第一章矢量分析簡(jiǎn)要介紹矢量分析和場(chǎng)論基礎(chǔ)。散度、旋度和梯度的基本概念；算符運(yùn)算公式；散度、旋度和梯度在曲線正交坐標(biāo)系中的表示討論了矢量場(chǎng)的基本構(gòu)成及其與源的關(guān)系。球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1.1矢量代數(shù)運(yùn)算1.2場(chǎng)論-梯度、散度和旋度1.3矢量微分算子1.4矢量積分定理1.5*

并矢及其運(yùn)算規(guī)則1.6*

正交曲線坐標(biāo)系主要內(nèi)容球坐標(biāo)柱坐標(biāo)一、矢量與矢量場(chǎng)1、矢量及表示2、標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)空間某一區(qū)域定義一個(gè)矢量函數(shù),其大小和方向隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時(shí)還可隨時(shí)間變化。則稱該區(qū)域存在一矢量場(chǎng)。如速度場(chǎng),電場(chǎng)、磁場(chǎng)等.1.1矢量代數(shù)運(yùn)算標(biāo)量場(chǎng)空間某一區(qū)域定義一個(gè)標(biāo)量函數(shù),其值隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時(shí)還可隨時(shí)間變化。則稱該區(qū)域存在一標(biāo)量場(chǎng)。如溫度場(chǎng),電位場(chǎng),高度場(chǎng)等球坐標(biāo)柱坐標(biāo)二、矢量代數(shù)2.點(diǎn)乘（標(biāo)量積、投影積）--對(duì)應(yīng)分量相乘的和3.叉乘（矢量積）－行列式展開(kāi)1、矢量和球坐標(biāo)柱坐標(biāo)4、矢量代數(shù)公式（1）（2）（3）（4）球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1、直角坐標(biāo)系（x,y,z）方向單位矢量：矢量表示：位置矢量：三、常用坐標(biāo)系球坐標(biāo)柱坐標(biāo)方向單位矢量：矢量表示：位置矢量：2、圓柱坐標(biāo)系()球坐標(biāo)柱坐標(biāo)方向單位矢量：矢量表示：位置矢量：3、球面坐標(biāo)系()球坐標(biāo)柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系球面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系4、坐標(biāo)變換球坐標(biāo)柱坐標(biāo)一、標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.等值面（線）

由所有場(chǎng)值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標(biāo)量函數(shù)為，則等值面方程為：1.2場(chǎng)論——梯度、散度和旋度球坐標(biāo)柱坐標(biāo)式中：為垂直于等值面（線）的方向。3、梯度的物理意義1)、標(biāo)量場(chǎng)的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)；2)、標(biāo)量場(chǎng)的梯度表征標(biāo)量場(chǎng)變化規(guī)律：其方向?yàn)闃?biāo)量場(chǎng)增加最快的方向，其幅度表示標(biāo)量場(chǎng)的最大增加率。2、梯度的定義球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1）在直角坐標(biāo)系中：2）在柱面坐標(biāo)系中：3）在球面坐標(biāo)系中：4、直角、圓柱和球坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1、矢量線（力線）2、矢量場(chǎng)的通量

矢量線的疏密表征矢量場(chǎng)的大小；矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場(chǎng)的方向；若矢量場(chǎng)分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則定義：為矢量沿有向曲面S的通量。二、矢量場(chǎng)的通量散度球坐標(biāo)柱坐標(biāo)

矢量場(chǎng)的通量

物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的矢量通量的代數(shù)和。

討論：1）面元定義；2）

3)通過(guò)閉合面S的通量的物理意義：a)若，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；b)若，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源；c)若，閉合面無(wú)源。若S為閉合曲面球坐標(biāo)柱坐標(biāo)在場(chǎng)空間中任意點(diǎn)M處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積為，則定義場(chǎng)矢量在M點(diǎn)處的散度為：3、矢量場(chǎng)的散度的定義球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1)矢量場(chǎng)的散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性；2)矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量；3)矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；4、散度的物理意義(無(wú)源）(正源)

