基于rpim的連續體結構拓撲優化設計

1密度和接觸問題的數值計算結構的連續優化設計是結構優化領域之后的一個充滿挑戰的研究方向。連續體結構拓撲優化的優點是能在不知道結構拓撲形狀的前提下,根據已知邊界條件和荷載條件確定比較合理的結構形式,從而提出最佳形狀設計方案。連續體結構的拓撲優化本質上是一種0-1離散變量的組合優化問題。目前主要有三大類拓撲優化方法:均勻化方法、變密度方法和漸進結構優化方法。其中,變密度法是一種常用的拓撲優化方法,其基本思想是不引入微結構,而是引入一種假想的相對密度在0～1之間可變的材料,人為假定相對密度和材料彈性模量之間的某種對應關系,程序實現簡單,計算效率高。變密度法中所指的密度是反映材料密度和材料特性之間對應關系的一種偽密度。變密度法中常見的插值模型是,固體各向同性懲罰微結構模型SIMP(SolidIsotropicMicrostructureswithPenalization)和材料特性的合理近似模型RAMP(RationalApproximationofMaterialProperties)。目前,連續體結構的拓撲優化問題基本上都是基于有限元數值計算方法。有限元法在處理網格畸變及網格移動等問題時,計算中需要不斷重新劃分和重構網格以解決與原始網格線不一致的不連續和大變形問題。無網格方法(MeshlessMethod)是近年來迅速發展起來的一種新型的數值方法。這種方法采用基于點的近似,可以徹底或部分的消除網格,不需要網格的初始劃分和重構,不僅可以保證計算精度,而且可以減小計算的難度。目前已提出多種無網格方法主要有:光滑質點流體動力學方法(SPH)、無單元伽遼金法(EFG)、再生核粒子法(RKPM)以及無網格局部伽遼金法(MLPG)等。與有限元不同,無網格法中使用的近似函數大都是不具有插值特性,因此在基于Galerkin法的無網格中對于邊界條件的處理比較棘手。由Liu等提出的點插值方法(PIM)則較好的解決了這個問題。點插值方法的插值函數具有Delta函數性質,可以很方便的施加本質邊界條件,不足之處是在計算插值函數時矩陣易于奇異。實際上,帶有多項式的徑向點插值法就可以有效地解決點插值法中出現的奇異性問題。本文利用無網格RPIM方法對二維線彈性連續體結構的拓撲優化問題進行研究。在優化過程中,選擇節點的相對密度作為設計變量,有效地抑制了點態棋盤格現象。最后通過算例分析證明了應用無網格徑向點插值法進行結構拓撲優化設計的正確性和有效性。2彈性力學平面問題中非格徑點的插值方法2.1徑向基函數的引入在徑向點插值法中,計算域是用一系列點來離散的,每個點都有一定的影響域,某給定點處的位移是通過對該點的影響域中其他點處的位移進行插值而得到。設二維域Ω中的任一函數u(x),可用徑向基和多項式基的線性組合表示為u(x)=n∑i=1Ri(x)ai+m∑j=1Ρj(x)bj=RΤ(x)a+ΡΤ(x)b(1)式中Ri(x)為徑向基函數(RBF),ai為Ri(x)的系數,Pj(x)為坐標xT=[x,y]中的單項式,bj為Pj(x)的系數,n為RBF的項數,m為多項式基函數的項數。為保證取得較好的穩定性,通常取m<<n。在二維問題中,一般采用線性基:PT(x)=[1,x,y)]。徑向基的引入主要是為了避免單純采用多項式基時可能導致的剛度矩陣奇異性,目前常用的徑向基函數有以下四種形式:1)Multi-quadrics(MQ)Ri(x,y)=(r2i+(αcdc)2)q,αc≥02)Gaussian(EXP)Ri(x,y)=exp[-αc(ridc)2]3)ThinPlateSpline(TPS)Ri(x,y)=rηi4)LogarithmicRi(x,y)=rηilogri式中ri=√(x-xi)2+(y-yi)2?