等腰三角形的判定導學案教學目標：1．探索等腰三角形判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明．3．了解等腰三角形的尺規作圖.教學重、難點：理解和運用等腰三角形的判定定理教學過程：一、問題導入：問題等腰三角形性質定理的內容是什么？這個命題的題設和結論分別是什么？性質定理的條件是：一個三角形中有兩條邊相等．結論：這兩條邊所對的角相等．二、課本精講：思考性質定理證明方法是什么？作頂角的平分線或底邊上的高或底邊的中線，將一個三角形的問題轉化為兩個全等三角形來證明兩個角相等．問題一個三角形滿足什么條件是等腰三角形？思考1如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊有什么關系？這兩個角所對的邊相等．思考2這個命題的題設和結論又分別是什么呢？如何證明這個命題？題設：一個三角形有兩個角相等．結論：這兩個角所對的邊相等．問題類比等腰三角形性質定理的證明方法，你能選擇一種來證明這個命題嗎？已知：如圖，在△ABC

中，∠B

=∠C.求證：AB=AC．教師：你還有其他證明方法嗎？

思考能作底邊BC

上的中線嗎？

等腰三角形的判定方法：

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．符號語言：∵在△ABC

中，∠B

=∠C，∴AB

=AC．思考與等腰三角形性質進行比較看有什么區別？例1求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形.已知：∠CAE

是△ABC

的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求證：AB

=AC.例2已知等腰三角形底邊長為a

，底邊上的高的長為h

，求作這個等腰三角形.作法：（1）作線段AB

=a；（2）作線段AB

的垂直平分線MN，與AB

相交于點D；（3）在MN上取一點C，使DC

=h；（4）連接AC，BC，則△ABC

就是所求作的等腰三角形.三、鞏固提高：教科書79頁練習1、2、3、4四、課堂小結：（1）本節課學習了哪些內容？（2）等腰三角形的判定方法有哪幾種？（3）結合本節課的學習，談談等腰三角形性質和判定的區別和聯系．五、課后作業：教科書習題13.3第2、5題．

課后反思：

等腰三角形的判定導學案（2課時，單元-課時教學設計）一、內容和內容解析

1.內容

等腰三角形的性質和判定.

本單元教學需兩課時，第1課時主要學習等腰三角形的性質，第2課時重點研究等腰三角形的判定。

2.內容解析

（1）內容的本質

本節課的內容是人教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊第十三章第三節“等腰三角形”，是在學生學習了三角形的相關知識（根據邊的位置關系特殊化研究過直角三角形）、全等三角形和軸對稱知識的基礎上進一步研究的另一類特殊三角形.類比直角三角形，通過三角形邊的大小關系特殊化引入等腰三角形這一類圖形，它的研究再一次呈現圖形特例研究的典范，為后續學習平行四邊形等內容提供了“一般觀念”的示范作用.對于直角三角形是按照“定義—性質—判定”的思路進行研究的.等腰三角形亦是如此.采用“屬+種差”的方式加以定義，定義中反映了兩邊相等這一等腰三角形的充要條件，它反映了其基本要素（邊）大小的特殊關系.等腰三角形的性質反映了其基本要素（角），以及相關要素(三線)之間特殊的不變關系.因為等腰三角形是反映空間對稱性最基本的平面封閉圖形，所以也用到了軸對稱的思想.

（2）內容蘊含的數學思想方法

本單元教材中用軸對稱思想研究等腰三角形的性質，即通過直觀觀察發現等腰三角形的軸對稱性，進一步發現角和“三線”的性質.在軸對稱性直觀感知經驗的支撐下想到證明性質中作輔助線的方法，在證明等腰三角形性質猜想的基礎上，進一步證明了它是軸對稱圖形.等腰三角形的判定則是尋找能推出兩邊相等的最少充分條件.類比直角三角形中兩銳角關系的研究，通過交換性質定理的題設和結論提出判定的猜想，再進行演繹推理證明猜想.在研究過程中用到了推理的思想，具體體現在類比、歸納和演繹思想上.

