線性sdof體系共振響應的hh譜分析

結構動力學研究對線性sdo系統的動態反應分析具有一定的理論和實際意義。結構體系的強迫動力響應時程不僅包含結構自身動力特性方面的信息,而且也包含著體系輸入方面的信息。Hilbert變換是一種物理意義明確的積分變換形式,在某些情況下它能夠揭示時程或信號所蘊含的物理機制。Feldman曾經將Hilbert變換應用于單自由度體系的動力反應分析方面,并且他也利用Hilbert變換對非線性單自由度體系的動力特性進行了識別,但是其研究存在著一定的局限性。希爾伯特-黃變換(Hilbert-HuangTransform,簡稱HHT)是由Huang在經典的Hilbert變換的基礎上提出的一種新的非平穩信號的處理方法,其處理信號所得到的本征振動模態與Hilbert譜與信號所描述系統的物理機制基本上一致。該方法在場地液化物理過程的識別與雙線性動力響應特征的研究中得到了初步的應用。本文將通過利用HHT方法分析線性SDOF體系共振動力響應這一基本的結構動力學問題,一方面深入驗證HHT方法所得結果的物理意義,另一方面也為該方法的進一步應用提供一定的思路。基于此,本文重點討論線性SDOF體系在簡諧波、線性調頻波與正弦調頻波輸入下處于共振狀態時,其動力響應的Hilbert譜與本征振動模態的特征,并且將Hilbert譜、Morlet小波譜及Fourier幅值譜所蘊含的物理意義及分辨率特性進行了比較。所謂的“共振狀態”是指:(1)對于簡諧波而言,其頻率與結構的自振頻率相等;(2)對于線性調頻波和正弦調頻波而言,其瞬時頻率在規則的非平穩變化過程中存在與結構自振頻率相等的時刻。1強迫振動反應體系設線性單自由度振動體系在輸入加速度ag(t)的作用下產生強迫振動。體系的本構關系為線性彈性,并且其剛度k、質量m與阻尼c在振子振動過程中保持不變。振子振動過程中其輸出絕對加速度為aa(t)。1.1系統的振動特性將體系的質量m取為107kg,剛度k取為4×108N/m,則體系無阻尼自振頻率fc為1.007Hz;體系的輸入加速度ag(t)是幅值為2m/s2、頻率為1.007Hz的余弦波。將時間步長取為0.001s,計算總的時間取為20.0s,采用線性加速度法可計算得出結構的絕對加速度反應aa(t),其波形與Fourier幅值譜如圖1(a)所示。從中可以看出體系的振動達到了共振狀態。在圖1(a)所示aa(t)的Fourier幅值譜中可以清楚地看出在1Hz附近出現了一個譜值非常高的峰值點,但從中卻無法分辨出aa(t)幅值隨時間逐漸增加的共振特性。aa(t)的Hilbert譜與Morlet小波譜分別如圖1(b)、圖1(c)所示。Hilbert譜與Morlet小波譜均是在時間-頻率平面上描述信號或時程能量的分布;在圖1(b)、圖1(c)中,橫軸表示時間,縱軸表示頻率,而不同時頻坐標處顏色的深淺則描述了信號能量或幅值的大小。aa(t)的Hilbert譜為1.0Hz附近的一條極細的頻帶,其顏色隨時間的加深體現了體系的共振,它所蘊含的信息與結構共振現象所蘊涵的物理機制是一致的,即在共振狀態下SDOF體系動力響應的頻率與其自振頻率相等,而其幅值越來越大,如圖1(a)所示。在Morlet小波譜中,能量也是集中在1.0Hz附近的頻帶上,其顏色也是隨時間而加深的,體現出了共振現象,但其帶寬卻隨著時間的持續而加大,這是沒有明確物理意義的。1.2furing幅值譜圖及自振特性分析將體系的質量m取為107kg,剛度k取為1.6×109N/m,阻尼c取為0,則體系無阻尼自振頻率fc為2.013Hz。