基于模糊自適應的feng混沌系統的設計

1模糊自適應控制器控制機關在過去的20年中，作為非線性科學研究的一個重要領域，混合系統的控制得到了越來越多的關注，并在工程和其他領域得到了廣泛應用。目前,控制混沌的方法有很多,如OGY方法、延遲反饋控制、滑模控制、反步控制等。反步控制方法是一種比較新的控制非線性系統的方法,但是這種方法較大的一個缺點是構造的控制器結構往往比較復雜。最近,模糊邏輯系統在非線性系統的逼近中得到越來越多的運用,并被證明是一種非常有效的方法。2011年,YuJP等運用自適應模糊控制器控制永磁電動機中的混沌取得較好的效果,但是他沒有考慮輸入的擾動項及系統參數識別。同年,FengCW等提出了一種新的三維自治混沌系統。Feng混沌系統是對經典蔡氏系統的一個改進,對這個系統的研究具有一定的意義。本文首先設計參數觀測器,對Feng系統中的未知參數進行識別;借助于反步控制方法,在存在輸入擾動項的情況下,利用模糊邏輯系統逼近求解過程中出現的復雜的非線性函數,構造模糊自適應控制器控制馮混沌系統;把本文的結果與傳統的反步控制方法進行比較;最后,通過仿真實驗驗證本文控制方法的有效性和實用性。2模糊邏輯系統的建立Feng系統的數學模型為:˙x=a(z-f(x))˙y=&f(x)-y+z˙z=&-by-cz(1)x˙=a(z?f(x))y˙=&f(x)?y+zz˙=&?by?cz(1)其中,f(x)一般用分段的線性函數來表示:f(x)=αx-12(β-α)(|x+1|-|x-1|)f(x)=αx?12(β?α)(|x+1|?|x?1|)系統(1)中,x,y,z為系統狀態變量,a,b,c,α,β為系統參數。當a=6,b=20,c=0.01,α=1,β=-3時,系統存在一個典型的混沌吸引子,如圖1所示。為了控制該混沌系統,我們在系統(1)的第二個狀態方程中增加一個控制量u.于是系統可以改寫為:˙x=a(z-f(x))˙y=f(x)-y+z+u+η(x,y,z,t)˙z=-by-cz(2)x˙=a(z?f(x))y˙=f(x)?y+z+u+η(x,y,z,t)z˙=?by?cz(2)η(x,y,z,t)為輸入的擾動項,并假設|η|≤λ,λ>0為未知參數;在系統(2)中,參數c的作用非常重要。現假設所有的系統參數中,只有c是未知的。控制目標是設計一個自適應的模糊控制器使狀態變量x跟蹤一個參考信號ˉxxˉ,并且使閉環系統有界。為了完成控制目標,采用單值模糊化、乘積推理和中心平均去模糊化演化如下的模糊規則:Ri:如果x1為Fi1并且?并且xn為Fin,那么y為Bi,i=1,2,?Ν其中,x=[x1,x2,…,xn]T∈Rn,y∈R為模糊系統的輸入和輸出。Fij和Bi為R上的模糊集合。模糊邏輯系統根據模糊規則把Rn上的模糊集合映射到R上的模糊集合。模糊系統的輸出可以表示為:y(x)=Ν∑j=1Wjn∏i=1μFji(xi)Ν∑j=1[n∏i=1μFji(xi)]式中Wj為隸屬函數μBj(Wj)達到最大值的點。進一步可以假設μBj(Wj)=1。定義模糊基函數pj(x)=n∏i=1μFij(xi)Ν∑j=1[n∏i=1μFji(xi)],令S(x)=[p1(x),p2(x),…,pN(x)]T,W=[W1,…,WN]T,于是模糊邏輯系統可以改寫為:y(x)=WΤS(x)若隸屬函數采用Gaussian型,上述模糊邏輯系統可以在任意精度上一致逼近定義在致密集上任何一個的非線性函數。引理2.1對于任何定義在致密集U∈Rn上的連續函數f及任意的ε>0,一定存在如式(3)的模糊邏輯系統y,使得:supx∈U|f(x)-y(x)|<ε3參數識別和模糊自適應控制器的設計3.1增益函數z本節主要建立觀測器對馮系統中的未知參數c進行識別。因為c是系統(2)中的常數,我們可以假設˙c=0。令?c為未知參數c的估計值。根據系統(2)的最后一個方程可得cz=-by-˙z.設計觀測器為:˙?c=-G(z)[?cz-(-by-˙z)](4)G(z)為增益函數。引入變量?c=?c-c,則˙?c=˙?c=-G(z)z?c.如果我們選擇增益函數G(z)使得系統˙?c+G(z)z?c=0對所有的z都是指數穩定的?則?c依指數收斂于c.由于(4)中含有˙z是不可直接觀測的,所以我們引入變量p:p=?c+Q(z)(5)其中,Q(z)滿足:G(z)=dQ(z)dz.根據(4)和(5)可得:˙p=˙?c+G(z)˙z=-G(z)zp+G(z)Q(z)z-bG(z)y(6)且有?c=p-Q(z)(7)實際上,對Q(z)的選擇可以有很多種,對于系統(1)來說,當t→∞時所有的變量都是有界的,我們這里可以取Q(z)=12z2,觀測器則變為:˙p=-z2p+12z4-byz(8)?c=p-12z2(9)3.2反思2:模糊邏輯系統k1e21-ke2,本節主要利用反步控制方法構造模糊自適應控制器控制混沌系統(2)。反步方法主要包含三個步驟,每一步我們利用Lyapunov函數定義一個虛擬的控制函數αi,i=1,2。Step1:對參考信號ˉx,定義跟蹤誤差變量e1=x-ˉx,設ˉx為一個常數。根據系統(2)的第一個方程,有:˙e1=˙x=a(z-f(x))。