一、課題等比數(shù)列的前n項(xiàng)和二、教案背景《新課程改革綱要》提出，要“改變課程實(shí)施過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂(lè)于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息能力、獲取新知識(shí)的能力、分析和解決問(wèn)題的能力以及交流合作的能力”。對(duì)這一目標(biāo)本人認(rèn)為更加注重培養(yǎng)學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體的能動(dòng)性、獨(dú)立性、創(chuàng)造性、發(fā)展性。心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，9至22歲的學(xué)生正處于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)期，高中生正好處于這一關(guān)鍵年齡段，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)因勢(shì)力導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。利用問(wèn)題探究式的方法對(duì)新課加以鞏固理解，在生生、師生交流的過(guò)程中，體現(xiàn)對(duì)弱勢(shì)學(xué)生更多的關(guān)心，凸顯以人為本的教育理念?？萍嫉难该桶l(fā)展，給我們的教育注入一股新鮮的血液，多媒體的使用使得我們?cè)趦?yōu)化教學(xué)、重組課堂上有了技術(shù)支撐，互聯(lián)網(wǎng)上海量的教學(xué)資源，我們必須廣泛涉獵并有所遴選，教師也應(yīng)架起互聯(lián)網(wǎng)搜索與學(xué)生之間的橋梁。本教案的設(shè)計(jì)思想正基于此。三、教學(xué)內(nèi)容與學(xué)情分析本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)（5）》（蘇教版）第二章第3節(jié)第5課時(shí)。從在教材中的地位與作用來(lái)：看《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》是數(shù)列這一章中的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，而且公式推導(dǎo)過(guò)程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項(xiàng)和從公式的形成、特點(diǎn)等方面進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)。不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對(duì)學(xué)生的思維是一個(gè)突破，另外，對(duì)于q=1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過(guò)程中容易出錯(cuò)。四、教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1、三維目標(biāo)：知識(shí)與技能：理解并掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程、公式的特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問(wèn)題。過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，向?qū)W生滲透特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)公式推導(dǎo)的教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維的嚴(yán)謹(jǐn)性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。2、重難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)是公式的推導(dǎo)、公式的特點(diǎn)和公式的運(yùn)用。教學(xué)難點(diǎn)是公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運(yùn)用。