE,由三角形ABC是等邊三角形可推出△OBE,△ODA都是等邊三角形,從

而可求∠DOE的度數,再由弧長公式求解即可.解題關鍵

作出輔助線OD,OE是解決本題的關鍵.6.(2014貴州貴陽,23,10分)如圖,PA,PB分別與☉O相切于點A,B,∠APB=60°,連接AO,BO.(1)?所對的圓心角∠AOB=

度;(2)求證:PA=PB;(3)若OA=3,求陰影部分的面積.

解析(1)120.

(3分)(2)證明:連接OP,∵PA,PB分別切☉O于點A,B,

∴∠OAP=∠OBP=90°.∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△OAP≌Rt△OBP,∴PA=PB.

(6分)(3)由(2)知Rt△OAP≌Rt△OBP,則∠OPA=∠OPB=

∠APB=30°.在Rt△OAP中,OA=3,∴AP=3

,∴S△OPA=

×3×3

=

,

(8分)∴S陰影=2×

-

=9

-3π.

(10分)考點二圓柱、圓錐的側面展開圖1.(2017四川綿陽,8,3分)“趕陀螺”是一項深受人們喜愛的運動,如圖所示是一個陀螺的立體

結構圖.已知底面圓的直徑AB=8cm,圓柱體部分的高BC=6cm,圓錐體部分的高CD=3cm,則這

個陀螺的表面積是

()

A.68πcm2

B.74πcm2C.84πcm2

D.100πcm2

答案

C由陀螺的立體結構圖可知,陀螺的表面積由底面圓面積、圓柱側面積和圓錐側面

積組成.底面圓的半徑r=4cm,底面圓的周長為2πr=8πcm,圓錐的母線長為

=5cm,所以陀螺的表面積為π×42+8π×6+

×8π×5=84πcm2,故選C.2.(2015山東威海,8,3分)若用一張直徑為20cm的半圓形鐵片做一個圓錐的側面,接縫忽略不

計,則所得圓錐的高為

()A.5

cmB.5

cmC.

cmD.10cm答案

A設圓錐底面圓的半徑為rcm,依題意,得

×20π=2πr,解得r=5,則所得圓錐的高為

=5

cm.故選A.3.(2018新疆烏魯木齊,14,4分)將半徑為12,圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐的側面,則此圓

錐的底面圓的半徑為

.答案4解析由弧長公式得l=

=8π,設底面圓的半徑為r,則2πr=8π,解得r=4.思路分析

先求出扇形的弧長,這個弧長就是底面圓的周長,再由圓的周長公式求出半徑即可.4.(2017遼寧鞍山,13,3分)若一個圓錐的底面圓半徑為1cm,其側面展開圖的圓心角為120°,則圓

錐的母線長為

cm.答案3解析設圓錐的母線長為lcm,則

=2π×1,解得l=3.故答案為3.5.(2014江蘇鎮江,9,2分)已知圓錐的底面半徑為3,母線長為8,則圓錐的側面積等于

.答案24π解析

S側面積=

×2π×3×8=24π.評析圓錐側面展開圖的弧長是圓錐的底面周長,半徑是圓錐的母線長,屬容易題.C組教師專用題組考點一弧長、扇形面積的計算1.(2018遼寧沈陽,10,2分)如圖,正方形ABCD內接于☉O,AB=2

,則?的長是

()

A.πB.

πC.2πD.

π答案

A連接AC、BD交于點O',∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,∴AC、BD是直徑,∴點O'與點O重合,∴∠AOB=90°,AO=BO,∵AB=2

,∴AO=2,∴

的長為

=π.思路分析

由正方形的性質可得,∠AOB=90°,又AO=BO,由勾股定理可得圓的半徑,將所得到

的結果代入弧長公式即可.方法總結

求弧長一般需要兩個條件,一個是圓心角度數,一個是圓半徑.常用連接半徑的方

法,構造等腰三角形,或加上弦心距,構造直角三角形求解.2.(2017廣西南寧,9,3分)如圖,☉O是△ABC的外接圓,BC=2,∠BAC=30°,則劣弧?的長等于

()

A.

B.

C.

D.