體系的輸入運動ag(t)為幅值為1m/s2、載波頻率為0.5Hz的線性調頻波:ag(t)=cos(πf1t2+2πf2t)ag(t)=cos(πf1t2+2πf2t)其瞬時頻率時程為:fi(t)=12πddt(πf1t2+2πf2t)=f1t+f2(Hz)fi(t)=12πddt(πf1t2+2πf2t)=f1t+f2(Ηz)其中,f1=0.1s-2,f2=0.5Hz。可以看出,在15s處,輸入加速度波的瞬時頻率為2.0Hz,與體系的自振頻率大致相等。因此在15s左右,按照本文對線性調頻波輸入下“共振狀態”的定義,體系的振動將會達到共振狀態。首先分析一下無阻尼的情形。在無阻尼條件下,體系輸出絕對加速度aa(t)及其Fourier幅值譜如圖2(a)所示。在采用線性加速度方法進行數值計算的過程中,時間步長取為0.001s,計算時間從0s取到160s,為了表示清楚,圖2(a)僅給出了aa(t)前40s的部分波形。從aa(t)的時程中可以看出,在13s左右由于輸入加速度的瞬時頻率越來越接近體系的自振頻率,體系動力響應的幅值開始增大,在大約18s左右增大到最大值之后,aa(t)的幅值基本保持在20m/s2,頻率保持在2.0Hz(體系的自振頻率)左右。因此在aa(t)的Fourier幅值譜中,2Hz附近的譜值明顯高于其他頻率處的譜值,但從中我們不容易直觀地識別出輸入線性調頻波對體系動力響應的直接貢獻。aa(t)的Hilbert譜與其前2個主要IMF分量c1(t)、c2(t)的波形分別如圖2(b)、圖3(a)所示;c1(t)與c2(t)的瞬時頻率時程fi1(t)、fi2(t)如圖3(b)所示,圖中虛線分別表示體系的自振頻率與輸入線性調頻波瞬時頻率的變化。其中c1(t)與c2(t)也就是體系強迫動力響應的本征振動模態。從以上3圖中可以看出,在大約10s之前的初始階段,體系動力響應的幅值較小,而且包含2個主要的IMF分量。高頻分量c1(t)的頻率保持在2Hz左右,描述的是體系的自振特性對體系反應的直接貢獻,即體系動力響應的瞬態反應部分;由于體系無阻尼,在該時段,此分量的幅值幾乎無衰減,如圖3(a)所示。低頻分量c2(t)的頻率呈線性增加趨勢,在此階段,其描述的是輸入加速度ag(t)對體系反應的直接影響,即ag(t)引起的體系動力響應中的穩態反應部分;在該階段前半段(0~5s),該分量的幅值逐漸增加,而在5s左右達到最大值后開始降低,在10s左右幾乎降低為0,如圖3(a)所示。此外,在10s附近,由于c1(t)與c2(t)的幅值較低以及Gibbs現象,通過Hilbert變換計算得到的瞬時頻率fi1(t)與fi2(t)出現了較大的波動,如圖2(b)、圖3(b)所示。在大約10s~20s之間的時段內,輸入加速度ag(t)的瞬時頻率逐漸接近體系的共振頻率,在15s附近,ag(t)的瞬時頻率與體系自振頻率相等。體系動力響應的幅值越來越大,體系的振動逐漸達到共振狀態。因此,在該時段,與體系的瞬態反應相比,ag(t)引起的體系穩態反應成為體系動力響應aa(t)的主要成分,aa(t)的能量相對地集中在ag(t)的瞬時頻率附近,如圖2(b)所示,從中已無法識別出描述體系瞬態反應的成分,而且由于Hilbert變換的Gibbs效應及數值微分所造成的誤差,在這一階段,c1(t)與c2(t)的瞬時頻率時程出現了較大的波動,如圖3(b)所示。在此階段,c1(t)的幅值逐漸增加,并在大約18s處增加到最大值;其頻率在10s左右由2Hz下降到最小值后開始大體沿著ag(t)瞬時頻率的線性方向升高,逐漸達到2Hz;而且相比c2(t),其幅值非常高,因此,它描述了這一階段ag(t)引起的體系穩態反應部分。