公式推導(dǎo)所使用的“錯(cuò)位相減法”是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想，所以既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。五、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，發(fā)明了國(guó)際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國(guó)王大為贊賞，對(duì)他說(shuō)：我可以滿足你的任何要求。西薩說(shuō)：請(qǐng)給我棋盤的64個(gè)方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國(guó)王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算，結(jié)果出來(lái)后，國(guó)王大吃一驚。為什么呢？（國(guó)際象棋起源的傳說(shuō)）/question/44334828.html【設(shè)計(jì)意圖】：設(shè)計(jì)這個(gè)情境目的是在引入課題的同時(shí)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性。故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點(diǎn)。此時(shí)我問(wèn)：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù)。帶著這樣的問(wèn)題，學(xué)生會(huì)動(dòng)手算了起來(lái)，他們想到用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和。這時(shí)我對(duì)他們的這種思路給予肯定。（二）師生互動(dòng)，探究問(wèn)題在肯定他們的思路后，我接著問(wèn)：是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？【學(xué)情預(yù)設(shè)】：探討1：設(shè)，記為:（1）式，注意觀察每一項(xiàng)的特征，有何聯(lián)系？（學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍）探討2：如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng)，（1）式兩邊同乘以2則有，記為（2）式。比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？經(jīng)過(guò)比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項(xiàng)，把兩式相減，相同的項(xiàng)就消去了，得到：。老師指出：這就是錯(cuò)位相減法，并要求學(xué)生縱觀全過(guò)程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？（三）類比聯(lián)想，解決問(wèn)題這時(shí)我再順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，如何求前n項(xiàng)和？【學(xué)情預(yù)設(shè)】：在學(xué)生推導(dǎo)完成后，我再問(wèn)：由得對(duì)不對(duì)？這里的能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí)？（這里引導(dǎo)學(xué)生對(duì)進(jìn)行分類討論，得出公式，同時(shí)為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ)。）再次追問(wèn)：結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,如何把用、、表示出來(lái)？（引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式）（四）討論交流，延伸拓展在此基礎(chǔ)上，我提出：探究等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，還有其它方法嗎？我們知道,那么我們能否利用這個(gè)關(guān)系而求出呢？根據(jù)等比數(shù)列的定義又有，能否聯(lián)想到等比定理從而求出呢？