答案

A連接OB、OC,∵∠BAC=30°,∴∠BOC=2∠BAC=2×30°=60°,又∵OB=OC,∴△BOC是等邊三角形,∴OB=OC=BC=2,∴l

=

=

.3.(2017內蒙古包頭,9,3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,以AB為直徑的☉O交BC于

點D.若BC=4

,則圖中陰影部分的面積為

()

A.π+1

B.π+2

C.2π+2

D.4π+1答案

B連接AD,OD,∵AB是直徑,AB=AC,∴AD⊥BC,BD=CD,∴OD是△ABC的中位線,易知

∠CAB=90°,由BC=4

可得AB=AC=4,∴OB=2.∴S陰影=S△OBD+S扇形OAD=

×2×2+

π×22=2+π.思路分析

先將陰影部分分割成一個三角形和一個扇形,再分別計算這兩個圖形的面積并求

和.4.(2014江蘇揚州,6,3分)如圖,已知正方形的邊長為1,若圓與正方形的四條邊都相切,則陰影部

分的面積與下列各數最接近的是

()

A.0.1

B.0.2

C.0.3

D.0.4答案

B陰影部分的面積=正方形的面積-圓的面積=12-

π≈0.2.故選B.5.(2018廣東,15,4分)如圖,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD為直徑的半圓O與BC相切于點E,連

接BD,則陰影部分的面積為

.(結果保留π)

答案

π解析連接OE.陰影部分的面積=S△BCD-(S正方形OECD-S扇形OED)=

×2×4-

=π.一題多解

如圖,連接OE,交BD于點H,則S△BEH=S△OHD,所以陰影部分的面積=S扇形OED=

π×22=π.

6.(2018新疆,12,5分)如圖,△ABC是☉O的內接正三角形,☉O的半徑為2,則圖中陰影部分的面

積是

.

答案

π解析由題意得∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,∴S陰影=

×22π=

π.7.(2018山東濰坊,17,3分)如圖,點A1的坐標為(2,0),過點A1作x軸的垂線交直線l:y=

x于點B1,以原點O為圓心,OB1的長為半徑畫弧交x軸正半軸于點A2;再過點A2作x軸的垂線交直線l于點B2,

以原點O為圓心,以OB2的長為半徑畫弧交x軸正半軸于點A3;…….按此作法進行下去,則

的長是

.

答案

π解析把x=2代入y=

x可得y=2

,則tan∠A1OB1=

=

,∴∠A1OB1=60°.由OA1=2,得OB1=2OA1=4,故OA2=4,同理可得OA3=8,以此類推,可得OA2019=22019,∴?的長=

=

π.思路分析

根據題意求出直線與x軸夾角的度數,結合OA1,OA2,OA3的長度得出OA2019的長度,即

所在扇形的半徑,利用弧長公式進行計算即可.8.(2018重慶,14,4分)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,以點A為圓心,AD長為半徑畫弧,交AB于

點E,圖中陰影部分的面積是

(結果保留π).

答案6-π解析

S陰影=S矩形ABCD-S扇形ADE=2×3-

=6-π.方法總結

求不規則圖形的面積時,最基本的思想就是轉化思想,即把所求的不規則圖形的面

積轉化為規則圖形的面積.9.(2018云南昆明,6,3分)如圖,正六邊形ABCDEF的邊長為1,以點A為圓心,AB的長為半徑,作扇

形ABF,則圖中陰影部分的面積為

(結果保留根號和π).

答案

-

解析

S陰影=S正六邊形ABCDEF-S扇形ABF=6×

×12-

=

-

.思路分析

分別求出正六邊形ABCDEF的面積和扇形ABF的面積,求這兩個面積的差即可得

出結果.解后反思

在正六邊形ABCDEF中可作出6個等邊三角形,每個等邊三角形的面積為

=

,進而得到正六邊形ABCDEF的面積為

.10.(2017湖北恩施,15,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,以直角邊AB為直徑作半圓交AC于

點D,以AD為邊作等邊△ADE,延長ED交BC于點F,BC=2

,則圖中陰影部分的面積為

.(結果不取近似值)

