第22章一元二次方程22.2

一元二次方程的解法第1課時

直接開平方法和因式分解法華師版數學九年級上冊一元二次方程的一般式是怎樣的？你知道求一元二次方程的解的方法有哪些嗎？（a≠0）回顧與思考解：所以方程

x2

=9

有兩個根，x1

=

3，

x2

=

-3.直接開平方解方程例

解方程x2

=9.

一般地，對于形如

x2

=

a

(a≥0)

的方程，根據平方根的定義，可解得，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.知識回顧2.用直接開平方法解下列方程：(1)3x2－27

=

0；(2)(2x－3)2

=9.1.方程的根是方程

的根是方程的根是

x1

＝

0.5，x2

＝

－0.5x1

＝

3，x2

＝

－3x1

＝

2，x2

＝

－1練一練x1＝3，x2＝－3x1＝0，x2＝3因式分解：

把一個多項式化成幾個整式的積的形式.在學習因式分解時，我們知道，可以利用因式分解求出某些一元二次方程的解.用因式分解法解一元二次方程問題

什么是因式分解？問題引導

例解下列方程：（1）x2－3x＝0；(2)25x2＝16解：（1）將原方程的左邊分解因式，得x(x-3)＝0；

則

x=0，或

x-3=0，解得

x1

=0，x2

=3.（2）將方程右邊常數項移到左邊，再根據平方差公式因式分解，得

x1

=0.8，x2

=-0.8.像上面這種利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.典例精析若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；將方程的左邊分解因式；根據若

A·B=0，則

A=0或

B=0，將解一元二次方程轉化為解兩個一元一次方程.因式分解法的基本步驟是：解：方程的兩邊同時除以

x，得

x=1.故原方程的解為

x=1.這樣解是否正確呢？交流討論：不正確，方程兩邊同時除以的數不能為零，還有一個解為

x=0.x2

=x1.填空：（1）方程

x2

+

x

=

0

的根是_________________；（2）x2

-

25

=

0

的根是________________.x1

=

0，

x2

=

-1x1

=

5，x2

=

-5練一練2.解方程：x2

-

5x

+

6

=

0

解:把方程左邊分解因式，得 (x-2)(x-3)=0

因此

x-2=0或

x-3=0. ∴x1

=2，x2

=3.1.用因式分解法解下列方程：(1)4x2

=12x； (2)(x

-

2)(2x

-

3)

=

6；(3)x2

+

9

=

-6x； (4)9x2

=

(x

-

1)2.解:(1)移項得4x2

-12x=0，即

x2

-3x=0，x(x

-3)=0，得

x1=0，x2=3；(2)原方程可以變形為2x2

-7x=0，分解因式為

x(2x

-7)=0，解得

x1=0，x2=3.5；(3)原方程可以變形為(x+3)2=0，解得

x=-3；(4)移項得

9x2

-

(x

-

1)2

=

0，變形得(3x

-

x

+

1)(3x

+

x

-

1)

=

0，解得

x1

=

-0.5，x2

=

0.25.

解方程：(x+4)(x-1)=6.解:把原方程化為一般形式，得

x2

+

3x

-

10

=

0

把方程左邊分解因式，得

(x-2)(x+5)=0

因此

x-2=0或

x+5=0.∴x1

=2，x2

=-5解：(1)化簡方程，得3x2－17x=0.將方程的左邊分解因式，得x(3x－17)=0，∴x=0或3x－17=0.解得x1

=0，x2

=解下列一元二次方程：（1）(x－5)(3x－2)=10；(2)(3x－4)2=(4x－3)2.(2)(3x－4)2

=(4x－3)2.(2)移項，得(3x－4)2－(4x－3)2

=0.將方程的左邊分解因式，得[(3x－4)+(4x－3)][(3x－4)－(4x－3)]=0，

即(7x－7)(－x－1)=0.∴7x－7=0或

－x－1=0.∴x1

=1，

x2

=－1.注意：當方程的一邊為0時，另一邊容易分解成兩個一次因式的積時，則用因式分解法解方程比較方便.因式分解法解一元二次方程的基本步驟（1）將方程變形，使方程的右邊為零；（2）將方程的左邊因式分解；（3）根據若

A·B=0，則

A=0或

B=0，將解一元二次方程轉化為解兩個一元一次方程.第22章一元二次方程22.2

一元二次方程的解法第2課時

配方法華師版數學九年級上冊讀詩詞解題：(通過列方程，算出周瑜去世時的年齡)

大江東去浪淘盡，千古風流數人物.而立之年督東吳，早逝英年兩位數.

