6.2

反比例函數的圖象與性質第六章反比例函數第1課時反比例函數的圖象1．什么是反比例函數？2．反比例函數的定義中需要注意什么？（1）k

是非零常數.（2）xy=k．一般地，形如y=(k是常數，k≠0)的函數叫做反比例函數．kx—3．還記得正比例函數的圖像與性質嗎？回顧與思考函數正比例函數表達式圖象形狀k>0k<0位置增減性位置增減性y=kx(k是常數，k≠0）直線（經過原點）一、三象限從左到右上升y隨

x的增大而增大二、四象限

從左到右下降y隨

x的增大而減小反比例函數？4.如何畫函數的圖象？函數圖象畫法描點法列表描點連線想一想：

正比例函數y=kx(k≠0)的圖像的位置和增減性是由誰決定的？我們是如何探究得到的？反比例函數的圖像與性質又如何呢？反比例函數的圖象問題：如何畫反比例函數的圖象？列表描點連線解：列表如下應注意1.自變量

x

需要取多少值?為什么?2.取值時要注意什么?x-8-4-3-2-112348y-1-2-4-88421描點、連線：x-8

–7

–6

–5

–4

–3

-2

-1

O

1

2

34

5

6

7

8y-1-2-3-4-5-6-7-887654321●●●●●●●●●●●●想一想：你認為作反比例函數圖象時應注意哪些問題?1.列表時，自變量的值可以選取一些互為相反數的值這樣既可簡化計算，又便于對稱性描點；2.列表描點時，要盡量多取一些數值，多描一些點，這樣既可以方便連線，又較準確地表達函數的變化趨勢；3.連線時，一定要養成按自變量從小到大的順序，

依次用光滑的曲線順次連接各點，從中體會函數的增減性；……注意要點請大家用同樣的方法作反比例函數

的圖象.解析：通過剛剛的學習可知畫圖象的三個步驟為列表描點連線需要注意的是在反比例函數中自變量

x不能為

0．解：列表如下x…-6-5-4-3-2-1123456…y…0.8124-4-2-1-0.8…描點：以表中各組對應值作為點的坐標，在直角坐標系內描繪出相應的點．連線：用光滑的曲線順次連接各點，即可得

的圖象．123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-4-6-556yxy=

x4O問題：觀察前面繪制出來的圖象，想一想它們有什么樣的共同點與特征呢？xyxy雙曲線

是軸對稱圖形，也是以原點為對稱中心的中心對稱圖形．OO相同點：1.兩支曲線構成；

2.與坐標軸不相交；3.圖象自身關于原點成中心對稱；4.圖象自身是軸對稱圖形。不同點：

的圖象在第一、三象限；

的圖象在第二、四象限。歸納總結

形狀：反比例函數

的圖象由兩支曲線組成，因此稱反比例函數

的圖象為雙曲線.

位置：由

k

決定：

當k>0時，兩支曲線分別位于_______________內；當k<0時，兩支曲線分別位于_______________內.第一、三象限第二、四象限1.

反比例函數

的圖象大致是()CyA.xyoB.xoD.xyoC.xyo練一練例1：若雙曲線y=的兩個分支分別在第二、四象限，則k的取值范圍是()A.k＞ B.k＜C.k= D.不存在解析：反比例函數圖象的兩個分支分別在第二、四象限，則必有2k-1＜0，解得k＜

.故選B.B典例精析例2:如圖所示的曲線是函數(m為常數)圖象的一支．(1)求常數

m的取值范圍；解：由題意可得，m－5＞0，解得m＞5.xyO(2)若該函數的圖象與正比例函數

y＝2x的圖象在第一象限的交點為

A(2，n)，求點

A的坐標及反比例函數的表達式．解：∵兩個函數的交點為A(2，n)，

∴，

解得

.

∴點

A

的坐標為(2，4)；反比例函數的表達式為

.

xyO

１．已知反比例函數的圖象在第一、三象限內，則m的取值范圍是________2.下列函數中，其圖象位于第一、三象限的有

_____________；

圖象位于二、四象限的有___________.(1)(2)(3)(4)3.如圖，已知直線y=mx與雙曲線的一個交點坐標為(-1，3)，則它們的另一個交點坐標是()A.(1，3)B.(3，1)C.(1，-3)D.(-1，3)xyCO4.已知反比例函數

的圖象經過點A(2，3)．(1)求這個函數的表達式；解：∵反比例函數

的圖象經過點A(2，3)，∴把點A的坐標代入表達式，得，

解得k=

6.∴這個函數的表達式為.