【設(shè)計(jì)意圖】：以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營(yíng)造一個(gè)讓學(xué)生主動(dòng)觀察、思考、討論的氛圍.以上兩種方法都可以化歸到,這其實(shí)就是關(guān)于的一個(gè)遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究?jī)r(jià)值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用.（等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式其它推導(dǎo)方法）/p-183954110.html（五）變式訓(xùn)練,深化認(rèn)識(shí)例1：求等比數(shù)列前8項(xiàng)和；變式1、等比數(shù)列前多少項(xiàng)的和是；變式2、等比數(shù)列求第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和；變式3、等比數(shù)列求前2n項(xiàng)中所有偶數(shù)項(xiàng)的和。首先，學(xué)生獨(dú)立思考，自主解題，再請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)來(lái)幻燈演示他們的解答，其它同學(xué)進(jìn)行評(píng)價(jià)，然后師生共同進(jìn)行總結(jié)。(學(xué)法指導(dǎo))（六）例題講解，形成技能例2：求和解題時(shí)，以學(xué)生分析為主，教師適時(shí)給予點(diǎn)撥，該題有意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)含有參數(shù)的問(wèn)題進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)思想。（七）總結(jié)歸納，加深理解以問(wèn)題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵(lì)學(xué)生積極回答，然后老師再?gòu)闹R(shí)點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)。（八）故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)最后我們回到故事中的問(wèn)題，我們可以計(jì)算出國(guó)王獎(jiǎng)賞的小麥約為1.84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽(yáng)鋪設(shè)一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459倍，顯然國(guó)王兌現(xiàn)不了他的承諾。（九）課后作業(yè)，分層練習(xí)必做：教材對(duì)應(yīng)練習(xí)1、2選作：思考題：（1）求和（2）“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”這首中國(guó)古詩(shī)的答案是多少？（奇妙的數(shù)字詩(shī)詞）/23323307.html【設(shè)計(jì)意圖】：出選作題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教，讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間。七、教學(xué)反思：對(duì)公式的教學(xué)，要使學(xué)生掌握與理解公式的來(lái)龍去脈，掌握公式的推導(dǎo)方法，理解公式的成立條件，充分體現(xiàn)公式之間的聯(lián)系。在教學(xué)中，我采用“問(wèn)題――探究”的教學(xué)模式，把整個(gè)課堂分為呈現(xiàn)問(wèn)題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律四個(gè)階段。本節(jié)課開(kāi)始，設(shè)置了“棋盤上的數(shù)學(xué)”一例，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的熏陶，引起學(xué)生的興趣，挑起學(xué)生探索新知識(shí)的欲望，進(jìn)而提出了等比數(shù)列求和的問(wèn)題。教學(xué)設(shè)計(jì)重視“過(guò)程與方法”，符合新課標(biāo)的理念，把重點(diǎn)放在公式的推導(dǎo)上。