答案3

-

π解析如圖所示,設半圓的圓心為O,連接DO,過點D作DG⊥AB于點G,作DN⊥CB于點N,∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,∴∠ACB=60°,∠ABC=90°,∵△ADE為等邊三角形,∴∠EAD=60°,∴∠EAB=60°+30°=90°,∴AE∥BC,則△ADE∽△CDF,∴△CDF是等邊三角形,∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=2

,∴AC=4

,AB=6,∠DOG=60°,則AO=BO=3,故DG=DO·sin60°=

,則AD=3

,所以DC=AC-AD=

,故DN=DC·sin60°=

×

=

,則S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形DOB-S△DCF=

×2

×6-

×3×

-

-

×

×

=3

-

π.11.(2016黑龍江大慶,17,3分)如圖,在矩形ABCD中,AB=5,BC=10

,一圓弧過點B和點C,且與AD相切,則圖中陰影部分的面積為

.

答案75

-

解析設圓弧的圓心為O,與AD切于點E,連接OE,交BC于F,連接OB、OC,設圓O的半徑為x,則OF=x-5,由勾股定理得,OB2=OF2+BF2,即x2=(x-5)2+(5

)2,解得x=10,則∠BOF=60°,∠BOC=120°,則陰影部分的面積=矩形ABCD的面積-(扇形BOCE的面積-△BOC的面積)=10

×5-

+

×10

×5=75

-

.12.(2015浙江溫州,13,5分)已知扇形的圓心角為120°,弧長為2π,則它的半徑為

.答案3解析由弧長公式得

=2π,解得r=3.13.(2015重慶,16,4分)如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=4

.以A為圓心,AC長為半徑作弧,交AB于點D,則圖中陰影部分的面積是

.(結果保留π)

答案8-2π解析在Rt△ABC中,BC=AC=AB·cos45°=4,所以陰影部分的面積為

×4×4-

=8-2π.14.(2015貴州遵義,18,4分)如圖,在圓心角為90°的扇形OAB中,半徑OA=2cm,C為?的中點,D、E分別是OA、OB的中點,則圖中陰影部分的面積為

cm2.

答案

-

+

解析連接OC,作CF⊥AO于點F,記AD、DC與?圍成的圖形的面積為S.

∵C為?的中點,D、E分別為OA、OB的中點,∴∠AOC=

∠AOB=45°,OD=OE=

OA=1cm.∴CF=OF=

cm.∴S=S扇形AOC-S△COD=

-

×OD·CF=

-

×1×

=

cm2.∴S陰影=S扇形AOB-S-S△DOE=

-

-

×1×1=

cm2.15.(2014重慶,16,4分)如圖,△OAB中,OA=OB=4,∠A=30°,AB與☉O相切于點C,則圖中陰影部分

的面積為

.(結果保留π)

答案4

-

π解析設OA,OB分別與☉O交于D,E兩點,∵AB與☉O相切于點C,∴OC⊥AB.∵OA=OB=4,∠A=30°,∴∠B=∠A=30°,OC=2.∴∠AOB=120°,AB=4

.則題圖中陰影部分的面積=S△AOB-S扇形ODE=

×4

×2-

=4

-

π.16.(2017湖南張家界,21)在等腰△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的☉O分別與AB,AC相交于點D,

E,過點D作DF⊥AC,垂足為點F.(1)求證:DF是☉O的切線;(2)分別延長CB,FD,相交于點G,∠A=60°,☉O的半徑為6,求陰影部分的面積.

解析(1)證明:連接OD,如圖所示.

∵AC=BC,OB=OD,∴∠ABC=∠A,∠ABC=∠ODB,∴∠A=∠ODB,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,∵OD是☉O的半徑,∴DF是☉O的切線.(2)∵AC=BC,∠A=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=60°,∵OD=OB,∴△OBD是等邊三角形,∴∠BOD=60°,∵DF⊥OD,∴∠ODG=90°,∴∠G=30°,∴OG=2OD=2×6=12,∴DG=