而c2(t)的頻率則偏離了原來線性增加的方向;其幅值基本保持為0,其瞬時頻率fi2(t)出現的較大波動與其非常低的幅值有關。在大約20s之后,體系輸入加速度ag(t)的瞬時頻率逐漸增高,遠離體系的自振頻率,體系不再處于共振狀態。但是,由于體系無阻尼,因此由前一階段體系共振所引起的這一階段體系的瞬態反應無衰減,并且成為體系振動的主要成分;與之相比,由于輸入加速度ag(t)的瞬時頻率逐漸遠離體系的自振頻率,所以ag(t)所引起的體系穩態反應在體系動力響應aa(t)中所占比重較小。因此,在這一時間段內,首先,體系動力響應的能量集中在體系的自振頻率處,即2Hz處,而且與第一階段相比,該階段的譜值非常高,如圖2(b)所示;其次,Hilbert譜已識別不出ag(t)所引起的體系穩態反應。在這一階段中,aa(t)的IMF分量c1(t)的頻率與幅值幾乎保持不變,它描述了前一階段體系共振所引起的該階段體系的瞬態反應。而在此階段中,分量c2(t)在大約20s~50s之間、60s~90s之間與100s~130s之間出現了一系列波包,這些波包有如下特點:(1)在任一個波包內,振動的幅度先升高后降低,而頻率則是先降低后升高,并且頻率的升高與降低基本上沿著線性方向;(2)隨著時間的延續,波包的幅值下降,而且在初始階段下降得非常快;(3)波包的形狀有一定的相似性,這就導致了不同波包瞬時頻率的變化有一定的周期性;(4)20s~50s之間波包的前半部分與10s之前的波包在形狀上有一定的對稱性;(5)不同波包之間相隔大約10s,在此間隔內c2(t)的幅值基本為0,這就使得在實際計算過程中出現了大量毫無意義的瞬時頻率的高頻峰值點,事實上在這些間隔內,c2(t)瞬時頻率的值應為0。在分量c2(t)中,這些波包的頻率與波形都呈現出一定的周期性,因此它們有可能蘊涵著某種物理意義,但是尚需深入研究。從另一種角度來講,這些波包的幅值是非常小的,最大的幅值僅為c1(t)幅值的1/20,而且在20s之后,經驗模態分解(EMD)并未分解出描述輸入線性調頻波對aa(t)直接影響的IMF分量來,因此,這些波包的出現也有可能是EMD方法本身的數值誤差造成的。下面分析一下有阻尼的情形。將體系阻尼比取為0.01,則體系有阻尼自振頻率約為2.013Hz。體系輸出絕對加速度反應aa(t)及相應的Fourier幅值譜如圖4(a)所示。從aa(t)的波形可以看出,在15s左右體系的振動達到共振狀態之后,由于阻尼的存在,而且輸入運動的頻率逐漸遠離體系自振頻率,體系動力響應的幅值開始呈指數下降;aa(t)的Fourier幅值譜仍然在2Hz附近有一個峰值點,而且其帶寬較無阻尼情況有所增加,除此之外,從中很難明確地識別出其他信息。aa(t)的Hilbert譜與前2個主要IMF分量c1(t)、c2(t)如圖4(b)、圖5(a)所示;c1(t)與c2(t)的瞬時頻率時程fi1(t)、fi2(t)如圖5(b)所示,圖中虛線分別表示體系的自振頻率與輸入線性調頻波瞬時頻率的變化。由于體系存在小的阻尼,因此在最初的5s內,描述體系瞬態反應的分量c1(t)的幅值呈指數衰減,其頻率保持在2.0Hz左右;描述輸入線性調頻波引起的體系穩態反應部分的分量c2(t)的頻率呈線性增加趨勢,其幅值先增加后降低。在5s之后,由于體系瞬態反應幾乎衰減為0,而且ag(t)所引起的體系動力響應中的穩態反應部分的幅值隨著ag(t)的瞬時頻率越來越逼近體系的自振頻率而逐漸增加,因此,在5s至大約18s這一時段內,體系的振動主要來自輸入加速度ag(t)所引起的穩態反應部分。在圖4(b)所示的Hilbert譜中,在該時段,僅有一個主要分量,其頻率呈線性增加的趨勢,與ag(t)的瞬時頻率一致。