在探索公式的過(guò)程中，用到了許多重要的數(shù)學(xué)方法，如錯(cuò)位相減：變加為減，等價(jià)轉(zhuǎn)化；遞推思想：縱橫聯(lián)系，揭示本質(zhì)；等比定理：回歸定義，自然樸實(shí)。學(xué)生從中深刻地領(lǐng)會(huì)到推導(dǎo)過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程有效地培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性，培養(yǎng)了學(xué)生解決問(wèn)題的能力。本節(jié)課例子設(shè)計(jì)精巧。通過(guò)精講一題（例1），發(fā)散一串的變式教學(xué)，使學(xué)生既鞏固了知識(shí)，又形成了技能；通過(guò)例題講解（例2），進(jìn)一步滲透分類討論的思想，培養(yǎng)分類討論的思想和思維的縝密性；設(shè)計(jì)選作思考題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”這首中國(guó)古詩(shī)的答案是多少，思考題體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。教案資源1：國(guó)際象棋的發(fā)明人是誰(shuí)滿意回答國(guó)際象棋是世界上最古老的搏斗游戲之一,和中國(guó)的圍棋、象棋和日本的將棋同享盛名。一般認(rèn)為,在公元500年之前,在印度北部就有了這類游戲。當(dāng)時(shí)的棋子比起今日的國(guó)際象棋在著法上簡(jiǎn)單得多,它們代表在古印度的步兵、武士、戰(zhàn)車和大象。在棋盤上,國(guó)王和他的維齊(即今天的后)統(tǒng)帥一切。據(jù)多數(shù)史學(xué)家認(rèn)為,國(guó)際象棋從印度逐漸傳到中亞細(xì)亞、中國(guó)、波斯和歐洲。11世紀(jì)時(shí)盛行于君士坦丁堡,是拜占庭皇帝阿列克西斯?康姆涅紐斯很喜歡的一種消遣。這種游戲一傳到西方,有個(gè)別棋子的名稱和設(shè)計(jì)便與當(dāng)時(shí)歐洲的封建制度中的社會(huì)階層掛上了鉤。王和兵當(dāng)然沒(méi)有改變。大象在印度軍隊(duì)中是一種重型的力量,在西方則由主教替代,主教在當(dāng)時(shí)中世紀(jì)教會(huì)中頗有權(quán)力,而大象在西方戰(zhàn)事中沒(méi)有人知道其威力無(wú)比。棋史學(xué)家列維在敘述第二次普尼克戰(zhàn)爭(zhēng)中漢尼伯曾經(jīng)在意大利本土上使用獸力作戰(zhàn)。印度棋盤上的武士,變成了馬,世人公認(rèn)為是騎士制度的一個(gè)代表。古戰(zhàn)車變成城堡(德文"turn",西班牙文"torre",法文"tour",均為"城堡"的意思),英文中則為“rook”(城形棋子)。此字源出于波斯文"ruhk"(戰(zhàn)車的意思)或者是出于意大利文"rocco。"(城塔的意思)。最后，維齊轉(zhuǎn)而名為后,是中世紀(jì)宮廷的主要人物。15世紀(jì)末,國(guó)際象棋規(guī)則在歐洲起了一個(gè)自然而然的變化。其中最重要的變化是后從依附于王而變成在棋盤上極具威懾力量的角色。另外,兵起步時(shí)可以選走兩格,象可以在斜線上自由行走以及王能夠和車易位。這些變化可以說(shuō)已經(jīng)和今日世界上159個(gè)國(guó)家和地區(qū)所開(kāi)展的國(guó)際象棋走法十分接近了。這種走法已被當(dāng)今國(guó)際棋聯(lián)這個(gè)國(guó)際象棋世界性組織所屬的500萬(wàn)注冊(cè)棋手所認(rèn)可。直到進(jìn)入20世紀(jì)時(shí),國(guó)際象棋仍被認(rèn)為是貴族和富有閑人的游戲。而今天,自從1917年十月革命后,在蘇維埃政府的重視和大力推動(dòng)下,使得國(guó)際象棋逐漸普及起來(lái)。如果說(shuō),國(guó)際棋聯(lián)現(xiàn)有五百萬(wàn)注冊(cè)棋手和數(shù)以億計(jì)會(huì)下國(guó)際象棋(據(jù)國(guó)際棋聯(lián)20世紀(jì)90年代的統(tǒng)計(jì)數(shù)字,現(xiàn)全世界大約有三億)的人,那么,其中除了少數(shù)尖子棋手把它作為藝術(shù)和終生職業(yè)外,其余都是這種游戲的愛(ài)好者。的確,在前蘇聯(lián)和接過(guò)前蘇聯(lián)"國(guó)際象棋王國(guó)"旗幟的俄羅斯,國(guó)際象棋是國(guó)家體育,被奉為"國(guó)棋",比足球更受人喜愛(ài)。