OD=6

,∴陰影部分的面積=△ODG面積-扇形OBD的面積=

×6×6

-

=18

-6π.思路分析

(1)連接OD,由等腰三角形的性質證出∠A=∠ODB,得出OD∥AC,證出DF⊥OD,即

可得出結論;(2)證明△OBD是等邊三角形,由等邊三角形的性質得出∠BOD=60°,求出∠G=30°,由直角三角

形的性質得出OG=2OD=2×6=12,由勾股定理得出DG的長,陰影部分的面積=△ODG的面積-扇

形OBD的面積,即可得出答案.17.(2017山東濰坊,22,8分)如圖,AB為半圓O的直徑,AC是☉O的一條弦,D為?的中點,作DE⊥AC,交AB的延長線于點F,連接DA.(1)求證:EF為半圓O的切線;(2)若DA=DF=6

,求陰影區域的面積.(結果保留根號和π)

解析(1)證明:連接OD,∵D為?的中點,∴∠CAD=∠BAD,∵OA=OD,∴∠BAD=∠ADO,∴∠CAD=∠ADO.

(2分)∵DE⊥AC,∴∠E=90°,∴∠CAD+∠EDA=90°,∴∠ADO+∠EDA=90°,即OD⊥EF,

(3分)又∵OD為半圓O的半徑,∴EF為半圓O的切線.

(4分)(2)連接OC,CD.

∵DA=DF,∴∠BAD=∠F,∴∠F=∠BAD=∠CAD,又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°,∴∠F=30°,∠BAC=60°,

(5分)∵OC=OA,∴△AOC為等邊三角形,∴∠AOC=60°,∴∠COB=120°.∵OD⊥EF,∠F=30°,∴∠DOF=60°.在Rt△ODF中,DF=6

,∴OD=DF·tan30°=6.

(6分)在Rt△AED中,DA=6

,∠CAD=30°,∴DE=DA·sin30°=3

,EA=DA·cos30°=9.

(7分)∵∠COD=180°-∠AOC-∠DOF=60°,OC=OD,∴△COD為等邊三角形,∴∠OCD=60°,∴CD∥AB,∴S△ACD=S△COD,∴S陰影=S△AED-S扇形COD=

×9×3

-

×π×62=

-6π.

(8分)思路分析

(1)直接利用切線的判定方法證明即可;(2)易得S△ACD=S△COD,再利用S陰影=S△AED-S扇形COD

求出答案.18.(2017貴州貴陽,22,10分)如圖,C,D是半圓O上的三等分點,直徑AB=4,連接AD,AC,DE⊥AB,垂

足為E,DE交AC于點F.(1)求∠AFE的度數;(2)求陰影部分的面積.(結果保留π和根號).

解析(1)如圖,連接OD,OC,∵C,D是半圓O的三等分點,∴

=?=?,∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°,∴∠CAB=30°,∵DE⊥AB,∴∠AEF=90°,∴∠AFE=90°-30°=60°.

(5分)(2)由(1)可知,∠AOD=60°,∵OA=OD,AB=4,∴△AOD為等邊三角形,OA=2,∵DE⊥AO,∴DE為△AOD的高,且DE=

,∴S陰影=S扇形AOD-S△AOD=

-

×2×

=

π-

.

(10分)思路分析

(1)先根據C、D為半圓的三等分點,求出∠CAB=30°,進而求出結果;(2)根據已知條

件得出△AOD為等邊三角形,進而求出扇形AOD和等邊三角形AOD的面積即可求出陰影部分

的面積.19.(2015四川綿陽,22,11分)如圖,O是△ABC的內心,BO的延長線和△ABC的外接圓相交于點D,

連接DC、DA、OA、OC,四邊形OADC為平行四邊形.(1)求證:△BOC≌△CDA;(2)若AB=2,求陰影部分的面積.

解析

(1)證明:∵O為△ABC的內心,

∴∠2=∠3,∠5=∠6,∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,

(3分)∵四邊形OADC為平行四邊形,∴AD

CO,∴∠4=∠5,∴∠4=∠6,∴△BOC≌△CDA(AAS).

(6分)(2)由(1)得BC=AC,∠3=∠4=∠6,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC為等邊三角形,

(8分)∴△ABC的內心O也是外心,∴OA=OB=OC.設E為BD與AC的交點,則BE垂直平分AC.在Rt△OCE中,CE=

AC=

AB=1,∠OCE=30°,∴OA=OB=OC=

,易知∠AOB=120°,∴S陰影=S扇形AOB-S△AOB=

×

-

×2×

=

.