αc,dc,q和η為形狀參數。式(1)中的系數ai和bj可由u(x)通過影響域中的n個離散節點來確定,如第k個插值點為uk=u(xk,yk)=n∑i=1Ri(xk,yk)ai+m∑j=1Ρj(xk,yk)bjk=1,2,?,n(2)寫成矩陣形式為Us=R0a+Pmb(3)為了保證近似函數的唯一性,對系數要有附加條件,如n∑i=1Ρj(xi,yi)ai=ΡΤma=0j=1,2,?,m(4)聯立式(3)和式(4),得ˉUs={Us0}[R0ΡmΡΤm0][ab]=G{ab}(5)可將式(1)重新寫成:u(x)=RΤ(x)a+ΡΤ(x)b=[RΤ(x)ΡΤ(x)]{ab}(6)利用式(5),可得u(x)=[RΤ(x)ΡΤ(x)]G-1ˉUs=ˉΦΤ(x)ˉUs(7)式中ˉΦΤ(x)為RPIM的形函數,可表示為ˉΦΤ(x)=[RΤ(x)ΡΤ(x)]G-1=[?1(x)?2(x)??n(x)?n+1(x)??n+m(x)](8)最終對應于節點位移向量的RPIM形函數Φ(x)可表示為ΦΤ(x)=[?1(x)?2(x)??n(x)](9)式(7)可重寫成:u(x)=ΦΤ(x)Us=n∑i=1?iui(10)2.2單位外法線向量考慮彈性力學平面問題:{LΤσ+b=0在∈Ωσn=ˉt在∈Γtu=ˉu在∈Γu(11)式中L為應變微分算子,ˉt為自然邊界上給定的表面力,ˉu為位移邊界上給定的位移,n為自然邊界上某點處的單位外法線向量。式(11)的變分形式可表示為∫Ω(Lδu)Τ(DLu)dΩ-∫ΩδuΤbdΩ-∫ΓtδuΤˉtdΓ=0(12)將式(10)代入上式,可得KU=F(13)式中節點的剛度矩陣KIJ和節點的荷載向量FI可分別表示為ΚΙJ=∫ΩBΤΙDBJdΩFΙ=∫ΩΦΤΙbdΩ+∫ΓtΦΤΙˉtdΓ其中BΙ=[?Ι,x00?Ι,y?Ι,y?Ι,x]D=E1-μ2[1μ0μ1000(1-μ)/2]3結構拓撲優化3.1密度場插值設計SIMP模型是工程中應用最多的密度函數插值模型,通過引入懲罰因子使中間密度值向0、1兩端聚集,使連續變量的拓撲優化模型能很好地逼近0-1離散變量的優化模型,其數學模型為Eijkl(x)=ρp(x)E0ijkl(14)式中E0ijkl和Eijkl分別表示初始彈性模量和優化后的彈性模量,p為懲罰因子。設計域內任意一點的相對密度,可以用RPIM形函數對其影響域內節點的相對密度插值得到,即ρg=np∑i=1Φiρi(15)式中ρi為第i個節點的相對密度,并確定為設計變量;Φi為RPIM形函數,np為影響域內的節點數目。這種插值方案保證了密度場的函數具有C0連續性,從而克服了點態棋盤格現象。本文以節點的相對密度作為優化的設計變量,以柔度的最小化作為優化的目標,以結構整體的體積約束作為優化的約束條件,基于SIMP模型建立線彈性結構拓撲優化設計在靜力狀態下的數學模型,其形式如下:find.ρ(x),x∈Ωmin.c=FTUs.t.KU=FV=∫ΩρgdΩ=fV0,0<ρmin≤ρi≤1(16)式中K為整體剛度矩陣,U為位移列陣,F為荷載列陣,V為在設計變量狀態下的設計區域體積,V0為優化前的設計區域體積,f為體積系數。為了避免計算中的奇異性,取密度下限值為ρmin=0.001。3.2oc法變量迭代格式求解拓撲優化的算法有優化準則法(OC)、序列線性規劃法(SLP)和移動漸近線法(MMA)等。