多約束條件下機器人運動軌跡規劃

0運動軌跡規劃在不同的運動控制現場，經常會發現以下幾點。例如，發動機的固定旋轉、固定旋轉、機械限制位、運動干涉等。此外,在特定場合還有一些特殊的約束問題。比如繩牽引機構在運動時需要考慮繩子的牽引力約束,機械加工時通過優化刀具運動軌跡使得切削力滿足約束,視覺伺服系統要考慮視覺的能見性約束,移動小車在轉彎時要考慮曲率約束等。在對機器人進行運動控制時,各個關節的角加速度約束、角速度約束和角度約束是涉及的主要約束問題。在一般低速運動情況下,只要保證關節角度不超限即可,這對運動軌跡規劃影響很小。但是,當機器人運動速度較快時,關節角加速度和角速度極易超出約束范圍,導致驅動電流過大或者超出限位的事故發生。輕則機器人運動出錯,重則損壞硬件。此時,必須在機器人運動軌跡規劃時綜合考慮各種約束條件,最常用的方法是對運動時間進行優化。例如,CHWA等在用機械臂攔截快速飛行的物體時,對機械臂的運動軌跡施加關節速度約束和力矩約束。張斌等通過對時間進行優化,獲得滿足關節速度約束和驅動力約束的調姿系統運動軌跡。SARAVANAN等使用NURBS曲線規劃機器人運動軌跡,通過優化運動時間使得軌跡能夠滿足多種約束條件。徐海黎等對工業機器人的運動時間和能量進行優化,獲得滿足約束的運動軌跡。CHO等根據機器人動力學方程,通過優化時間使得機器人滿足關節力矩約束和操作力約束。除了優化時間外,對軌跡參數進行優化是另外一種解決方法。例如,XU等通過優化B樣條曲線的參數,獲得滿足關節約束的運動軌跡。但是,可用于軌跡規劃的曲線類型有很多,常用的有梯形和S形速度曲線、三角函數曲線、B樣條曲線、多項式曲線等,在具有運動約束的情況下,采用哪一種曲線類型能夠充分發揮機器人關節的運動能力,減少超出約束的情況發生,這方面的研究尚不夠深入。有些情況下,機器人的運動時間是確定的,無法通過優化時間來解決約束問題。對此,本文通過對關節運動加速度進行優化,提出一種能夠充分發揮機器人關節驅動性能的多約束條件下關節空間軌跡規劃方法,該方法能夠同時兼顧機器人的運動平穩性與約束要求,盡量提高軌跡規劃的成功率。1角速度曲線的確定機器人的關節約束主要包括關節角度約束、角速度約束和角加速度約束,可以用不等式表示為式中,分別是t時刻的角度、角速度和角加速度,θmax和θmin是角度的極大值和極小值,vmax是角速度大小的極值,amax是角加速度大小的極值。運動軌跡的約束問題可以用圖1進行說明。圖1表示關節運動角速度約束,初始角速度為v0,對應點B1,目標時刻tf的角速度為vf,對應點B3。因為機器人運動時時常需要進行分段軌跡規劃,v0和vf可以不為0,這樣軌跡規劃更具有一般性。運動過程的最大加速度為amax,那么可以構造一個平行四邊形B1B2B3B4,該四邊形四條邊的斜率大小為amax,根據角加速度約束可以確定角速度曲線應當在這四邊形內。角速度約束可以由兩條水平線L1:v=vmax和L2:v=vmin表示。L1、L2與B1B2B3B4可以相交也可以不相交。假定L1與B1B2B3B4相交于M1、M2,L2與B1B2B3B4相交于N1、N2,那么角速度曲線就應當在多邊形B1N1N2B3M2M1之內,這樣可以保證任意時刻不會出現角速度超限的情況。對于任意時刻的角加速度和角度約束,需要通過合適的角速度曲線形狀來保證。選擇合適的角速度曲線類型對處理約束問題至關重要,最能夠發揮機器人關節運動性能的角速度曲線,應當是能夠沿著多邊形B1N1N2B3M2M1運動的曲線,只有這樣才能使得角度的運動范圍(即角速度曲線的積分)最大。圖2所示類似梯形的速度曲線可以滿足這個要求,其運動過程分為3個階段:0~t1時刻為加速度為a的勻加速運動,t1~t2時刻為勻速運動,t2~tf時刻為加速度為–a的勻減速運動。當然,也可能是“勻減速—勻速—勻加速”,視a的正負而定。假定初始時刻角度為θ0,可以建立運動方程如下。當0≤t≤t1當t1<t≤t2當t2<t≤tf根據終點時刻的角度θf,可以得到關系式根據終點時刻的角速度vf,可以得到關系式式(5)、(6)構成一個方程組,其中a,t1,t2都可以是變量。為了獲得唯一解,可以預先確定其中的一個變量。采取的方法有兩種:一是將a設為某個固定值,t1,t2為變量;另一種方法是令t1=t2,此時求解得到的加速度a是滿足運動要求的最小加速度值。在具有約束的情況下,較小的運動加速度更容易超出約束范圍,而較大的加速度不利于機器人運動的平穩性和軌跡跟蹤精度。理想的軌跡規劃方法應當是在滿足約束的前提下,盡量采用較小的加速度。通過依次對角加速度約束、角速度約束和角度約束進行分析和處理,可以實現軌跡規劃,下面給出具體步驟。2加速度a的修正一般情況下,機器人運動時應當盡量使用較小的加速度,這樣可以提高運動過程的平穩性和軌跡跟蹤精度,也就是采用最小加速度規劃方法。