(11分)20.(2015甘肅蘭州,27,10分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC邊于點D,以

AB上一點O為圓心作☉O,使☉O經過點A和點D.(1)判斷直線BC與☉O的位置關系,并說明理由;(2)若AC=3,∠B=30°.①求☉O的半徑;②設☉O與AB邊的另一個交點為E,求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的面積.(結果

保留根號和π)

解析

(1)相切.理由如下:如圖,連接OD,∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∵OA=OD,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴OD∥AC.又∠C=90°,∴OD⊥BC,∴BC與☉O相切.

(2)①∵AC=3,∠B=30°,∴AB=6.設OA=OD=r,∴OB=2r.∴2r+r=6,解得r=2,即☉O的半徑是2.②由①得OD=2,OB=4,∴BD=2

.S陰影=

×2

×2-

=2

-

.考點二圓柱、圓錐的側面展開圖1.(2017寧夏,8,3分)圓錐的底面半徑r=3,高h=4,則圓錐的側面積是

()

A.12πB.15πC.24πD.30π答案

B由勾股定理得:母線l=

=

=5,∴S側=

·2πr·l=πrl=π×3×5=15π.故選B.思路分析

先求圓錐的母線,再根據公式求圓錐的側面積.解題關鍵

本題考查了圓錐的計算,熟練掌握圓錐的母線和側面積公式是關鍵.2.(2017貴州遵義,8,3分)已知圓錐的底面積為9πcm2,母線長為6cm,則圓錐的側面積是

()A.18πcm2

B.27πcm2C.18cm2

D.27cm2

答案

A設圓錐的底面半徑為r,則πr2=9π,∴r=3cm,∴圓錐的底面周長為2πr=6πcm,∴圓錐

的側面積為

×6π×6=18πcm2.3.(2017云南,13,3分)正如我們小學學過的圓錐體積公式V=

πr2h(π表示圓周率,r表示圓錐的底面半徑,h表示圓錐的高)一樣,許多幾何量的計算都要用到π.祖沖之是世界上第一個把π計算到

小數點后第7位的中國古代科學家,創造了當時世界上的最高水平,差不多過了1000年,才有人

把π計算得更精確.在輝煌成就的背后,我們來看看祖沖之付出了多少.現在的研究表明,僅僅就

計算來講,他至少要對9位數字反復進行130次以上的各種運算,包括開方在內.即使今天我們用

紙筆來算,也絕不是一件輕松的事情,何況那時候沒有現在的紙筆,數學計算不是用現在的阿拉

伯數字,而是用算籌(小竹棍或小竹片)進行的,這需要怎樣的細心和毅力啊!他這種嚴謹治學的

態度,不怕復雜計算的毅力,值得我們學習.下面我們就來通過計算解決問題:已知圓錐的側面展開圖是個半圓,若該圓錐的體積等于9

π,則這個圓錐的高等于

()A.5

πB.5

C.3

πD.3

答案

D設圓錐的母線長為R,底面半徑為r,高為h,∵圓錐的側面展開圖是個半圓,∴

=2πr,∴R=2r,由勾股定理可得h=

r,∵圓錐的體積等于9

π,∴

πr2h=9

π,解得r=3,∴h=3

,故選D.4.(2017浙江杭州,8,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=1.把△ABC分別繞直線AB和

BC旋轉一周,所得幾何體的底面圓的周長分別記作l1,l2,側面積分別記作S1,S2,則

()

A.l1∶l2=1∶2,S1∶S2=1∶2B.l1∶l2=1∶4,S1∶S2=1∶2C.l1∶l2=1∶2,S1∶S2=1∶4D.l1∶l2=1∶4,S1∶S2=1∶4答案