利用優化準則法進行優化求解時,最大的特點是對設計變量修改較大,收斂速度快,迭代次數少,且與結構的大小和復雜程度無關。本文采用文獻中OC法的設計變量迭代格式,即ρnewi={max(ρmin,ρi-m)ifρiBηi≤max(ρmin,ρi-m)ρiBηiifmax(ρmin,ρi-m)<ρiBηi<min(1,ρi+m)min(1,ρi+m)ifmin(1,ρi+m)≤ρiBηi(17)式中Bi=-?c?ρi/λ?V?ρi其中λ為拉格朗日乘子,可以通過二分法來求解,m為移動極限常數,η為阻尼系數。移動極限常數和阻尼系數的引入是為了保證優化迭代的穩定性。3.3各變量間的匹配本文參考有限元法的靈敏度分析方法,根據無網格法的離散原理和積分方法,利用伴隨靈敏度分析方法,求解目標函數的靈敏度。通過添加零函數將目標函數改寫為c=FΤU-?UΤ(ΚU-F)(18)式中?U為任意實向量。對式(18)關于節點密度求導,得到?c?ρi=FΤ?U?ρi-?UΤ(?Κ?ρiU+Κ?U?ρi)=(FΤ-?UΤΚ)?U?ρi-?UΤ?Κ?ρiU(19)當?U滿足伴隨方程FΤ-?UΤΚ=0時,?U=U,式(19)轉化為?c?ρi=-UΤ?Κ?ρiU(20)這樣,目標函數的靈敏度就轉化為求解剛度矩陣關于設計變量的靈敏度。由K=∫ΩρgpBTDBdΩ得?Κ?ρi=∫Ωpρgp-1ΦiBΤDBdΩ(21)體積約束對設計變量的靈敏度為?V?ρi=∫ΩΦidΩ(22)4計算在本小節中,將通過幾個經典的拓撲優化算例來說明本文所提出的優化算法的可行性和有效性。4.1不同材料的pla和丙綸拓撲優化設計考慮如圖1(a)所示的懸臂梁,長10m,寬10m,厚1m,左邊固定,右邊中點處作用一集中荷載F=1kN。將設計區域離散成441個節點,根據節點的布置,將設計區域劃分為400個積分單元,每個積分單元設置2×2個高斯積分點。材料彈性模量E=3×108Pa,泊松比μ=0.3,取體積比為50%。利用本文的方法對圖1(a)所示模型進行拓撲優化設計,迭代到47步時結果收斂,拓撲優化結果如圖1(b)所示,拓撲優化目標函數值從0.4510減小到0.0478。圖1(c)為用有限元法進行拓撲優化的結果,迭代22次,拓撲優化目標函數值從0.4496減小到0.0489。圖1(d)為采用了靈敏度過濾技術的有限元拓撲優化結果,迭代35次,拓撲優化目標函數值從0.4496減小到0.0535。從圖1可以看出,利用無網格徑向點插值法可以有效地對二維連續體結構進行拓撲優化設計,優化結果更加趨于最優,但計算時間略有增加,同時選取節點的相對密度作為拓撲優化設計變量可以有效地抑制有限元法中的棋盤格現象。4.2低影響單元拓撲優化設計考慮如圖2(a)所示的懸臂梁,長10m,寬10m,厚1m,左邊固定,右邊下端點處作用一集中荷載F=1kN。仍將設計區域離散成441個節點,將設計區域劃分為400個積分單元,每個積分單元設置2×2個高斯積分點。材料彈性模量E=3×108Pa,泊松比μ=0.3,取體積比為40%。利用本文的方法對圖2(a)所示模型進行拓撲優化設計,迭代到89步時結果收斂,拓撲優化結果如圖2(b)所示,拓撲優化目標函數值從1.9150減小到0.1036。圖2(c)為利用RPIM方法選取高斯點相對密度作為設計變量進行拓撲優化的結果,迭代59次,拓撲優化目標函數值從1.9150減小到0.0907。從圖2可以看出,用無網格徑向點插值法基于節點相對密度進行結構拓撲優化可以有效地抑制基于高斯點密度進行拓撲優化中的點態棋盤格現象。5基于simp模型的結構