在這一階段中,c1(t)的頻率自2Hz下降到最低點后開始沿著ag(t)的瞬時頻率的發展方向線性增長,所以在該階段,c1(t)描述了輸入加速度所引起的體系穩態反應,并且體系動力響應aa(t)的主要能量都集中在c1(t)上。由于ag(t)的瞬時頻率逐漸逼近體系的自振頻率,并在15s處等于體系的自振頻率,所以c1(t)的幅值越來越大,體系的振動也逐漸達到共振狀態。在這一階段中,c2(t)的幅值基本上為0;由于計算上的誤差,此階段c2(t)的瞬時頻率時程fi2(t)出現了許多不規則的峰值點,如圖5(b)所示,但是在這些時刻,由于c2(t)的幅值非常小,它們不會在圖4(b)所示的Hilbert譜中引起較大的誤差,從而導致Hilbert譜失去應有的精度。在大約18s~45s這一時段內,從圖4(b)所示的Hilbert譜中可以明顯地識別出2個分量:描述體系瞬態反應的分量c1(t)及分量c2(t)。c1(t)的瞬時頻率在2.0Hz附近波動,而且波動幅度越來越大,這是由數值誤差引起的;由于體系存在著阻尼,所以c1(t)的幅值呈指數衰減,這使得前一階段體系共振產生的效應越來越小。分量c2(t)的波形與瞬時頻率的變化類似于圖3(a)所示分量c2(t)在20s~50s之間的波包。在該階段,盡管描述體系瞬態反應的分量c1(t)的幅值呈指數衰減,但其值仍然較大,輸入加速度ag(t)所引起的體系穩態反應在體系總的響應中所占比重依然很低,因此,在該時段,在圖4(b)所示的Hilbert譜中我們依然無法識別出輸入線性調頻波對體系動力響應的直接貢獻。在45s之后,由于共振引起的體系瞬態反應衰減到一個非常低的水平,這時輸入加速度ag(t)所引起的穩態反應部分在體系總的響應中所占比重不容忽視,因此圖4(b)所示的Hilbert譜中的2個IMF分量分別改變了各自原有意義。c1(t)的瞬時頻率呈線性增長趨勢,與輸入波形瞬時頻率的變化相一致,它描述了輸入加速度ag(t)所引起的體系振動中的穩態反應部分。由于ag(t)的瞬時頻率逐漸遠離體系的自振頻率,所以c1(t)的幅值逐漸降低,在圖4(b)中即表現出其顏色越來越淺。分量c2(t)在此階段則描述了體系振動中的瞬態反應部分,其波形是上一階段c1(t)波形的延續,其頻率保持在2.0Hz附近,其幅值呈指數衰減,并且在90s左右幾乎衰減為0,如圖4(b)所示。在此階段,當描述ag(t)所引起的穩態反應的IMF分量出現之后,圖4(b)所示的Hilbert譜中并未出現類似于圖2(b)所示的Hilbert譜中的波包系列。通過以上討論可以看出,隨著阻尼比的加大,體系共振后,其動力響應的Hilbert譜中描述輸入引起的體系振動中的穩態反應部分的IMF分量c1(t)出現得越早,分量c2(t)中的波包消失得也越早。最后,給出阻尼比ζ=0.0與ζ=0.01兩種情形下體系動力響應的Morlet小波譜,分別如圖6(a)、圖6(b)所示。通過圖6(a)與圖2(b)之間、圖6(b)與圖4(b)之間的比較可以看出,Morlet小波譜中并未出現類似于Hilbert譜中的波包系列,而且對于0阻尼情形,體系共振后,小波譜也識別不出輸入所引起的體系動力響應中的穩態反應部分,而對于有阻尼情形,體系共振后小波譜則也可以識別出體系的穩態反應。但是,從整體來說,小波譜的分辨率明顯低于Hilbert譜。Hilbert譜在0阻尼情形下出現的波包系列是否具備物理意義尚需深入研究。1.3體系的自振及幅值調制首先分析一下無阻尼情形。將體系的質量m和剛度k分別取為107kg與4×108N/m,則體系無阻尼自振頻率fc為1.007Hz。