25.7

相似多邊形和圖形的位似第1課時

學習目標從生活中形狀相同的圖形的實例中認識相似圖形.理解相似多邊形及相似多邊形的性質，并會應用性質解決問題.

（重點）12我們把這些形狀相同的圖形稱為相似圖形.

知識講解1相似圖形定義：知識講解兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.兩兩相似的幾何圖形2兩個相似圖形之間的關系【思考】全等圖形一定是相似圖形嗎?相似圖形一定全等嗎?它們之間有什么關系?結論:全等圖形是相似圖形的一種特殊情況.全等圖形一定相似,相似圖形不一定全等.

如圖所示,將四邊形ABCD用2倍放大鏡觀察得到四邊形A1B1C1D1,這兩個四邊形相似嗎?這兩個四邊形中的對應角、對應邊之間有什么關系?1.在四邊形ABCD及用2倍放大鏡觀察得到的四邊形A1B1C1D1中,對應角之間的數量關系為:∠A

∠A1,∠B

∠B1,∠C

∠C1,∠D

∠D1;

3相似多邊形對應邊之間的數量關系為

=

,

=

,=

,=

,即

=

=

=

.

2.放大鏡下的圖形與原圖形是否相似？兩個圖形的對應角、對應邊之間有什么關系？(相似,對應角相等、對應邊成比例)3.你能嘗試給出相似多邊形的定義嗎？并嘗試用幾何語言表示出來.4.相似比的值與兩個相似多邊形的順序有關嗎？5.相似多邊形的對應角、對應邊有什么特點？用幾何語言怎樣表示？1.一般地,如果兩個多邊形的對應角相等、對應邊成比例,那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做它們的相似比.幾何語言:如圖所示的兩個大小不同的四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1,===，因此四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似.2.相似多邊形的性質:相似多邊形的對應角相等,對應邊成比例.觀察與思考:分別觀察(1)和(2)中的兩個多邊形,先直觀判斷它們是不是相似多邊形,再經過測量與計算,驗證你的結論.例如圖所示,五邊形ABCDE∽五邊形A1B1C1D1E1,求C1D1的長和∠A的度數.思考:(1)相似多邊形的性質是什么?(2)相似五邊形中,對應邊AB與A1B1,CD與C1D1之間有什么關系?(3)在比例式中,已知三條線段的長能否求出第四條線段的長?嘗試求出C1D1的長.(6)由五邊形內角和定理,能否求出∠A的值?(4)根據相似多邊形的性質,你能求出∠E的大小嗎?(5)五邊形的內角和是多少度?解:∵五邊形ABCDE∽五邊形A1B1C1D1E1,∴，∠E=∠E1=145°.∵AB=15,A1B1=10,CD=21,∴.解得C1D1=14.又∵∠B=130°,∠C=∠D=90°,∴∠A=(5-2)×180°-130°-145°-2×90°=85°.∴C1D1=14,∠A=85°.[知識拓展]

1.所謂“形狀相同”,就是與圖形的大小、位置無關,與擺放角度、擺放方向也無關.有些圖形之間雖然只有很小的形狀差異,但也不能認為是“形狀相同”.2.在相似多邊形中,“對應邊成比例”“對應角相等”這兩個條件必須同時成立時,才能說明這兩個多邊形是相似多邊形.3.相似多邊形的性質可以用來確定兩個多邊形中未知的邊的長度或未知的角的度數.5.相似比為1∶1的兩個相似多邊形是全等多邊形.4.相似比的值與兩個多邊形的前后順序有關.隨堂訓練解析：1.下列選項中與圖1中的圖形狀相同的是(

)

圖1

A

B

C

D細心觀察“空心圓圈”所在的“小葉片”，只有D選項中的圖與原圖形狀相同.D

知識講解2.下列圖形中，能確定相似的有（）A.兩個半徑不相等的圓；B.所有的等邊三角形；C.所有的等腰三角形；D.所有的正方形；F.所有的等腰梯形；E.所有的正六邊形.ABDE

解析:根據相似多邊形對應邊成比例得相似比為,所以長為1,2,3,4的各邊對應的邊長分別為,則周長為

+7=21.故選C.3.一個五邊形的各邊長分別為1,2,3,4,5,另一個和它相似的五邊形的最大邊的長為7,則后一個五邊形的周長為 (

)A.27 B.25

C.21 D.18C4.如圖所示,六邊形ABCDEF與六邊形A'B'C'D'E'F'相似,已知AB=5cm,EF=6cm,CD與C'D'的比為1∶3,∠E=125°,求A'B',E'F'的長及∠E'的度數.解:∵六邊形ABCDEF與六邊形A'B'C'D'E'F'相似,∴

，∠E'=∠E=125°.∴A'B'=3AB=15cm,E'F'=3EF=18cm.5.如圖所示的兩個矩形相似嗎？為什么？ADCB32GFEH1.51解：矩形ABCD∽矩形EFGH，因為它們的對應角相等，對應邊的比也相等。課堂小結我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.兩個圖形相似，其中一下圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.1.相似圖形：2.相似多邊形的性質：(1)對應角相等；對應邊的比、對應對角線的比、周長的比都等于相似比.(2)面積的比等于相似比的平方.25.7