負(fù)源)4)矢量場(chǎng)的散度值表征空間中通量源的密度。

討論：在矢量場(chǎng)中，1）若，則該矢量場(chǎng)稱為有源場(chǎng)，為源密度；2）若處處成立，則該矢量場(chǎng)稱為無(wú)源場(chǎng)。球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1)在直角坐標(biāo)系下：5、散度的計(jì)算球坐標(biāo)柱坐標(biāo)已知矢量，求穿過(guò)一個(gè)球心在原點(diǎn)，半徑為a的球面的通量和散度。【例題1.2.1】球坐標(biāo)柱坐標(biāo)

已知求：矢量在R0處的散度。【例題1.2.2】*球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1、矢量的環(huán)流

環(huán)流的計(jì)算環(huán)流的定義：在場(chǎng)矢量空間中，取一有向閉合路徑l，則稱沿l積分的結(jié)果稱為矢量沿l的環(huán)流。即：討論：1）線元矢量的定義；3）環(huán)流意義：若矢量場(chǎng)環(huán)流為零，矢量場(chǎng)無(wú)渦漩流動(dòng)；反之，則矢量場(chǎng)存在渦漩運(yùn)動(dòng)2)反映矢量場(chǎng)漩渦源分布情況。三、矢量場(chǎng)的環(huán)流旋度球坐標(biāo)柱坐標(biāo)在場(chǎng)矢量空間中，圍繞空間某點(diǎn)M取一面元

S，其邊界曲線為C，面元法線方向?yàn)椋?dāng)面元面積無(wú)限縮小時(shí)，可定義在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)量面密度

表示矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向的漩渦源密度；M2.環(huán)流面密度球坐標(biāo)柱坐標(biāo)

旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。用表示，即：式中：表示矢量場(chǎng)旋度的方向；3.矢量場(chǎng)的旋度球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1）矢量的旋度為矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)；2）矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的漩渦源密度；4.旋度的物理意義球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1)在直角坐標(biāo)系下：5.旋度的計(jì)算球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1.3矢量微分算子一、微分算子的定義

微分算子是一個(gè)“符號(hào)”矢量，梯度散度1、直角坐標(biāo)系球坐標(biāo)柱坐標(biāo)旋度注意：算子在上述的定義與規(guī)定下可以將它看成一矢量來(lái)按照矢量代數(shù)規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，但又不能完全將它與一普通矢量等同，因?yàn)樗姆至渴俏⒎炙惴皇钦鎸?shí)矢量的分量。這樣，兩個(gè)普通矢量代數(shù)運(yùn)算的某些性質(zhì)對(duì)就不成立。從以上的過(guò)程中可以清楚地看出，算子確實(shí)把對(duì)矢量函數(shù)的微分運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)槭噶克阕优c矢量的代數(shù)運(yùn)算。例如：普通矢量有，但是，，即算子進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，除了上面的定義與規(guī)定外，還必須對(duì)包含有算子的算式做進(jìn)一步的補(bǔ)充定義。球坐標(biāo)柱坐標(biāo)2、圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)柱坐標(biāo)3、在球坐標(biāo)系球坐標(biāo)柱坐標(biāo)【例題1.3.1】

求矢量場(chǎng)沿xy平面內(nèi)一閉合回路C的線積分，此閉合回路由（0，0）和（）之間的一段拋物線和兩段平行于坐標(biāo)軸的直線段組成。再計(jì)算

的旋度。球坐標(biāo)柱坐標(biāo)【例題1.3.2】

求二維標(biāo)量場(chǎng)的梯度，并取一閉合回路C，證明球坐標(biāo)柱坐標(biāo)證明：說(shuō)明：【例題1.3.3】

若球坐標(biāo)柱坐標(biāo)二、含有算子算式證明：球坐標(biāo)柱坐標(biāo)證明：球坐標(biāo)柱坐標(biāo)三、二重算子球坐標(biāo)柱坐標(biāo)【例題1.3.4】

證明一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度必?zé)o旋，一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度必?zé)o散。球坐標(biāo)柱坐標(biāo)四、包含算子的恒等式（1）（2）（3）（4）（5）（6）球坐標(biāo)柱坐標(biāo)（7）（8）（9）（10）球坐標(biāo)柱坐標(biāo)（11）（12）（13）（14）（15）球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1.4矢量積分定理一、高斯散度定理