A由題意可得l1∶l2=r1∶r2=1∶2,S1∶S2=r1∶r2=1∶2,此題選A.思路分析

根據圓的周長公式(C=2πr)和圓錐的側面積公式(S=πrl)可知l1∶l2=r1∶r2,S1∶S2=r

1∶r2,進而得到比值.5.(2016江蘇無錫,7,3分)已知圓錐的底面半徑為4cm,母線長為6cm,則它的側面展開圖的面積

等于

()A.24cm2

B.48cm2

C.24πcm2

D.12πcm2

答案

C圓錐的底面半徑為4cm,則底面周長=8πcm,故側面展開圖的面積=

×8π×6=24π(cm2).故選C.思路分析

根據圓錐的側面積=

×底面圓的周長×母線長即可求解.6.(2015浙江寧波,9,4分)如圖,用一個半徑為30cm,面積為300πcm2的扇形鐵皮,制作一個無底

的圓錐(不計損耗),則圓錐的底面半徑r為

()

A.5cmB.10cmC.20cmD.5πcm答案

B∵扇形的半徑為30cm,面積為300πcm2,∴扇形的圓心角的度數為

=120°.∴扇形的弧長為

=20π(cm).∵圓錐的底面周長等于它的側面展開圖的弧長,∴2πr=20π,∴r=10cm.故選B.7.(2014浙江紹興,7,4分)如圖,圓錐的側面展開圖是半徑為3,圓心角為90°的扇形,則該圓錐的底

面周長為

()

A.

πB.

πC.

D.

答案

B∵圓錐底面周長等于扇形的弧長,∴底面周長=

×2π×3=

π,故選B.8.(2018黑龍江齊齊哈爾,12,3分)已知圓錐的底面半徑為20,側面積為400π,則這個圓錐的母線

長為

.答案20解析側面展開圖的弧長就是圓錐底面的周長,即40π,設圓錐的母線長為l,則

l·40π=400π,∴l=

=20.(注意:該題數據不嚴謹,母線長要大于底面半徑才行)9.(2015湖南郴州,10,3分)已知圓錐的底面半徑是1cm,母線長為3cm,則該圓錐的側面積為

cm2.答案3π解析該圓錐的側面積為

×2π×1×3=3πcm2.10.(2015內蒙古呼和浩特,14,3分)一個圓錐的側面積為8π,母線長為4,則這個圓錐的全面積為

.答案12π解析設圓錐的底面半徑為r,根據題意得

×2πr×4=8π,解得r=2,則圓錐的底面積是4π,故其全面積是12π.11.(2014江蘇南京,14,2分)如圖,沿一條母線將圓錐側面剪開并展平,得到一個扇形.若圓錐的底

面圓的半徑r=2cm,扇形的圓心角θ=120°,則該圓錐的母線長l為

cm.

答案6解析由題意得2π×2=

πl,故l=6cm.A組2016—2018年模擬·基礎題組考點一弧長、扇形面積的計算三年模擬1.(2018湖南郴州模擬,11)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,將Rt△ABC繞點A逆時針

旋轉30°后得到△ADE,則圖中陰影部分的面積為

()

A.

πB.

πC.

πD.

π答案

D在Rt△ABC中,∵AC=4,BC=3,∴AB=AD=

=5,由題意知∠EAC=∠DAB=30°,∴S陰影=S扇形ADB+S△ABC-S△AED=S扇形ABD=

=

π,故選D.2.(2018湖南衡陽模擬,17)圓心角為120°,半徑為6cm的扇形的弧長是

cm.答案4π解析由題意得n=120°,R=6cm,故扇形弧長l=

=4πcm.3.(2018湖南永州模擬,18)如圖,在矩形ABCD中,CD=2,以點C為圓心,CD長為半徑畫弧,交AB邊

于點E,且E為AB的中點,則圖中陰影部分的面積為

.

答案

-

解析由題意可知AB=CD=2,∵E為AB的中點,∴EB=

AB=1,∴∠ECB=30°,∴∠DCE=60°,∴扇形CDE的面積為

=

,在Rt△BCE中,由勾股定理可知BC=

,∴AD=

,梯形EADC的面積為

(AE+CD)·AD=

=

,∴陰影部分的面積為

-

.4.(2018湖南張家界模擬,17)如圖,在扇形AOB中,AC為弦,∠AOB=130°,∠CAO=60°,OA=6,則?的長為

.