十位恰小個位三，個位平方與壽符.哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？解：設個位數字為

x，則十位數字為

x-3

x2

-

11x

+

30

=

0x2

=10(x-3)+x思考這種方程怎樣解？變形為的形式．（a

為非負常數）變形為x2－4x＋1＝0(x－2)2

=3用配方法解一元二次方程像這種通過方程的簡單變形，將左邊配成一個含有未知數的完全平方式，右邊是一個非負常數，從而可以直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法.(1)x2＋8x＋

=(x＋4)2(2)x2－4x＋

=(x－

)2(3)x2－___x＋9=(x－

)2配方時，等式兩邊同時加上的是一次項系數一半的平方166342例用配方法解下列方程:(1)

x2

-4x

-

1

=

0；(2)

2x2

-

3x

-

1

=

0.典例精析用配方法解一元二次方程的步驟：移項：把常數項移到方程的右邊；配方：方程兩邊都加上一次項系數一半的平方；開方：根據平方根意義,方程兩邊開平方；求解：解一元一次方程；定解：寫出原方程的解.(1)x2＋12x=－9；

(2)－x2＋4x－3=01.用配方法解下列方程：解：(1)兩邊同時加上36，得

x2＋12x＋36

=－9＋36，配方得(x＋6)2

=27，解得

(2)原方程可變形為

x2－4x＋3=0，

配方得(x－1)(x－3)=0，解得

x1

=1，x2

=

3.2.用配方法說明：不論

k取何實數，多項式

k2－3k＋5的值必定大于零.解：k2－3k＋5=(k－)2＋

，∵(k－)2≥0，∴k2－3k＋5＞0.3.先用配方法解下列方程：（1）x2－2x－1＝0；（2）x2－2x＋4＝0；

（3）x2－2x＋1＝0；

然后回答下列問題：（4）你在求解過程中遇到什么問題？你是怎樣處理所遇到的問題的？（5）對于形如

x2＋px＋q＝0這樣的方程，在什么條件下才有實數根？解：(1)左右兩邊同時加2，得

x2-2x+1=2，配方得

(x

-

1)2

=2，解得（2）左右兩邊同時減去3，得

x2-2x+1=-3，配方得(x

-1)2=-3，很明顯此方程無解；（3）原方程配方得(x

-1)2=0，解得

x=1；

（4）略；（5）

1.一般地，對于形如

x2

=a(a≥0)的方程，根據平方根的定義，可解得

，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.

2.像這種先對原一元二次方程配方，使它出現完全平方式后，再用直接開平方法求解的方法叫做配方法.

注意：配方時，等式兩邊同時加上的是一次項系數一半的平方.第22章一元二次方程22.2

一元二次方程的解法第3課時

公式法華師版數學九年級上冊1.

化1：把二次項系數化為

1；2.

移項：把常數項移到方程的右邊；3.

配方：

方程兩邊同加一次項系數一半的平方；4.

變形：化成

(x

+

m)2

=a(a≥0)；5.

開平方，求解.“配方法”解方程的基本步驟：回顧與思考解：兩邊同時除以2，得

x2

+

6x

-

1

=

0，

兩邊同時加上

10，得

x2

+

6x

+

9

=

10，

配方得

(x

+

3)2

=

10，

解得用配方法解下面這個一元二次方程：你還會其他的解法嗎？一起用配方法解下面這個一元二次方程吧并模仿解一解一般形式的一元二次方程一元二次方程的求根公式(a≠0)兩邊同除以

a移項兩邊同時加上整理開方解得步驟

一般地，對于一元二次方程

如果，那么方程的兩個根為這個公式叫做一元二次方程的求根公式；將一元二次方程中系數的值，直接代入這個公式，就可以求得方程的根.這種解一元二次方程的方法叫做公式法.知識要點用公式法解下列一元二次方程：解：（1）用公式法解一元二次方程用公式法解下列一元二次方程：解：將原方程化為一般形式，得運用公式法解一元二次方程的步驟：（1）把方程化為一般形式，確定

a、b、c的值；（2）求出的值；（3）若，把

a、b、c及的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若，此時方程無實數解.1.

用公式法解下列一元二次方程：解:（1）原方程即為，練一練解方程：.（精確到0.001）解：用計算器求得：2.用公式法解一元二次方程：解：去括號，得，化簡，得，即1.用公式法解方程，得到（）AA.C.D.B.2.