證明：球坐標(biāo)柱坐標(biāo)從散度定義，可以得到：則在一定體積V內(nèi)的總的通量為：式中：S為包圍

V的閉合面式中：S為包圍體積V的閉合面得證！證明球坐標(biāo)柱坐標(biāo)由旋度的定義對(duì)于有限大面積s，可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對(duì)每一小面積元有證明：＝得證！

意義：矢量場(chǎng)的旋度在曲面上的積分等于該矢量場(chǎng)在限定該曲面的閉合曲線上的線積分。二、斯托克斯定理球坐標(biāo)柱坐標(biāo)【例題1.4.1】

矢量場(chǎng)中有一半球面

計(jì)算斯托克斯定理中兩邊的積分值。球坐標(biāo)柱坐標(biāo)三、平面格林定理球坐標(biāo)柱坐標(biāo)四、標(biāo)量格林定理

(1)(2)格林第一定理

格林第二定理令：球坐標(biāo)柱坐標(biāo)證明：第一定理代入式（1）后求得又有代回前一式得球坐標(biāo)柱坐標(biāo)證明：第二定理令式（1）中的換位置，得將上式與（1）式相減，求得得證球坐標(biāo)柱坐標(biāo)六并矢格林定理五矢量格林定理球坐標(biāo)柱坐標(biāo)

七其他積分定理球坐標(biāo)柱坐標(biāo)證明(1)在高斯散度定理中令C

是常矢量

將以上二式代回高斯定理，得C提出積分號(hào)外，得C是非零常矢量，可約去，得證球坐標(biāo)柱坐標(biāo)證明(2)在高斯散度定理中令C

是常矢量

將以上二式代回式高斯定理，得C提出積分號(hào)外得C是非零常矢量，可約去，得證球坐標(biāo)柱坐標(biāo)證明(3)。

球坐標(biāo)柱坐標(biāo)（1）矢量場(chǎng)除有散和有旋特性外，是否存在別的特性？（2）是否存在不同于通量源和旋渦源的其它矢量場(chǎng)的激勵(lì)源？（3）如何唯一的確定一個(gè)矢量場(chǎng)？

現(xiàn)在我們考慮如下問(wèn)題球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1、定理內(nèi)容：空間區(qū)域V上的任意矢量場(chǎng)，如果它的散度、旋度和邊界條件為已知，則該矢量場(chǎng)唯一確定，并且可以表示為一無(wú)旋矢量場(chǎng)和一無(wú)散矢量場(chǎng)的疊加，即：其中為無(wú)散場(chǎng)，為無(wú)旋場(chǎng)。

八、矢量場(chǎng)的Helmholtz定理球坐標(biāo)柱坐標(biāo)Helmholtz定理明確回答了上述三個(gè)問(wèn)題。即任一矢量場(chǎng)由兩個(gè)部分構(gòu)成，其中一部分是無(wú)散場(chǎng)，由旋渦源激發(fā)；并且滿足：另一部分是無(wú)旋場(chǎng)，由通量源激發(fā)，滿足：球坐標(biāo)柱坐標(biāo)根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類：1)調(diào)和場(chǎng)若矢量場(chǎng)在某區(qū)域V內(nèi)，處處有：和則在該區(qū)域V內(nèi)，場(chǎng)為調(diào)和場(chǎng)。注意：不存在在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。2、矢量場(chǎng)的分類球坐標(biāo)柱坐標(biāo)

若矢量場(chǎng)在某區(qū)域V內(nèi)，處處，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場(chǎng)為有源無(wú)旋場(chǎng)。2)有源無(wú)旋場(chǎng)為保守場(chǎng)，其重要性質(zhì)為：1)為矢量場(chǎng)通量源密度；保守場(chǎng)場(chǎng)矢量沿任何閉合路徑積分結(jié)果等于零。討論：2)有源無(wú)旋場(chǎng)球坐標(biāo)柱坐標(biāo)

若矢量場(chǎng)在某區(qū)域V內(nèi)，處處，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場(chǎng)為無(wú)源有旋場(chǎng)。說(shuō)明：式中為矢量場(chǎng)漩渦源密度。3)無(wú)源有旋場(chǎng)球坐標(biāo)柱坐標(biāo)

若矢量場(chǎng)在某區(qū)域V內(nèi)，在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有則在該區(qū)域V內(nèi)，場(chǎng)為有源有旋場(chǎng)。

有源