答案

π解析連接OC,如圖,∵OA=OC,∴∠OCA=∠CAO=60°,∴∠AOC=60°,∴∠BOC=130°-60°=70

°,∴

的長=

=

π.故答案為

π.考點二圓柱、圓錐的側面展開圖1.(2016湖南永州二模,16)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,將△ABC繞邊AC所在直線旋轉

一周得到圓錐,則該圓錐的側面積是

()A.25πB.65πC.90πD.130π答案

B在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,∴AB=

=13,∴母線長l=13,∴圓錐的側面積S=πlr=π×13×5=65π.故選B.2.(2016湖南株洲一模,7)如圖,圓錐的母線長為5cm,高線長為4cm,則圓錐的底面積是

()

A.3πcm2

B.9πcm2

C.16πcm2

D.25πcm2

答案

B根據勾股定理求得圓錐的底面圓的半徑=3cm,所以圓錐的底面積=π·32=9π(cm2).故選B.3.(2018湖南長沙四模,15)若一個圓錐的側面展開圖是半徑為12cm的半圓,則這個圓錐的底面

圓半徑是

cm.答案6解析設該圓錐的底面圓半徑為rcm,根據題意得2πr=π·12,解得r=6.故答案為6.4.(2017湖南長沙二模,16)打陀螺是一項古老的中國民間娛樂活動,在云南的少數民族地區開

展廣泛,特別是在思茅地區有著悠久的歷史傳統,在思茅地區又以景谷縣陀螺運動開展得最好,

有著“陀螺之鄉”的稱號.已知木質陀螺的外觀為圓錐形,測得該圓錐的母線長為6cm,底面圓

的半徑為3cm,則該圓錐的全面積為

cm2.答案27π解析這個圓錐的全面積=π×32+

×2π×3×6=27π(cm2).5.(2016湖南湘潭四模,13)用一個圓心角為90°、半徑為32cm的扇形作為一個圓錐的側面(接

縫處不重疊),則這個圓錐的底面圓的半徑為

cm.答案8解析∵

=16πcm,圓錐的底面圓周長等于側面展開圖的扇形弧長,∴圓錐的底面圓周長是16πcm,設圓錐的底面圓的半徑是rcm,則2πr=16π,解得r=8.一、選擇題(每小題3分,共6分)B組2016—2018年模擬·提升題組(時間:30分鐘分值:40分)1.(2018湖南岳陽模擬,10)如圖,一個半徑為1的☉O1經過一個半徑為

的☉O的圓心,則圖中陰影部分的面積為

()

A.1

B.

C.

D.

答案

A如圖,☉O的半徑為

,☉O1的半徑為1,點O在☉O1上,連接OA,OB,OO1,AB,∵OA=

,O1A=O1O=1,(

)2=12+12,∴OA2=O1A2+O1O2,∴△OO1A為直角三角形,∴∠AOO1=45°,同理可得∠BOO1=45°,∴∠AOB=90°,∴AB為☉O1的直徑,∴S陰影部分=S半圓AB-S弓形AB=S半圓AB-(S扇形OAB-S△OAB)=S半

圓AB-S扇形OAB+S△OAB=

π×12-

+

×

×

=1.故選A.

2.(2016湖南長沙模擬,18)如圖,AB為☉O的切線,切點為B,連接AO,AO與☉O交于點C,BD為☉O

的直徑,連接CD.若∠A=30°,☉O的半徑為2,則圖中陰影部分的面積為

()

A.

-

B.

-2

C.π-

D.

-

答案

A如圖,過O點作OE⊥CD于E,∵AB為☉O的切線,∴∠ABO=90°,∵∠A=30°,∴∠AOB

=60°,∴∠COD=120°,∠OCD=∠ODC=30°,∵☉O的半徑為2,∴OE=1,CE=DE=

,∴CD=2

,∴圖中陰影部分的面積為

-

×1×2

=

-

.故選A.

二、填空題(每小題4分,共8分)3.(2017湖南長沙一模,17)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,將Rt△ABC繞A點逆時針

旋轉30°后得到Rt△ADE,點B經過的路徑為?,則圖中陰影部分的面積是

.

答案