解讀大學數學及其數學文化周均（長江師范學院數學系重慶涪陵408001）一、對大學數學的認識1。從教學內容上認識大學數學傳統觀點認為大學數學就是高等數學，即就是（advancedmathematicsorhighermathematics）是傳統的理、工科高等院校開設的一門重要的基礎課程，現在已推廣到高等院校文科各專業，它是在中學初等數學（elementarymathematics）學習后，各類大學生數學學習的繼續。初等數學研究對象為常量，以靜止觀點研究問題，而高等數學是研究對象為變量，是用運動和辯證的觀點研究數學。高等數學是在17世紀（1763年）Descartes建立了解析幾何，同時把變量引入數學對數學的發展產生了巨大的影響，使數學從研究常量的初等數學進一步發展到研究變量而發展來的。由于微積分是高等數學的一個核心組成部分，所以有人又簡單稱高等數學為微積分。高等數學除開研究微積分之外，根據專業需要還包括向量代數與空間解析幾何、無窮級數理論及作為一元微積分學的簡單應用——常微分方程，甚至于還包括線性代數、概率論與數理統計等，從這個意義上說高等數學又稱為大學數學，前面的分析說明是從公共基礎課程的角度認識大學數學的，事實上，還可從更廣的意義上說明大學數學，從最近我國高等教育出版社、中國教育部教學指導委員會及各個大學聯合舉辦的三屆《大學數學報告論壇》的角度來看，還包括大學數學專業類課程。2。從什么是數學的角度認識什么是大學數學對什么是數學的討論是由來已久的了，從[2]列舉的各種方法可看出有許多定義，事實上筆者認為最為精辟的還是其實恩格斯關于什么是數學最為恰當不過的了，恩格斯在《自然辯證法》和《反杜林論》中對數學產生的歷史、發展的動力及其應用和作用都有精確的論述，他給數學下了一個最恰當的最有概括性的定義。他說：數學的研究對象是現實世界中的數量關系和空間形式。這是恩格斯對古典數學的最經典的論述，這也是大家通過對初等數學的學習對數學的簡單理解。事實上，數學發展到近、現代數學研究對象已經超越了對數量關系和空間形式的最初意義的理解，其實這里所說的現代數學正是我們討論的大學數學。如數量不再簡單指初等數學中的實數，而且還應該包括向量、張量、矩陣，甚至還包括代數結構中的元，空間也不只是三維空間，有愛因斯坦的四維空間，乃至于n維空間、無窮維空間以及具有某種結構的抽象空間如函數空間、拓樸空間、商空間。從這個意義上說有人這樣來定義數學的：數學是研究結構的科學，數學是模式的科學。關于大學數學中的數量關系的說明如微積分學中的無窮小量0都賦予了特定的含義；如向量、矩陣是線性代數研究的對象（數量）；函數也賦予了特殊的含義；如高等代數的多項式理論中多項式可以將x看成是符號,也可看成是傳統數學(初等數學)中的多項式函數(即x就是自變量,是數),數量賦予了新的含義—矩陣,這時便產生了矩陣函數（多項式函數），在線性代數特征值理論中是有所體現的，如哈密爾頓-凱萊（Hamilton-Caylay）定理所闡述。設A是數域P上的一個n×n矩陣，是A的特征多項式，則，同樣是函數的概念在大學數學的《數學實驗》軟件之MATLAB、C語言程序設計中也函數的概念，這里或多或少都有函數思想的應用。2）關于大學數學的空間的說明大家回憶一下從初中學習數軸、平面直角坐標系中可以看這些實質上是我們現實世界的空間描述。到大學了大家在二元微積分學中學習了三維空間也是描述現實世界的。但隨著科學理論的發展對數學提出了新的要求，于是在愛因斯坦提出相對論時，提出了四維空間理論，到后來又發展到線性代數的向量空間、n維線性空間理論，以致于發展到泛函分析中的無窮維空間。所有這些都是大學數學對空間詮釋。3）關于大學數學的結構應用說明我想從初等數學的三角函數理論說起三角函數中有許多公式，在解決問題中通常情況有這樣幾種題型求值、化簡、證明恒等式等等。我在這里舉一個例子，來說明結構在初等數學中的應用。事實上，在大學數學知識、解題策略中也有結構的應用：如極限、導數、積分中都有四則運算法則及復合函數的運算法則。（解釋這里的幾種微積分學運算應用這種結構時有不同的解釋的）。當然，這里還有認知心理學中提倡的鑒別學習理論的應用。關于認知心理學在數學中的應用，我想多談點。認知心理學通常情況包括幾個大的分支如加工過程論、認知結構論及學生中心論。我在這里想強調我學習的一丁點《認知結構理論》在大學數學中的應用。它表現于大學數學概念、數學運算及數學解題策略中的應用，這里僅舉例說明它在數學運算中的應用如兩個重要極限的運用同，，型，“三統一”，同理是型，也是三統一，這兩個重要極限在應用時，都要套用這兩種結構。認知結構對怎樣掌握知識，提高解決問題的能力具有很好的指導作用，西南大學心理學院院長張慶林曾提出過這樣的觀點，“知識的學習或表征，只有做到條件化、結構化、自動化和策略化，才能有效地創造性地解決問題”。事實上，認知結構與數學的結合是有理論根據，有研究表明《范疇論Category》中提出的范疇結構與知識工程學中的知識分類、知識表達、知識系統和心理學中的拓樸心理學認知心理學的認知結構有緊密關系。我們在學習大學數學時如果能應用好認知結構理論，對學好數學是很有幫助的。參考文獻[1]理科非數學專業高等數學教學內容和課程體系改革課題組人才培養與大學數學教育改革[J]，教學與教材研究1999.2[2]大學數學課程報告論壇大學數學報告論壇2006論文集[c],北京