（3）知識的上下位關系

學生學習本單元的知識基礎有：三角形和三角形全等的判定方法，軸對稱的圖形的性質和線段垂直平分想的性質．通過對等腰三角形的學習，可以獲得幾何圖形研究的一般步驟，一般思路和一般方法，對后續進一步研究其他類型的幾何圖形具有奠基作用.

（4）內容的育人價值

在等腰三角形的性質和判定學習過程中，讓學生經歷初中幾何圖形研究的基本套路，體會幾何研究思想的一致性和方法的普適性.在應用等腰三角形性質與判定知識解決求角度和證明線段相等的過程中，經歷幾何圖形的觀察/實驗/探究/歸納/推理/證明的認識圖形的全過程，培養學生學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界．通過本單元基礎知識和基本技能的學習，讓學生積累幾何圖形學習基本經驗，掌握幾何圖形學習基本方法，發展數學核心素養.

3．教學重點

探索并證明等腰三角形的性質定理，探索并掌握等腰三角形的判定定理。二、目標與目標解析

1.單元目標

（1）了解等腰三角形的定義.

（2）探索并證明等腰三角形的性質.探索并掌握等腰三角形的判定。

（3）在經理猜想-探究-證明-歸納等腰三角形的性質和判定的過程中，體會推理的思想，具體體現在類比、歸納和演繹思想。

（4）進一步感受幾何知識內在的系統性，初步體會幾何研究的一般思路與方法，為進一步學習其他幾何圖形積累經驗.

2.目標解析

達成目標（1）的標志：能用文字語言、圖形語言、符號語言來描述等腰三角形的定義，知道等腰三角形的研究是以定義為出發點的.

達成目標（2）的標志：能根據等腰三角形的軸對稱性發現其性質，能利用全等證明這兩個性質及軸對稱性，能用文字語言和符號語言準確表述性質的含義.能交換性質定理的題設和結論提出等腰三角形的判定猜想，能利用全等證明判定猜想，能用文字語言和符號語言準確表述判定定理的含義.

達成目標（3）的標志：能根據等腰三角形的性質及其判定驚醒簡單的推理和應用。

達成目標（4）的標志：能根據等腰三角形的研究思路獨立探究等邊三角形的相關內容。三、學生學情分析

1．問題診斷

等腰三角形對于初二的學生來說，是既熟悉又陌生的。在小學就已經學習過等腰三角形的相關概念，能夠從展示的圖片中抽象出等腰三角形，回憶等腰三角形的概念，但對于它的性質卻是陌生的。通過“生產工具”這一實例引入課題，讓學生產生新鮮感和陌生感，從而激發學生的探索欲望和學習興趣。

在性質的學習過程中，學生通過折紙能直觀感受到兩底角的相等關系，但是完成證明有一定困難，主要表現在，添加輔助線的經驗不足。學生剛進入初二，才學習了全等三角形，對幾何證明有一定認識，但對于輔助線的認識是有欠缺的。例如在證明“等邊對等角”時，學生認為這個結論很自然，對為什么要作底邊上的中線感到迷茫。通過實踐，特別是對折痕作用的分析，引導學生發現輔助線的添加方法，并理解其合理性，進而完成證明。

學生由于認知經驗不足，對等腰三角形性質2的理解容易出現錯誤，需要引導學生將性質2分解為三個結論并逐一證明，以此加深學生對性質2的理解。

2．教學難點

本單元的教學難點是：等腰三角形性質證明時輔助線的添加，等腰三角形性質與判定的區別。四、教學策略分析

按照“問題解決”為線索進行教學設計。引入“生產工具”，提出問題，引導學生深入思考。通過折紙、剪紙等活動，引導學生分析問題，讓學生在層層釋疑的過程和觀念中學習新知識，體會研究幾何問題的基本策略、基本方法和基本過程，進而解決問題，應用已有知識，完成證明，得到等腰三角形的性質。最后，回到課前問題，加以解決，實現性質的應用，同時讓學生感受到數學來源于生活，強化學生的應用意識。五、課時教學設計13.3.1等腰三角形（第1課時）