(2)判斷點B(－1，6)，C(3，2)是否在這個函數的圖象上，并說明理由；解：分別把點B，C的坐標代入反比例函數的表達式，因為點B的坐標不滿足該表達式，點C

的坐標滿足該表達式，所以點B不在該函數的圖象上，點C在該函數的圖象上．反比例函數的圖象形狀雙曲線位置畫法當k＞0時，兩支曲線分別位于第一、三象限內當k＜0時，兩支曲線分別位于第二、四象限內描點法：列表、描點、連線6.2

反比例函數的圖象與性質第六章反比例函數第2課時反比例函數的性質

反比例函數的圖象是什么？反比例函數的性質是什么？能類比前面學習的一次函數得到嗎？反比例函數的圖象是雙曲線復習引入問題1

問題2

反比例函數的圖象和性質合作探究例1

畫反比例函數與的圖象.提示：畫函數的圖象步驟一般為：列表→描點→連線.需要注意的是在反比例函數中自變量x不能為0.解：列表如下：x…-6-5-4-3-2-1123456……………-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21-2-2.4-3-4-66432.42-1212-1-5-4-6O-2x123456-356y4321-1-2-3-4-5-6描點：以表中各組對應值作為點的坐標，在直角坐標系內描繪出相應的點．連線：用光滑的曲線順次連接各點，即可得函數與的圖象.觀察這兩個函數圖象，回答下列問題：思考：(1)每個函數圖象分別位于哪些象限？(2)在每一個象限內，隨著

x的增大，y如何變化？你能由它們的表達式說明原因嗎？(3)對于反比例函數(k＞0)，

考慮問題(1)(2)，你能得出同樣的結論嗎？●由兩條曲線組成，且分別位于第一、三象限它們與x軸、y軸都不相交；●在每個象限內，y隨x的增大而減小.反比例函數(k＞0)的圖象和性質：知識要點觀察與思考

當k=－2，－4，－6時，反比例函數的圖象有哪些共同特征？回顧上面我們利用函數圖象，從特殊到一般研究反比例函數(k＞0)的性質的過程，你能用類似的方法研究反比例函數

(k＜0)的圖象和性質嗎？yxOyxOyxO反比例函數(k＜0)的圖象和性質：●由兩條曲線組成，且分別位于第二、四象限它們與

x軸、y軸都不相交；●在每個象限內，y隨

x的增大而增大.歸納：

(1)當k＞0時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減小；(2)當k＜0時，雙曲線的兩支分別位于第二、四

象限，在每一象限內，y隨x的增大而增大.

一般地，反比例函數(k≠0)的圖象是雙曲線，它具有以下性質：

k的正負決定反比例函數圖象的位置和增減性

點(2，y1)和(3，y2)均在函數

的圖象上，則

y1

y2(填“＞”“＜”或“=”).＜練一練例2

已知反比例函數，y隨x的增大而增大，求

a的值.解：由題意得a2+a－7=－1，且a－1<0．解得a=－3.反比例函數的圖象和性質的初步運用練一練

已知反比例函數在每個象限內，y隨著x的增大而減小，求m的值．解：由題意得m2－10=－1，且3m－8＞0．解得m=3.例3

已知反比例函數的圖象經過點A(2，6).(1)這個函數的圖象位于哪些象限？y隨x的增大如何變化？解：因為點A(2，6)在第一象限，所以這個函數的圖象位于第一、三象限；在每一個象限內，y隨x的增大而減小.(2)點B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在這個函數的圖象上？解：設這個反比例函數的表達式為，因為點

A(2，6)在其圖象上，所以有，解得k=12.

因為點B，C的坐標都滿足該表達式，而點D的坐標不滿足，所以點B，C在這個函數的圖象上，點D

不在這個函數的圖象上.所以反比例函數的表達式為.(1)圖象的另一支位于哪個象限？常數m的取值范圍是什么？Oxy例4

如圖，是反比例函數圖象的一支.根據圖象，回答下列問題：解：因為這個反比例函數圖象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.由因為這個函數圖象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.(2)在這個函數圖象的某一支上任取點A(x1，y1)和點B(x2，y2).如果x1＞x2，那么y1和y2有怎樣的大小關系？解：因為m－5＞0，所以在這個函數圖象的任一支上，y都隨x的增大而減小，因此當x1＞x2時，

y1＜y2.5.已知反比例函數

的圖象經過點A(2，3)．(1)求這個函數的表達式；解：∵反比例函數

的圖象經過點A(2，3)，∴把點A的坐標代入表達式，得，

解得k=

6.∴這個函數的表達式為.

(2)判斷點B(－1，6)，C(3，2)是否在這個函數的圖象上，并說明理由；解：分別把點B，C的坐標代入反比例函數的表達式，因為點B的坐標不滿足該表達式，點C

的坐標滿足該表達式，所以點B不在該函數的圖象上，點C在該函數的圖象上．

(3)當－3<x<－1時，求y的取值范圍．解：∵當x=－3時，y=－2；當x=－1時，y=－6，且k>0，∴當x<0時，y隨x的增大而減小，∴當－3<x<－1時，－6<y<－2.1.在反比例函數的圖象上分別取點

P，Q向x軸、y軸作垂線，圍成面積分別為

S1，S2

的矩形，并填寫下頁表格：合作探究反比例函數表達式中k的幾何意義51234-15xyOPS1

S2P(2，2)，Q(4，1)S1的值S2的值S1與S2的關系猜想S1，S2與k的關系44S1

=S2S1=S2=k-5-4-3-21432-3-2-4-5-1QS1

的值S2

的值S1與

S2的關系猜想

S1，S2與k的關系P(－1，4)，Q(－2，2)2.