滿足加速度最小的速度曲線在整個運動過程只有加減速運動階段,沒有勻速運動階段。在式(5)、(6)中令t1=t2,分別得到令得如果C2=0,那么有如果C2≠0,令可以得到式(10a)有2個實數解,只有t1,t2滿足0≤t1=t2≤tf才是正確解。實際上,最小加速度規劃只不過是固定加速度規劃中加速度最小的一種特殊情況,得到的角速度曲線如圖3所示。根據式(1)可以判斷加速度a是否超出約束范圍。如果a超出,此時加速度已經是滿足運動方程的最小解,其他各種可能的軌跡都只會使得加速度更大,說明該關節的驅動性能不能滿足運動約束要求,軌跡規劃失敗。3加速度a的影響當角加速度滿足要求之后,考慮角速度的約束。在圖2所示角速度曲線中,運動過程中角速度最大的時刻發生在t1~t2時刻的勻速運動階段,速度值為vc=v0+at1。如果|vc|>vmax,即速度超限。增大加速度a,可以降低勻速運動階段的速度vc,但是又不能增大到超出加速度約束范圍,此時理想的角速度軌跡應當如圖4中的B1D1D2B3所示。令t1時刻角速度vc的大小為最大角速度vmax,方向與之前保持不變,另外再根據式(5)、(6),可以列出以下方程組求得如果t1,t2滿足0≤t1≤t2≤tf,a滿足|a|≤amax,則所求結果符合要求,此時得到的加速度是同時滿足角加速度約束和角速度約束的最小加速度,否則說明關節加速性能無法滿足角速度約束要求,軌跡插補失敗。4不同角度下的加速度a計算當角加速度和角速度都滿足要求之后,考慮角度的約束。假設初始時刻和目標時刻的角度都在約束范圍之內,那么發生角度超限的極值點應當是角速度為0的時刻,且是在勻加速或勻減速階段之內,例如圖5中的tm1時刻。根據式(2b),令v0+atm1=0,有tm1=–v0/a,如果0<tm1≤t1,說明在加速階段存在速度為0的時刻,那么根據式(2c)計算對應的角度值同樣,根據式(4b),令v0+at1–a(tm2–t2)=0,有tm2=t1+t2+v0/a,如果t2≤tm2<tf,說明在減速階段存在速度為0的時刻,根據式(4c)計算對應的角度值(1)如果θm1存在且超出角度約束的邊界值Θ1(Θ1可以是θmax或者θmin),此時提高加速度a能夠減小超限。令θm1=Θ1,即因為初始角度不可能超限,即θmin<θ0<θmax,因此有如果a超限,那么插補失敗,說明關節的加速度不足以避開此角度極限Θ1。在初始角度和角速度確定的情況下,這是非常危險的。(2)如果θm2存在且超出角度約束的邊界值Θ2(Θ2可以是θmax或者θmin),嘗試增大a來減小超限值。令θm2=Θ2,根據角速度關系,有根據角度關系,有所給終點時刻角度一般不會超限,即θmin<θf<θmax,根據式(19)、(20),可得如果a超限,那么插補失敗,說明關節的加速度不足以避開此角度極限Θ2。由以上步驟最終得到的加速度a是同時滿足角加速度約束、角速度約束和角度約束的最小加速度。根據最終得到的加速度值a及式(5)、(6)可以求解出軌跡插補所需的其他參數t1、t2。5主要的運動軌跡規劃機器人在設計的過程中受到諸多條件的制約,無法保證每個關節都有足夠大的驅動力矩。因此,對于一些速度特別快的運動,即使充分發揮關節加速性能也可能無法實現運動軌跡規劃。對于有些情況,可以在允許的范圍內對運動進行修正來使其滿足約束要求。比如延長運動時間,或者減小目標時刻的角速度,或者減小角位移等。也就是在式(5)、(6)中,令a為最大加速度,而將vf,θf,tf作為變量。然而,有些情況下即使這樣得到滿足約束的機器人運動軌跡,但未必能夠滿足作業要求。比如在用機械臂擊打乒乓球時,有些過快的來球無論如何都是很難擊打得到的。6多約束軌跡規劃方法下面通過仿真對本文所提出的軌跡規劃方法進行說明,仿真所需的運動參數:初始時刻角度θ0=–1.8rad,角速度v0=–2rad/s;終點時刻角度θf=1.8rad,角速度vf=–2rad/s;運動時間tf=0.6s;最大角加速度amax=120rad/s2;最大角速度vmax=10rad/s;關節角度范圍[–1.82rad,1.82rad]。為了更能說明文中所提軌跡規劃方法的效果,同時采用三次多項式規劃和三角函數規劃方法進行無約束規劃,結果如圖6~8所示。很明顯,采用多約束軌跡規劃方法得到的軌跡能夠滿足關節角加速度、角速度和角度的約束,而另外兩種規劃方法沒有能夠充分發揮關節加速性能,使得角度和角速度超限。這說明在具有關節運動約束的情況下,文中方法具有非常明顯的優勢,并且所規劃出的軌跡能夠在滿足約束的條件下盡量使得加速度較小,兼顧了運動的穩定性和約束兩方面要求。7關節驅動能力小、算法容易發生受限時也會發生單一行為(1)本文提出