（一）課時教學內容

利用軸對稱探索等腰三角形的性質（等邊對等角、三線合一），并利用全等三角形的知識進行推理論證。（二）課時教學目標

1．課時目標1．目標1）觀察歸納等腰三角形的性質，體會歸納猜想思想和研究問題的基本策略。（2）推理論證等腰三角形的性質，體會轉化、推理等研究幾何問題的基本方法。（3）會用性質解決簡單的問題。2．目標解析達成目標（1）的標志是，能從動手操作的過程中概括出性質，體會歸納猜想的基本策略。達成目標（2）的標志是，利用構建全等三角形，推理證明（等邊對等角、三線合一）。達成目標（3）的標志是，會用性質解決簡單的問題（三）課時教學重點本節課的教學重點：探索并證明等腰三角形的性質。（四）課時教學難點本節課的教學難點：性質1證明中輔助線的添加和對性質2的理解。（五）教學過程設計1.引言問題1：通過類比角的研究過程，我們研究了三角形，我們研究了關于三角形的哪些知識呢？是按怎樣的路徑展開研究的？師生活動：前兩章我們一直在研究三角形的相關知識，我們研究過它的組成要素——邊、角，以及相關要素——高、中線、角平分線之間的關系，還研究了兩個三角形的特殊關系——全等.全等三角形的研究都是從性質和判定兩個角度入手的.【設計意圖】教師引導學生回憶并歸納出研究一個幾何圖形的“一般套路”，確定研究路徑：定義、表示—性質—特例.問題2：像研究直線的特殊位置關系“垂直”和“平行”一樣，三角形也有特殊的情況需要研究，是什么呢？師生活動：對幾何對象的研究按照從一般到特殊的思路進行，引導學生將三角形特殊化，歸納出通過邊的特殊化得到等腰三角形（特例是等邊三角形），通過一個內角取特殊值得到直角三角形.接下來我們就來研究一類特殊的三角形——等腰三角形.【設計意圖】對于一類數學對象，“特殊化”是發現問題和提出問題的重要方法，以三角形研究知識發展的邏輯及現實情境為線索，確定了研究對象——等腰三角形.2.自主探究、構建新知問題3：你認為可以研究等腰三角形的哪些問題呢？按怎樣的路徑展開研究？師生活動：一起回憶幾何圖形的研究思路，等腰三角形是特殊的三角形，研究的內容是“特例”有哪些不同于“一般”的特殊性質，以及“特例”的判定；從而構建等腰三角形的研究路徑：定義—性質—判定.教師介入：“本節課我們重點學習等腰三角形的性質。”【設計意圖】通過類比構建等腰三角形的研究路徑，用相似的路徑研究不同的問題。追問：在前面的學習中我們已經學習了等腰三角形，你能說出圖中等腰三角形的腰、底邊、頂角、底角.師生活動：教師提出問題，學生回答，并互補充。【設計意圖】通過復習，使學生明確等腰三角形的相關概念。

3.操作實驗，觀察歸納問題4.探究如圖所示，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC

有什么特點？師生活動：教師引導學生進行操作，得出三角形是等腰三角形。問題5：等腰三角形的性質是研究什么內容？師生活動：師生共同歸納得出性質是從定義出發，推出等腰三角形的組成要素——邊和角的關系，以及相關要素——高、中線、角平分線之間的位置關系、大小關系.【設計意圖】“幾何要素之間確定的位置關系、大小關系就是幾何圖形的性質”這個一般觀念，對于發現和提出性質的猜想具有指導意義，使研究更具有方向性.問題6：從剪或折的過程中可以看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？由此你能得到什么結論？追問1.把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角.追問2由這些重合的線段和角，你能發現等腰三角形的性質嗎？說一說你的猜想.追問3最初各自所得三角形大小不同，形狀各異，小組比較一下，是否得出相同的結論。追問4.在練習本上任意畫一個等腰三角形，把它剪下來，折一折，上面得出的結論仍然成立嗎？