體系的輸入運動為幅值為2m/s2、載波頻率為1.0Hz的正弦調頻波:ag(t)=2cos[sin(2πf1t)+2πf2t]ag(t)=2cos[sin(2πf1t)+2πf2t]其中,f1=0.5Hz,f2=1.0Hz。該輸入加速度的瞬時頻率的解析表達式為fi(t)=f1cos(2πf1t)+f2,即它在1Hz上下(即體系的自振頻率上下)作余弦波動,從中可以看出體系的振動每隔一定的時間(T=1/f1=1.0s)就會達到共振狀態。0阻尼體系在此輸入下的絕對加速度反應aa(t)及其Hilbert譜如圖7所示。aa(t)的波形類似于簡諧波輸入下無阻尼體系共振狀態下動力響應的波形。這是因為每隔1s,輸入加速度波的瞬時頻率就會與體系自振頻率相等,體系的振動就會達到共振狀態;而且體系無阻尼,由共振狀態所導致的體系瞬態反應無衰減,如此累積下來,體系動力響應的幅度就會越來越大。由于aa(t)的波形類似于簡諧波輸入下共振狀態的波形,因此其Hilbert譜在1Hz(體系的自振頻率)處有一個極窄的頻帶,該頻帶的產生是由數值誤差及譜的平滑作用造成的,從理論上應該為1Hz處的一條直線,不存在帶寬。這條頻帶的顏色由淺逐漸加深,描述了體系的共振效應。由于體系處于共振狀態,因此從aa(t)的Hilbert譜中無法識別出輸入正弦調頻加速度波中其他瞬時頻率成分的影響。下面再來分析一下有阻尼情形。將體系的質量、阻尼和剛度分別取為:m=1×107kg;c=1×107N·s/m;k=4×108N/m則體系的阻尼比、無阻尼自振頻率與有阻尼自振頻率分別為:ζ=0.08;fc=1.007Hz;fd=1.003Hz體系的輸入依然為上述正弦調頻加速度波。體系在此輸入下的絕對加速度反應aa(t)及其Fourier幅值譜如圖8(a)所示;與圖7(a)所示無阻尼情形下體系動力響應的Fourier幅值譜相比,圖8(a)所示的Fourier幅值譜在0.5Hz處出現了一個譜值較大的諧波分量,描述了aa(t)波形中的幅值調制現象。aa(t)的Hilbert譜如圖8(b)所示。aa(t)的波形類似于簡諧波輸入下有阻尼體系共振狀態下動力響應的波形,但是與它不同的是aa(t)的波形中出現了幅值的調制現象。這是因為在共振狀態下,體系輸入簡諧波的瞬時頻率一直保持為體系的自振頻率,而體系輸入正弦調頻波的瞬時頻率則在體系的自振頻率處作正弦波動,其波動的頻率為f1(f1=0.5Hz),即輸入加速度的瞬時頻率并非一直等于體系的自振頻率,而是按照一定的周期在某些時刻使得體系達到共振狀態,這就使得圖8(a)所示的波形出現了幅值調制現象。也正因為如此,在aa(t)的Hilbert譜中出現了頻率為0.5Hz的IMF分量,它即描述了aa(t)波形中出現的幅值調制。此外,由于體系的阻尼比較大,體系共振狀態所導致的體系瞬態反應衰減較快,因此輸入正弦調頻加速度波中在1Hz附近的其他瞬時頻率分量對體系動力響應的直接貢獻(即它們所引起的體系的穩態反應)在體系總反應中所占比重相對無阻尼體系來講也是相當大的,所以在aa(t)的Hilbert譜中,1Hz處的能量占優的IMF分量的瞬時頻率在1Hz附近有一定的波動,其波動的頻率為0.5Hz,與輸入波形瞬時頻率的波動頻率相當,而且其波動的形式也類似于正弦波;但是其波動的幅度明顯低于輸入波形的瞬時頻率波動,這是因為距離1Hz越遠瞬時頻率分量對體系動力響應的貢獻越小,Hilbert譜已無法識別出這些頻率分量對體系動力響應的貢獻。最后,分別給出圖7(a)與圖8(a)所示體系輸出絕對加速度反應的Morlet小波譜,如圖9(a)、圖9(b)所示。可以看出,圖7(b)與圖9(a)、圖8(b)與圖9(b)之間在能量分