用公式法解下列方程：解：3.選擇恰當的方法解下列方程：解：當

x=0時，原方程成立；當

x≠0時，兩邊同時除以

x，得

2x-7=2，解得

x=4.5.

綜上原方程的解為

x1=0，x2=4.5.4.關于

x的一元二次方程

當

a，b，c

滿足什么條件時，方程的兩根為互為相反數？解：由題意可設該二元一次方程的兩根分別為

k，-k，

由求根公式得

一般地，對于一元二次方程

如果，那么方程的兩個根為這個公式叫做一元二次方程的求根公式；這種解一元二次方程的方法叫做公式法.運用公式法解一元二次方程的步驟：（1）把方程化為一般形式，確定

a、b、c的值；（2）求出的值；（3）若，把

a、b、c及的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若，此時方程無實數解.第22章

一元二次方程22.2

一元二次方程的解法第4課時

一元二次方程根的判別式華師版數學九年級上冊1.了解一元二次方程根的判別式；（重點）2.會判斷一元二次方程根的情況；(難點)3.掌握一元二次方程根的判別式的應用.（難點）學習目標1）把方程化為一般形式確定

a，b，c的值用公式法求下列方程的根：觀察與思考導入新課2）計算

的值用公式法解一元二次方程的一般步驟:3）代入求根公式

計算方程的根溫故而知新

一般地，對于一元二次方程

如果，那么方程的兩個根為配方法如何把一元二次方程

寫成(x+

h)2

=k的形式？一元二次方程根的判別式問題引導講授新課當

時，方程的右邊是一個正數，方程有兩個不相等的實數根：當

時，方程的右邊是0，方程有兩個相等的實數根：當

時，方程的右邊是一個負數，因為在實數范圍內，負數沒有平方根，方程沒有實數根：思考：究竟是誰決定了一元二次方程根的情況?3.當方程沒有實數根時，有

.

1.當方程有兩個不相等的實數根時，有

；2.當方程有兩個相等的實數根時，有

；反過來，對于一元二次程：我們把

叫做一元二次方程的根的判別式，用符號“Δ”來表示.反之，同樣成立！當

Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當

Δ

=

0時，方程有兩個相等的實數根；當

Δ＜0時，方程沒有實數根.即一元二次方程

ax2

+bx+c=0(a≠0)，例

下列一元二次方程根的個數：方程有兩個不相等的根.方程有兩個相等的根.方程沒有實數根.典例精析按要求完成下列表格：Δ的值根的情況有兩個相等的實數根沒有實數根有兩個不相等的實數根方程判別式

與根練一練0=0-15<017>0一般步驟：3.判別根的情況，得出結論.2.計算

Δ的值，確定

Δ的符號.不解方程，判別下列方程根的情況.1.化為一般式，確定的值.有兩個不相等的實數根有兩個相等的實數根沒有實數根當堂練習不解方程，判別關于

x

的方程的根的情況.分析：系數含有字母的方程不解方程，判別關于

x的方程的根的情況.解：故該方程有兩個不相等的實數根.反之，同樣成立！當

Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當

Δ

=

0時，方程有兩個相等的實數根；當

Δ＜0時，方程沒有實數根.對于一元二次方程

ax2

+bx+c=0(a≠0)，課堂小結第22章一元二次方程22.2

一元二次方程的解法第5課時

一元二次方程的根與系數的關系華師版數學九年級上冊2.求根公式是什么？根的個數怎么確定的？1.一元二次方程的解法有哪些，步驟呢？知識回顧

方程

x1

x2

x1

+x2

x1?x2

x2

-3x+2=0x2

-

2x

-

3

=

0x2

-

5x

+

4

=

0問題：你發現這些一元二次方程的兩根

x1+x2，x1?x2

與對應的一元二次方程的系數有什么關系？2

132

-

1

3

2

-

31

4

54一元二次方程的根與系數的關系方程

-

2x1

+x2，x1?x2與對應的一元二次方程的系數有什么關系？猜想：當二次項系數為1時，方程x2

+

px

+

q

=

0

的兩根為x1，

x2.9x2

-6x

+

1

=

03x2

-

4x

-

1=03x2

+7x

+

2

=

0

如果

ax2+bx+c=0(a、b、c是常數，a≠0)的兩個根為

x1，x2，則 b2-4ac≥0.由二次項系數為1的一元二次方程根與系數的關系，可得猜想解：任何一個一元二次方程的根與系數的關系：如果方程

ax2

+

bx

+

c

=

0

(a

≠

0)

的兩個根是

x1，x2，那么（韋達定理）注：能用