由于國(guó)家和群眾的大力推動(dòng),在20世紀(jì)40年代以來(lái),前蘇聯(lián)特級(jí)大師們或多或少地控制了世界國(guó)際象棋的棋壇,雖然他們的優(yōu)勢(shì)很快受到了英國(guó)、美國(guó)等西方國(guó)際象棋強(qiáng)國(guó)的挑戰(zhàn)。在所有棋盤游戲中,國(guó)際象棋是一種把戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)和純技術(shù)融為一體的理想游戲。和西洋雙陸相比,勝負(fù)決定于骰子一擲,誠(chéng)然是不由自己作主;和國(guó)際跳棋相比,棋子的規(guī)模化控制了技術(shù)上的勝負(fù)。和國(guó)際象棋在思想性上、科學(xué)性上和深度上可以相比的只有日本將棋和中國(guó)的圍棋、象棋。國(guó)際象棋幾乎就是融藝術(shù)、科學(xué)、知識(shí)和靈感為一爐的一種游戲。分析對(duì)局時(shí)是一種邏輯的實(shí)驗(yàn)使用,而在攻王的戰(zhàn)斗中和戰(zhàn)略問(wèn)題的運(yùn)籌的時(shí)候,就需要有一種創(chuàng)造性的靈感。不過(guò),國(guó)際象棋不是像縱橫字謎那樣單純是一種文字智力的測(cè)試。國(guó)際象棋的競(jìng)爭(zhēng)使雙方投入一場(chǎng)不流血的戰(zhàn)斗,是雙方思想和意志的一場(chǎng)激烈尖銳的戰(zhàn)斗以及體力上的堅(jiān)韌不拔的較量。尤其是,國(guó)際象棋具有古老的和顯眼的歷史。這種游戲?qū)υS多國(guó)家數(shù)百年來(lái)的文化階層間有著連綿不絕的延續(xù)性。讀者可以在本書中看到千年以前的局面。這些棋局，迄今尚能引起許多棋手的興趣?；蛟S,未來(lái)的讀者們對(duì)今天這些美妙的思想產(chǎn)物也會(huì)同樣地深感興趣,這才是今人羨古人,后人羨今人呀。國(guó)際象棋起源的傳說(shuō)國(guó)際象棋是怎么產(chǎn)生的?這個(gè)古老而又永遠(yuǎn)是生氣勃勃的智力競(jìng)技究竟是哪一個(gè)國(guó)家、哪一個(gè)人的發(fā)明?這些問(wèn)題長(zhǎng)時(shí)期以來(lái)吸引了許多學(xué)者的注意力。關(guān)于國(guó)際象棋的起源,曾經(jīng)有種種饒有興味的傳說(shuō)。其中較為著名的一個(gè)是這樣的:在古代印度有一個(gè)國(guó)王,他擁有至高無(wú)上的權(quán)力和難以計(jì)數(shù)的財(cái)富。但是權(quán)力和財(cái)富最終使他對(duì)生活感到厭倦,渴望著有新鮮的刺激。有一天,來(lái)了一位老人,他帶著自己發(fā)明的國(guó)際象棋朝見(jiàn)國(guó)玉。國(guó)王見(jiàn)了這新奇的玩意非常喜歡,就與老人對(duì)弈起來(lái)。但是他一下上手,就舍不得放下了,竟留著老人一連下了三天三夜。到了第四天早上,國(guó)王感到非常滿足,就對(duì)老人說(shuō)道:"你給了我無(wú)窮的樂(lè)趣。為了獎(jiǎng)賞你,我現(xiàn)在決定,你可以從我這兒得到你所要的任何東西。"的確,這位國(guó)王是如此富有,難道還有什么要求不能滿足嗎?然而,老人卻慢條斯理地回答道:"萬(wàn)能的王啊,您雖然是世界上最富有的人,但恐怕也滿足不了我的要求。"國(guó)王不高興了,他皺起了眉頭,嚴(yán)肅地說(shuō)道:"說(shuō),哪怕你要的是半個(gè)王國(guó)。"于是,老人說(shuō)出了自己的要求:"請(qǐng)國(guó)王下令在棋盤的第1一格上放一粒小麥,第二格上放兩粒小麥,第三格上放四粒,第四格上放八粒,就這樣依次每格增加一倍小麥數(shù)量,一直到第六十四格為止。""可憐的人啊,你的要求就這么一點(diǎn)點(diǎn)嗎?"國(guó)王不禁笑了起來(lái),他立即命人取一袋小麥來(lái),按照老人的要求數(shù)給他,但是一袋小麥很快就完了。國(guó)王覺(jué)得有點(diǎn)奇怪,就命人再去取一袋來(lái)……接著是第三袋、第四袋……小麥堆積如山,但是離第六十四格還遠(yuǎn)得很吶。只見(jiàn)國(guó)王的臉色由驚奇逐漸轉(zhuǎn)為陰沉,最后竟勃然大怒了。原來(lái)國(guó)庫(kù)里的小麥已經(jīng)搬空了,卻還只是數(shù)到了棋盤上的第五十格。國(guó)王認(rèn)為老人是在戲弄他,就下令把老人殺了。其實(shí),老人的話沒(méi)有錯(cuò),他的要求的確是滿足不了的。根據(jù)計(jì)算,棋盤上六十四個(gè)格子小麥的總數(shù)將是一個(gè)十九位數(shù),折算為重量,大約是兩千多億噸。