第五章三角函數第二課時兩角和與差的正弦、余弦公式課標要求1.掌握由兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式及兩角差(和)的正弦公式.2.會用兩角和與差的正弦、余弦公式進行簡單的三角函數的求值、化簡.素養要求理清兩角和與差的正弦、余弦公式的內在聯系，熟悉公式的特征，完善知識結構，重點提升學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算素養.問題導學預習教材必備知識探究內容索引互動合作研析題型關鍵能力提升拓展延伸分層精練核心素養達成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU問題導學預習教材必備知識探究1一、兩角和的余弦公式1.問題你能利用兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式嗎？

提示

以－β代替公式C(α－β)中的角β.2.填空

cos(α＋β)＝_______________________，其中α，β∈R.

溫馨提醒

兩角和與差的余弦公式的記憶為：“余余正正，符號相異”.①“余余正正”表示展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦，正弦乘正弦，②“符號相異”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相異.cosαcosβ－sinαsinβA3.做一做

cos22°cos38°－sin22°sin38°的值為(

)二、兩角和與差的正弦公式1.問題

(1)如何利用兩角差的余弦公式和誘導公式得到兩角和的正弦公式？(2)怎樣由兩角和的正弦公式得到兩角差的正弦公式？提示

在兩角和的正弦公式中，以“－β”代替β.2.填空

(1)兩角和與差的正弦公式簡記公式S(α＋β)sin(α＋β)＝_______________________________S(α－β)sin(α－β)＝_______________________________sinαcos__β＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ(2)記憶口訣：“正余余正，符號相同”.×4.思考辨析正確的在后面的括號內打“√”，錯誤的打“×”.(1)sin(α＋β)＝sinα＋sinβ

一定不成立.(

)(2)sin(α－β)＝sinα－sinβ恒成立.(

)××√HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互動合作研析題型關鍵能力提升2例1

(1)cos70°cos50°＋cos200°cos40°的值為(

)B題型一公式的正用和逆用解析

法一原式＝sin20°sin40°－cos20°cos40°＝－(cos20°cos40°－sin20°sin40°)法二原式＝cos70°sin40°－cos20°cos40°＝sin40°cos70°－sin70°cos40°＝sin(40°－70°)＝sin(－30°)＝－sin30°探究解決給角求值問題的策略(1)對于非特殊角的三角函數式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進行各局部的變形.(2)一般途徑是將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負相消的項并消項求值，化分子、分母形式進行約分，解題時要逆用或變用公式.思維升華訓練1

(1)sin245°sin125°＋sin155°sin35°的值是(

)B解析

原式＝－sin65°sin55°＋sin25°sin35°＝－cos25°cos35°＋sin25°sin35°＝－cos(35°＋25°)＝－cos60°題型二給值求值所以sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)]1.給角求值：解題關鍵是正確選用和差角的正弦余弦公式，以便把非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數.2.給值求值：解題關鍵是找出已知式子與待求式子之間的聯系及函數名稱和結構的差異.一定要注意已知角與所求角之間的關系，恰當地運用拆角、拼角技巧，同時分析角之間的關系，利用角的代換化異角為同角.思維升華所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)題型三給值求角∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ又因為α，β均為銳角，思維升華解

因為α和β均為鈍角，由α和β均為鈍角，得π<α＋β<2π，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ課堂小結TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分層精練核心素養達成31.計算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的結果為(

)A解析

－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°解析

由2tanα·sinα＝3，BC∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα兩式相加可得2cosαcosβ＝0，即cosαcosβ＝0.ABD6.已知cosαcosβ－sinαsinβ＝1，那么sinαcosβ＋cosαsinβ＝________.解析

由題設，得cos(α＋β)＝1.∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)＝0.5則0<α－β<π.則sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ解

∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinαA求：(1)cos(2α－β)的值；所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)(2)β的值.解

cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinα·sin(α－β)14.“在△ABC中，cosAcosB＝________＋sinAsinB”，已知橫線處是一個實數.甲同學在橫線處填上一個實數a，這時C是直角；乙同學在橫線處填上一個實數b，這時C是銳角；丙同學在橫線處填上一個實數c