定義Lyapunov函數為V1=12e21,則˙V1=e1˙e1=e1a(z-f(x))(10)取虛擬的控制律α1為:α1=-ˉk1e1+f(x)(11)其中ˉk1為大于零的常數。把(11)及z=e2+α1代入(10)可得:˙V1=ae1(e2+α1-f(x))=-k1e12+ae1e2k1=ˉk1a為設計參數,e2=z-α1.Step2:對e2求導,有:˙e2=˙z-˙α1=-by-?cz-˙α1(12)這里定義˙α1也為分段函數。并且在x=1,x=-1處取常數。定義Lypunov函數V2=V1+12e22,則:˙V2=˙V1+e2˙e2=-k1e21+e2(ae1-by-?cz-˙α1)(13)于是α2可取為:α2=1b(k2e2+ae1-?cz-˙α1)(14)k2>0為設計參數。把y=e3+α2代入(13)得:˙V2=-k1e21-k2e22-be2e3(15)Step3:對e3求導,得:˙e3=˙y-˙α2=f(x)-y+z+u+η-˙α2定義Lypunov函數V3=V2+12e32,得到:˙V3=-k1e21-k2e22+e3(-be2+f(x)-y+z+u+η-˙α2)=-k1e21-k2e22+e3(F+u+η)這里F=-be2+f(x)-y+z-˙α2.注意到F中含有α2的導數,這將使傳統的反步控制器的設計非常復雜,并且控制器u也具有非常復雜的結構。為了避免這些問題,采用如式(3)的模糊邏輯系統來逼近非線性函數F.根據引理1,任意的ε>0,都存在模糊邏輯系統WTS使得:F=WΤS+δ(17)這里δ為逼近誤差且滿足|δ|<ε.經過放縮有下面的不等式成立:e3F=e3WΤS+e3δ=le3WΤSl+e3δ≤e232l2∥W∥2SΤS+12l2+12e23+12ε2其中l為大于零的常數。把上式代入(16),定義θ=‖W‖2,可以得到:˙V3≤-k1e21-k2e22+e23θ2l2SΤS+12l2+12e23+12ε2+e3(u+η)(18)注意到e3η≤|e3|λ,可以構造控制器u為:u=-k3e3-12e3-e23?θ2l2SΤS-sign(e3)?λ(19)其中?θ為未知參數θ的估計值,?λ為未知參數λ的估計值,sign為符號函數。把(19)代入(18),有:˙V3≤-k1e21-k2e22-k3e23+e23(θ-?θ)2l2SΤS+|e3|(λ-?λ)+12l2+12ε2(20)引入變量?θ=?θ-θ,?λ=?λ-λ,并定義Lypunov函數為V=V3+12r1?θ2+12r2?λ2,ri>0,i=1,2為常數。根據(20)有:˙V≤-3∑i=1kie2i+1r1?θ(-r1e232l2SΤS+˙?θ)+1r2?λ(-|e3|r2+˙?λ)+12l2+12ε2(21)根據(21)自適應律可以定義為:˙?θ=r1e232l2SΤS-n1?θ(22)˙?λ=|e3|r2-n2?λ(23)其中n1,n2為大于零的常數。定理3.1考慮系統(2)和給定的信號ˉx,利用控制器(19)可以使跟蹤誤差在有限的時間內逼近到原點的一個充分小的鄰域內,并且閉環系統有界。證明將(22)、(23)代入(21)可得˙V≤-3∑i=1kie2i+12l2+12ε2-n1r1?θ?θ-n2r2?λ?λ(24)注意到-?θ?θ=-?θ(?θ+θ)≤-12?θ2+12θ2,同理-?λ?λ≤-12?λ2+12λ2?(24)可以改寫為˙V≤-AV+B(25)其中,A=min{2k1,2k2,2k3,n1,n2}?B=12l2+12ε2+n12r1θ2+n22r2λ2.進一步有V(t)≤(V(t0)-BA)e-A(t-t0)+BA≤V(t0)+BA,?t≥t0(26)且有ei,i=1,2,3和?θ都屬于緊集Ψ={(zi,?θ)|V(t)≤V(t0)+BA}。所以,所有的閉環系統有界。特別地,根據(26),有limt→∞z21≤2BA根據A,B的定義,可以知道通過調整一些參數的值可以使跟蹤誤差充分接近于0。證畢。4模糊隸屬函數的初始設置設初始條件為:x=0.5,y=0.5,z=0.6。控制器參數取為k1=20,k2=90,k3=100,r1=15,r2=1,l=1,n1=n2=0.005,η(x,y,z,t)=-0.5x2cost-0.3y2-0.7z2sint.跟蹤目標ˉx=2??c的初值設為0.02。對于模糊隸屬函數,本文選取7個高斯型隸屬函數均勻覆蓋在區間[-3,3]。仿真選用的規則總數為Ν=7×7×7=343??θ的初值設為343維的0向量。仿真結果見圖2。從結果可以看出,本文的控制方法取得較好的控制效果,跟蹤誤差快速收斂,同時,控制輸入保持光滑和有界。5中的2如果在控制器的設計中不引入模糊邏輯系統(3),根據式(16)控制器u可設為:u=-k3e3-be2-f(x)+y-z+˙α2-sign(e3)?λ(28)其中?λ的定義與前面相同,滿足自適應律(23)。注意到α2為x,z的函數:˙α2=?α2?x˙x+?α2?z˙z(29)帶入(28)可得:u=-k3e3-be2-f(x)+y-z-sign(e3)?λ+a?α2?x(z-f(x))+?α2?z(-by-cz)(3