而即使是現(xiàn)代,全世界小麥的年產(chǎn)量也不過(guò)是數(shù)億噸而已。還有一個(gè)傳說(shuō)是這樣的:大約兩千年前,在印度曾發(fā)生過(guò)一場(chǎng)激烈的戰(zhàn)爭(zhēng),戰(zhàn)爭(zhēng)過(guò)后,尸骨成山,血流成河,真是慘不忍睹。一個(gè)聰明人眼看這種景象,便塑造了一些形態(tài)各異、戴盔披甲的將士作為棋子。他把戰(zhàn)場(chǎng)上的戰(zhàn)斗再現(xiàn)在棋盤上,終于把孔武善戰(zhàn)、恃強(qiáng)好勝的國(guó)王、將軍及婆羅門貴族的興趣吸引、過(guò)來(lái)。從此,以棋盤上的智力較量,取代了戰(zhàn)場(chǎng)上的血腥廝殺。這些傳說(shuō)雖然很有意思,能給人以啟示,但并不能幫助我們追根溯源,找到國(guó)際象棋的發(fā)明人。實(shí)際上,國(guó)際象棋也像其他許多游戲一樣,是人類社會(huì)發(fā)展的產(chǎn)物。當(dāng)人類的力量在解決基本的生存問(wèn)題之后尚有富余時(shí),游戲便自然產(chǎn)生了。不能說(shuō)國(guó)際象棋是哪一個(gè)國(guó)家、哪一個(gè)人的發(fā)明,而只能說(shuō),它是勞動(dòng)人民的創(chuàng)造,人類智慧的結(jié)晶。教案資源2：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的幾種推導(dǎo)方法賞析等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的幾種推導(dǎo)方法山東張吉林（山東省萊州五中郵編261423）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是學(xué)習(xí)等比數(shù)列知識(shí)中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，其公式：當(dāng)時(shí)，①或②當(dāng)q=1時(shí)，本身不僅蘊(yùn)涵著分類討論的數(shù)學(xué)思想，而且用以推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法---錯(cuò)位相減法，更是在歷年高考題目中頻繁出現(xiàn)。本文變換視野、轉(zhuǎn)換思維，從不同的角度加以推導(dǎo)，以加深對(duì)公式的理解與應(yīng)用,希望能起到拋磚引玉的效果。一般地，設(shè)等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和是公式的推導(dǎo)方法一：當(dāng)時(shí)，由得∴當(dāng)時(shí)，①或②當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng)已知,q,n時(shí)常用公式①；當(dāng)已知,q,時(shí)，常用公式②.拓展延伸：若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，對(duì)形如的數(shù)列，可以用錯(cuò)位相減法求和。例題數(shù)列的前項(xiàng)和，則的表達(dá)式為（）．A． B．C． D．解析：由，①可得，②②－①，得，故選（D）．點(diǎn)評(píng)：這個(gè)脫胎于課本中等比數(shù)列前項(xiàng)公式推導(dǎo)方法的求和法，是高考中命題率很高的地方，應(yīng)予以高度的重視。公式的推導(dǎo)方法二：當(dāng)時(shí)，由等比數(shù)列的定義得，根據(jù)等比的性質(zhì)，有即∴當(dāng)時(shí)，或當(dāng)q=1時(shí)，該推導(dǎo)方法圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比的性質(zhì)，導(dǎo)出了公式，給我們以耳目一新的另類感覺(jué)。導(dǎo)后反思：定義是基礎(chǔ)，深刻理解定義，靈活地運(yùn)用好定義，往往能得到一些很有價(jià)值的結(jié)論和規(guī)律。例如等比數(shù)列的一個(gè)常用性質(zhì)：已知數(shù)列是等比數(shù)列（），是其前n項(xiàng)的和，則，…，仍成等比數(shù)列。其推導(dǎo)過(guò)程可有以下兩種常見(jiàn)的證明過(guò)程：證明一：（1）當(dāng)q=1時(shí)，結(jié)論顯然成立；（2）當(dāng)q≠1時(shí)，∴=∴成等比數(shù)列.［這一過(guò)程也可如下證明］：證明二：－=－===同理，－==∴成等比數(shù)列。