相似多邊形和圖形的位似第2課時

會畫位似圖形，能夠根據位似比的大小把一個圖形放大或縮小.(難點)學習目標12理解位似圖形的概念，理解位似變化是特殊的相似變化.(重點)新課導入在日常生活中，經常遇到一些把圖形放大或縮小，但是圖形的形狀不改變的情形.觀察下面的圖形，它們有哪些相似點？如圖所示,已知△ABC及△ABC外的一點O.請按如下步驟畫出△A'B'C'.(1)畫射線OA,OB,OC.(2)分別在OA,OB,OC上截取點A',B',C',使OA'=2OA,OB'=2OB,OC'=2OC.(3)連接A'B',A'C',B'C',得△A'B'C'.A'c'B'知識講解★位似圖形的概念【思考】1.請你判斷AB與A'B',AC與A'C',BC與B'C'的位置關系,并說明理由.2.△ABC與△A'B'C'相似嗎?為什么?解:AB∥A'B',AC∥A'C',BC∥B'C'.理由:∵OA=AA',OB=BB',∴AB∥A'B',同理可得AC∥A'C',BC∥B'C'.如圖所示,點O在四邊形ABCD的內部,請按“一起探究”中的步驟畫一個四邊形A'B'C'D',使得四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'相似,=2,對應邊互相平行,且經過每對對應點的直線相交于點O.1.“一起探究”中，的值是多少？它與點O到點A與點A′的距離的比有什么關系？

（1:2，相等.)2.“一起探究”中的畫圖步驟有哪些?（畫射線；確定點的位置；畫出圖形)

3.若使四邊形的對應邊=2，那么四邊形內部點O到各頂點的距離比是多少？

（2:1）4.你能在四邊形內部畫出符合條件的四邊形嗎？作法:(1)連接OA,OB,OC,OD;(2)分別在OA,OB,OC,OD上取點A',B',C',D';使得(3)順次連接A',B',C',D',得四邊形A'B'C'D'.A'B'C'D'兩個相似多邊形的每對對應頂點的直線相交于一點,對應邊互相平行(或在同一條直線上).我們把這樣的兩個圖形稱為位似圖形,對應頂點所在直線的交點稱為位似中心,這時的相似比又稱位似比.歸納：（位似圖形一定是相似圖形,相似圖形不一定是位似圖形,位似圖形是特殊的相似圖形)例1請指出下列圖形那些是位似圖形？并指出位似圖形圖的位似中心?oP方法技巧：判斷兩個圖形是不是位似圖形，需要從兩方面去考察：一是這兩個圖形是相似的，二是要有特殊的位置關系，即每組對應點所在的直線都經過同一點．★位似圖形的性質從左圖中我們可以看到，△OAB∽△OA′B′，則，AB∥A′B′.右圖呢？你得到了什么？ABECDOA′B′C′D′E′ABCOA′B′C′

歸納：4.位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.1.位似圖形的對應角相等，對應邊成比例，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方；

2.位似圖形的對應點的連線相交于一點，即經過位似中心；3.位似圖形的對應邊互相平行或在同一條直線上；

★位似圖形的畫法

例3

如圖，已知△ABC，以點O為位似中心畫△DEF，使其與△ABC位似，且位似比為2.解：畫射線OA、OB、OC；在射線OA、OB、OC上分別取點D、E、F，使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC；順次連結D、E、F,使△DEF與△ABC位似，相似比為2.想一想：你還有其他的畫法嗎？ABCFEDO思考：上面點O取在兩個三角形的同側，如果點O在兩個三角形之間呢？能不能畫出這時的圖形?解：畫射線OA、OB、OC;沿著射線OA、OB、OC反方向上分別取點D、E、F,OD=2OA,OE=2OB,OF=2OC;順次連結D、E、F,使△DEF與△ABC位似,相似比為2.ABCOEFD畫位似圖形的一般步驟：歸納：（1）確定位似中心；（2）分別連接位似中心和能代表原圖的關鍵點并延長；（3）根據相似比，確定能代表所畫的位似圖形的關鍵點；（4）按照原圖的形狀，順次連接上述各點，得到放大或縮小后的圖形.隨堂訓練2.位似圖形上某一對對應點到位似中心的距離分別為5和10，則它們的位似比為___.1:21.△ABC和△A‘B’C‘是位似圖形,且位似之比為1∶3,則△ABC和△A'B'C'的對應邊AB和A'B'的比為 (

)A.3∶1 B.1:3C.1:9 D.1:27B3.已知邊長為1的正方形ABCD，以它的兩條對角線的交點為位似中心，畫一個邊長為2且與它位似的正方形.ABCDEHGFO解：畫射線OA、OB、OC、OD;在射線OA、OB、OC、OD上分別取點D、E、F,使OE=2OA,OF=2OB,OG=2OC,OH=2OD;順次連結E、F、G、H,使正方形ABCD與正方形EFGH位似,位似比為1：24.如圖所示，四邊形ABCD的一個位似圖形是四邊形A′B′C′D′，且A,B,C,D的對應點分別是A′,B′,C′,D′.圖中給出了AB的對應邊A′B′所在的位置，請把四邊形A′B′C′D′其余部分