師生活動：學生按照要求折紙，然后再剪圖放圖，比較圖，小組交流，概括結論。教師依據學生討論發言的情況,歸納等腰三角形中你發現的結論:①∠B=∠C→兩個底角相等.②BD=CD→AD為底邊BC上的中線.③∠BAD=∠CAD→AD為頂角∠BAC的平分線.∠ADB=∠ADC=90°→AD為底邊BC上的高.4.分類歸納，合情猜想，問題6：結合上述觀察得出的結論，從等腰三角形“角”的角度去思考，猜想一下，等腰三角形有什么性質呢？師生活動：通過思考，得出猜想1：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成:“等邊對等角”).問題7：結合上述觀察得出的結論，從等腰三角形的“相關要素——高、中線、角平分線之間的位置關系、大小關系”的角度去思考，猜想一下，等腰三角形有什么性質呢？師生活動：通過小組活動，從位置關系得出“等腰三角形的高、中線、角平分線”重合；從大小關系得出“等腰三角形的高、中線、角平分線”相等。最后，學生在教師引導下，歸納得出“猜想2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線,底邊上的高重合(簡記為：三線合一).”【設計意圖】：讓學生通過動手操作，猜測、驗證等腰三角形的性質，加強學生的感性認識，體會由特殊到一般的數學思想。5.推理論證，演繹證明問題8、利用折紙的方法，我們發現并概括出等腰三角形的性質1和性質2．對于性質1，你能通過嚴格的邏輯推理證明這個結論嗎？（1）你能根據結論畫出圖形，寫出已知、求證嗎？（2）結合所畫的圖形，你認為證明兩個底角相等的思路是什么？（3）如何在一個等腰三角形中構造出兩個全等三角形呢？從剪圖、折紙的過程中你能獲得什么啟發？師生活動：教師引導學生分析命題的已知和求證。并結合折疊的操作過程，得到啟發，可以利用三角形全等證明這些結論，得出結論，利用三角形的底邊BC的中線構建全等形。學生口述證明過程，教師出示證明過程。追問１.我們通過折疊知道這條線既是中線，又是高線，角平分線，你能分別用這兩條輔助線來完成證明嗎？師生活動：兩名學生在黑板上用不同的方法板書，其它學生隨意選取一種證明。師指出，在不同的輔助線作法中，由輔助線帶來的條件是不同的。并給出性質1的符號語言格式，歸納等腰三角形常用的輔助線作法。并強調又多了一個證明角相等的方法。

問題8、如何證明性質2呢？師生活動：師引導學生說出性質2的3種命題形式：（1）等腰三角形的頂角平分線，既是底邊上的中線，又是底邊上的高.（2）等腰三角形的底邊上的中線,既是頂角平分線，又是底邊上的高.

(3)等腰三角形的底邊上的高，既是頂角平分線，又底邊上的中線.師生活動：讓學生對等腰三角形的底邊上的中線,既是頂角平分線，又是底邊上的高進行說理證明。

教師給出三個命題的符號語言表達形式。

追問：在等腰三角形性質的探索過程和證明過程中“折痕”“輔助線”發揮了非常重要的作用，由此，你能發現等腰三角形具有什么特征？

【設計意圖】：1規范學生的證明格式。2.體會一題多解帶來的體驗。例如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度數.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等邊對等角).設∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.師生活動：師引導學生分析，1、圖中有哪幾個等腰三角形？2、有哪些相等的角？3、∠BDC與∠A有什么關系？4、設∠A為x,則∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC=2x得出題中的數量關系。一名學生在黑板上寫過程，其他學生在練習本上完成證明。10分【設計意圖】:1.體會角平分線性質在解決實際問題中的作用，等腰三角形“等邊對等角”及“三線合一”性質，可以實現由邊到角的轉化，從而可求出相應角的度數.2.在解題過程中,體會從復雜圖形中分解出等腰三角形,用方程思想和數形結合思想解決幾何問題.4、運用等腰三角形的性質，解決簡單問題練習1、如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°,則∠B=

°2.等腰三角形的一個角是110°，它的底角的度數是（

）A．30°

B．35°

C．60°

D．85°3.等腰三角形的一個外角是100°，它的頂角的度數是（

）A．80°B．20°

C．20°或80°D．50°或80°綜合應用4．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AC=BD，求∠B的度