若在反比例函數的圖象

上也用同樣的方法取

P，Q兩點，并分別向兩坐標軸引垂線，

圍成面積為

S1，S2

的矩形，填寫表格：44S1=S2S1=S2=-kyxOPQS1

S2由前面的探究過程，可以猜想：

若點

P是反比例函數(k≠0)圖象上的任意一點，作PA⊥x軸于點

A，PB⊥y軸于點

B，點

O

為坐標原點，則矩形AOBP的面積與

k的關系是

S矩形AOBP=|k|.自己嘗試證明

k>0的情況.yxOPS我們就k＜0的情況給出證明：設點P的坐標為(a，b).AB∵點P(a，b)在函數的圖象上，∴，即ab=k.∴S矩形AOBP=

PB·PA=-a·b=-ab=

-k.若點P

在第二象限，則a＜0，b＞0.若點P在第四象限，則a＞0，b＜0.∴S矩形AOBP=

PB·PA=a·(-b)=

-ab=

-k.BPA綜上可知，S矩形AOBP=|k|.k＞0的情況請同學們自行證明！點Q是其圖象上的任意一點，作QA⊥y軸于點

A，作QB⊥x軸于點

B，則矩形

AOBQ的面積與k的關系是

S矩形AOBQ

=

.推論：△QAO

與△QBO

的面積和k的關系是

S△QAO

=

S△QBO

=.對于反比例函數

(k≠0)，AB|k|yxO歸納：反比例函數的面積不變性QA，B，C，過這三點分別向x軸、y軸作垂線，過每一點所作的兩條垂線與

x

軸、y

軸圍成的矩形的面積分別為

SA，SB，SC，則()A.SA＞SB＞SC

B.SA＜SB＜SCC.SA=

SB

=

SC

D.SA＜SC＜SB1.如圖，在函數(x＞0)

的圖象上有三點

yxOABCC練一練2.如圖，過反比例函數圖象上的一點P，作PA⊥x軸于

A.若△POA的面積為6，則k=

.-12提示：當反比例函數圖象在第二、四象限時，注意k＜0.yxOPA3.

若點P是反比例函數圖象上的一點，過點P分別向

x軸、y軸作垂線，垂足分別為點M，N，若四邊形

PMON的面積為3，則這個反比例函數的關系式是

.或的任意兩點，過P作x軸的垂線PA，垂足為A，過點C作x軸的垂線CD，垂足為D，連接OC交PA于點E.設△POA的面積為S1，則S1

=

；梯形

CEAD

的面積為S2，則S1與S2的大小關系是S1

S2；△POE的面積S3和S2的大小關系是

S3

S2.例5

如圖，P，C

是函數(x＞0)圖象上典例精析2S1S2＞＝S3如圖所示，直線與雙曲線交于A，B兩點，P練一練解析：由反比例函數面積的不變性易知S1=S2.PE與雙曲線的一支交于點F，連接OF，易知

S△OFE

=S1=S2，而S3＞S△OFE，所以S1，S2，S3的大小關系為

S1=S2＜

S3FS1S2S3是

AB上的點，△AOC的面積S1，△BOD的面積S2，△POE的面積S3的大小關系為

.S1=S2＜S3例6

如圖，點A是反比例函數(x＞0)

圖象上的任意一點，AB∥x軸交反比例函數(x＜0)的圖象于點B，以AB為邊作平行四邊形ABCD，其中點C，D在x軸上，則S平行四邊形ABCD=___.yDBACx325

如圖所示，在平面直角坐標系中，過點

M的直線與x軸平行，且直線分別與反比例函數(x＞0)和(x＜0)的圖象交于點P，Q，若△POQ的面積為8，則k=______.QPOxMy－10練一練例7

如圖所示，點A(x1，y1)，B(x2，y2)都在雙曲線上，且x2－x1=4，y1－y2=2.分別過點A，B向x軸、y軸作垂線，垂足分別為C，D，E，F，AC與BF相交于G點，四邊形FOCG的面積為2，五邊形AEODB的面積為14，那么雙曲線的表達式為

.解得k=6.∴雙曲線的表達式為.解析：∵x2－x1=4，y1－y2=2，∴BG=4，AG=2，∴S△ABG=4×2÷2=4.由反比例函數面積的不變性可知，S長方形ACOE=S長方形BDOF=k.∴S五邊形AEODB

=

S四邊形ACOE+S四邊形BDOF－S四邊形FOCG+S△ABG=k+k－2+4=14.解析：作AE⊥y軸于點E，BF⊥x

軸于點F.∵P

是AC的中點，∴S四邊形OCPD=S四邊形ACOE=S四邊形BDOF

=k，

如圖，已知點A，B在雙曲線上，AC⊥x軸于點

C，BD⊥y軸于點D，AC與BD交于點P，P是AC的中點，若△ABP的面積為

6，則k=

.24練一練EFS△ABP=S四邊形BFCP，=(S四邊形BDOF－S四邊形OCPD)=(k－k)=k=6.∴k=24.1.已知反比例函數的圖象在第一、三象限內，

則

m的取值范圍是________.2.

下列關于反比例函數