對(duì)比以上兩種證明過(guò)程，我們不難看出，利用好定義在解決某些問(wèn)題的過(guò)程中可以收到很簡(jiǎn)捷的效果。公式的推導(dǎo)方法三：＝＝＝∴當(dāng)時(shí)，或當(dāng)q=1時(shí)，“方程”在代數(shù)課程里占有重要的地位，是應(yīng)用十分廣泛的一種數(shù)學(xué)思想，在數(shù)列一章的公式考察中常利用方程思想構(gòu)造方程（或方程組），在已知量和未知量之間搭起橋梁，來(lái)求解基本量，使問(wèn)題得到解決。這種推導(dǎo)方法正是運(yùn)用了該思想，使我們的思維不拘泥于書本。.以上三種推導(dǎo)方法，從不同的思維角度切入等比數(shù)列前n項(xiàng)和的表達(dá)式，著眼點(diǎn)不同，側(cè)重點(diǎn)各異，從而在推導(dǎo)方法的運(yùn)用上也各有千秋，推導(dǎo)方法一注重補(bǔ)因子后錯(cuò)位相減；推導(dǎo)方法二則側(cè)重于前n項(xiàng)的和式與定義式的聯(lián)系；而推導(dǎo)方法三則是構(gòu)造了間的遞推關(guān)系式，充分利用了和首項(xiàng)及公比之間的關(guān)系來(lái)得前n項(xiàng)的和公式。希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中認(rèn)真領(lǐng)悟，仔細(xì)體味，以求使思維得到更為靈活廣闊的鍛煉。教案資源3：奇妙的數(shù)字詩(shī)詞(一)一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬(wàn)，這么幾個(gè)看來(lái)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的數(shù)字，在詩(shī)人的筆下，充滿了魅力，構(gòu)成了一首首美妙的詩(shī)作，令人回味不已。汪曾祺先生在他的一篇散文《新校舍》中談起過(guò)西南聯(lián)大的學(xué)習(xí)生活。他寫道，曾聽(tīng)?zhēng)孜幻淌谥v課，吳宓先生講中西詩(shī)之比較，我很有興趣地去聽(tīng)。不料他講的第一首詩(shī)卻是：一去二三里，煙村四五家，樓臺(tái)六七座，八九十枝花。這首詩(shī)是北宋哲學(xué)家邵雍所作，短短的20個(gè)字中，就有10個(gè)數(shù)字，寥寥幾筆，便為我們勾勒出一幅生動(dòng)的畫面。由于這首詩(shī)樸實(shí)有趣，朗朗上口，不少家長(zhǎng)都教自己剛開(kāi)始學(xué)話的幼子背誦。吳先生以此詩(shī)開(kāi)講，也正說(shuō)明了數(shù)字在文學(xué)作品中的特殊魅力。司馬相如是西漢時(shí)期著名的作家，文君夜奔相如的故事，在中國(guó)流傳很廣。相傳司馬相如做官之后，有遺棄文君之意，文君察覺(jué)到這一點(diǎn)，就給他寫了一封信：一別之后，二地相思。只說(shuō)是三四月，又誰(shuí)知五六年。七弦琴無(wú)心彈，八行書不可傳，九連環(huán)從中折斷，十里長(zhǎng)亭望眼穿。百思想，千系念，萬(wàn)般無(wú)奈把郎怨。萬(wàn)語(yǔ)千言說(shuō)不完，百無(wú)聊賴十倚欄。重九登高看孤雁，八月中秋月圓人不圓。七月燒香秉燭問(wèn)蒼天，六月伏天人人搖扇我心寒。五月石榴如火偏遇冷雨澆花端，四月枇杷未黃我欲對(duì)鏡心意亂。急匆匆，三月桃花隨水轉(zhuǎn)，飄零零，二月風(fēng)箏線兒斷。噫！郎呀郎，巴不得下一世你為女來(lái)我為男。這首詩(shī)寫得纏綿哀婉，表達(dá)了一個(gè)女子對(duì)意中人又愛(ài)又怨，剪不斷理還亂的思戀。詩(shī)中反復(fù)用了一至萬(wàn)13個(gè)數(shù)字，又表現(xiàn)了作者的聰明巧思。據(jù)說(shuō)相如讀后很受感動(dòng)，與文君和好如初?！赌档ねぁ肥敲鞔髴騽〖覝@祖的作品。《牡丹亭》第三十九出《如杭》有一段詞：十年窗下，遇梅花凍九才開(kāi)。夫貴妻榮，八字安排。敢你七香車穩(wěn)情載，六宮宣你有朝拜，五花誥封你非分處。論四德，似你那三從結(jié)愿諧。二指大泥金報(bào)喜，打一輪皂蓋飛來(lái)。這段唱詞中嵌入了10個(gè)數(shù)字，非常自然貼切，我們從中可以窺見(jiàn)湯顯祖駕馭語(yǔ)言的藝術(shù)。

(二)《詩(shī)經(jīng)·召南·鏢有梅》的開(kāi)頭為：“鏢有梅，其實(shí)七兮，求我庶士，迨其吉兮！鏢有梅，其實(shí)三兮，求我庶士，迨其今兮！”此詩(shī)暗含兩道減法算式：10－3＝7，10－7＝3。之所以說(shuō)暗含這兩道試題，是因?yàn)榇嗽?shī)是把梅子（比喻為青春）看作十分，先說(shuō)有七分在樹(shù)上，后說(shuō)樹(shù)上僅剩三分，借此來(lái)說(shuō)明要珍惜稍縱既逝的青春（即詩(shī)中女青年希望求婚的男青年不要貽誤佳期）。南朝樂(lè)府民歌《懊儂歌》：“江陵去揚(yáng)州，三千三百里。已行一千三，所有二千在”。這首寫長(zhǎng)途旅行的詩(shī)中暗含一道減法算式：3300－1300＝2000.旅行者邊坐船行走，邊屈指計(jì)算著還有多少行程，隨即用詩(shī)的形式表達(dá)了歸心似箭的心情。宋代大詩(shī)人蘇東坡不僅善詩(shī)，而且還喜歡畫畫。一次，他畫了一幅題為《百鳥(niǎo)歸巢圖》的畫后，他的詩(shī)友文倫敘為此畫題了這樣一首“數(shù)學(xué)詩(shī)”：“天生一只又一只，三四五六七八只。鳳凰何少鳥(niǎo)何多，啄盡人間千萬(wàn)石”。分析此詩(shī)，不難看出下列的“數(shù)學(xué)含義”，即首句含有“1＋1＝2”的算式；而第二句則包含著“3×4＋5×6＋7×8＝98”的算式。這兩道算式所得之?dāng)?shù)的和是“100”，正好同畫題之中的“百鳥(niǎo)”的“百”相吻合。由此可見(jiàn)，這首詩(shī)不但富有文學(xué)韻味，而且還蘊(yùn)含數(shù)學(xué)情趣，再加上題寫在畫上，“三味”合一，有誰(shuí)能說(shuō)這不是一首好詩(shī)？蘇東坡的《水龍吟·似花還非花》詞中有“春色三分，二分塵土，一分流水”之句，此句中蘊(yùn)一算式，即3－2－1＝0。這是把揚(yáng)花這一春色的化身擬括為“三分”，其中“二分”棄置路旁，化為塵土；另“一分”散落池水中，隨流水而去。表現(xiàn)了濃濃的惜春之情。吳敬所著的《九章算法比類大全》中載有如下這樣一首“數(shù)學(xué)詩(shī)”：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增。共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”此詩(shī)就像一道“代數(shù)應(yīng)用題”一樣，只要稍加思考，就能得出答案。因?yàn)閺囊粚拥狡邔拥臒簟氨都釉觥?，所以，如果設(shè)第一層的燈數(shù)為“X”，那么，二層至七層的燈數(shù)依次為一層的2倍、4倍、8倍、16倍、32倍、64倍，把一層至七層的燈的數(shù)量依次加起來(lái)，為127“X”，并等于總燈數(shù)381.于是就可以算出第一層的燈數(shù)為3盞。3×64＝192，即塔的尖頭（第七層）為192盞燈。此詩(shī)雖然是一首“數(shù)學(xué)詩(shī)”，但仍以形象具體，通俗易懂而堪稱詩(shī)中佳作。清代徐子云所著《算法大成》中載有這樣一首“數(shù)學(xué)詩(shī)”：“巍巍古塔在山林，不知寺內(nèi)幾多僧。三百六十四只碗，看看粥盡不差爭(zhēng)。三人共食一碗飯，四人共吃一碗羹。請(qǐng)問(wèn)先生明算者，算來(lái)寺內(nèi)幾多僧”。設(shè)寺內(nèi)有增X的話，據(jù)詩(shī)意可列方程式為“X/3＋X/4＝364”，最后算出寺內(nèi)有僧人624。明代詩(shī)人杜癢的題為《岳陽(yáng)樓》的詩(shī)，也是一首“數(shù)學(xué)詩(shī)”，詩(shī)曰：“茫茫雪浪帶煙蕪，天與西湖作畫圖。樓外十分風(fēng)景好，一分山色九分湖”。所蘊(yùn)算式為：10＝1＋9。因岳陽(yáng)樓下臨洞庭湖，又面對(duì)遠(yuǎn)處的君山，湖為近景，山為遠(yuǎn)景，根據(jù)遠(yuǎn)小近大的緣故，故有“樓外十分風(fēng)景好，一分山色九分湖”之句?！端惴ńy(tǒng)宗》有一首題為《百羊問(wèn)題》的“數(shù)學(xué)詩(shī)”：“甲趕群羊逐草茂，乙拽肥羊一只隨其后，戲問(wèn)甲及一百否？甲云所說(shuō)無(wú)差謬，若得這般一群湊，再添半群小半群（小半群就是四分之一群），得你一只來(lái)方湊。玄機(jī)奧妙誰(shuí)猜透？”設(shè)甲有羊X只，據(jù)詩(shī)意可列方程式“X＋X＋X/2＋X/4＋1＝100”，最后算出甲有羊36只。《算法統(tǒng)宗》還有一首《李三公開(kāi)店》的“數(shù)學(xué)詩(shī)”：“我問(wèn)開(kāi)店李三公，眾客來(lái)到此店中，一房七客多七客，一房九客一房空，請(qǐng)問(wèn)幾客幾房中？”設(shè)有房間X，據(jù)詩(shī)意可列方程式“7X＋7＝9×（X－1）”，最后算出有8個(gè)房間，63位客人?！端惴ńy(tǒng)宗》還有下列這樣一首