中學數(shù)學教學案例設(shè)計匯編19、正弦定理(2)“外接圓法”、"向量法"等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并(一)結(jié)合實例，激發(fā)動機老師：展示情景圖如圖1,船從港口B航行到港口C,測得BC的距離為600m,船在港口C卸貨后接著向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，假如船上有測角儀我們能否計算出A、B的距離?學生：思索提出測量角A,C算A、B兩地距離，你(圖1)有方法解決嗎?學生：思索溝通，畫一個三角形ABC',使得BC為6cm,∠BA'C'=75°,∠A'CB=45°,量得A'B'距離約為4.9cm,利用三角形相像性質(zhì)可知AB約為老師：對，很好，在初中，我們學過相像三角形，也學過解直角三角形，大家還記得嗎?師生：共同回憶解直角三角形，①直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊與兩個角。②直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊與第三個角。學生：思索，溝通，得出過A作AD⊥BC于D如圖2,把△ABC分為兩個直角三角形，解題過程，學生闡述，老師板書。解：過A作AD⊥BC于D(圖2)(圖2)老師：表示對學生贊許，則剛才解決問題的過程中，若AC=b,AB=c,能老師：引導(dǎo)學生再視察剛才解題過程。老師：引導(dǎo)，在剛才的推理過程中，你能想到什么?你能發(fā)覺什么?學生：發(fā)覺即然有,則也有,0老師：引導(dǎo),我們習慣寫成對稱形式,,,因此我們可以發(fā)覺?是否隨意三角形都有這種邊角關(guān)系呢?設(shè)計意圖：愛好是最好的老師。假如一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著勝利的一半。因此，我通過從學生日常生活中的實際問題引入，激發(fā)學生思維，激發(fā)學生的求知欲，引導(dǎo)學生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個揣測性的結(jié)論——猜想，培育學生從特殊到一般思想意識，培育學生創(chuàng)建性思維實力。(二)數(shù)學試驗，驗證猜想老師：給學生指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗(1)在△ABC中，∠A,∠B,∠C分別為60°,60°,60°,對應(yīng)的邊長a:b:c為1:1:1,對應(yīng)角的正弦值分別為,引導(dǎo)學生考察,的關(guān)系。(學生回答它們相等)應(yīng)的邊長a:b:c為1:1:√2,對應(yīng)角的正弦值分別為,,1;(學生回答它們相等)應(yīng)的邊長a:b:c為1:√3:2,對應(yīng)角的正弦值分別為,1。(學生回答它們相等)(圖3)學生：思索溝通得出，如圖4,在Rt△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,)則有)從而在直角三角形ABC中，老師：則隨意三角形是否有呢?學生按事先支配分組，出示試驗報告單，讓學生閱讀試驗報告單，質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎?(假如學生沒有問題，老師讓學生動手計算，附試驗報告單。)學生：分組互動，每組畫一個三角形，度量出三邊和三個角度數(shù)值，通過試驗數(shù)據(jù)計算，比較的近似值。老師：借助多媒體演示隨著三角形隨意變換，V值仍舊保持相等。設(shè)計意圖：讓學生體驗數(shù)學試驗，激起學生的新奇心和求知欲望。學生自己進行試驗，體會到數(shù)學試驗的歸納和演繹推理的兩個側(cè)面。(三)證明猜想，得出定理師生活動：老師：我們雖然經(jīng)驗了數(shù)學試驗，多媒體技術(shù)支持，對隨意的三角形，如何用數(shù)學的思想方法證明呢?前面探究過程對我們有沒有啟發(fā)?學生分組探討，每組派一個代表總結(jié)。(以下證明過程，依據(jù)學生回答狀況進行敘述)學生：思索得出①在Rr△ABC中，成立，如前面檢驗。②在銳角三角形中，如圖5設(shè)BC=a,CA=b,AB=c(圖5)(圖5)③在鈍角三角形中，如圖6設(shè)∠C為鈍角，BC=a,CA=b,AB=c作AD⊥BC交BC的延長線于D同銳角三角形證明可知老師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即還有其它證明方法嗎?學生：思索得出，分析圖形(圖7),對于隨意△ABC,由初中所學過的面積公中均除以后可老師邊分析邊引導(dǎo)學生，同時板書證明過程。(圖7)在剛才的證明過程中大家是否發(fā)覺三角形高AE=c●sin∠ABC=a●sin∠ABC,三角形的面積：,能否得到新面積公式得到三角形面積公式老師：大家還有其他的證明方法嗎?比如：都等于同一個比值k,則它們也相等，這個k究竟有沒有什么特殊幾何意義呢?,c恰為外接接圓的直徑，c=k=2R,所以作△ABC的外接圓o,o為圓心，接BO并延長交圓O于B',把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。證明：連續(xù)BO并延長交圓于B'老師：從剛才的證明過程中，,顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑2R,我們通過“作高法”、"等積法"、"外接圓法"等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他學問來證明正弦定理?比如，在向量中，我也學過a·b=·H·cos0,這與邊的長度和三角函數(shù)值有較為親密的聯(lián)系，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢?學生：思索(聯(lián)系作高的思想)得出：在銳角三角形△ABC中，AB+BC=AC,作單位向量j垂直于AC,同理：∴對于鈍角三角形，直角三角形的狀況作簡潔交代。老師：由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有愛好的同學回家再探究。設(shè)計意圖：經(jīng)驗證明猜想的過程，進一步引導(dǎo)啟發(fā)學生利用已有的數(shù)學學問論證猜想，力圖讓學生體驗數(shù)學的學習過程。(四)利用定理，解決引例師生活動：老師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。學生：立刻得出(五)了解解三角形概念設(shè)計意圖：讓學生了解解三角形概念，形成學問的完整性老師：一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角設(shè)計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學生體會用新的學問，新的定理，解決問題更便利，更簡潔，激發(fā)學生不斷探究新學問的欲望。(六)運用定理，解決例題師生活動：老師：引導(dǎo)學生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。學生：探討正弦定理可以解決的問題類型：①假如已知三角形的隨意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，②假如已知三角形隨意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如師生：例1的處理，先讓學生思索回答解題思路，老師板書，讓學生思索主要是突出主體，老師板書的目的是規(guī)范解題步驟。例1:在△ABC中，已知A=30°,B=45°,a=6cm,解三角形。分析“已知三角形中兩角與一邊，求其他元素”,第一步可由三角形內(nèi)角和為180°求出第三個角∠C,再由正弦定理求其他兩邊。例2:在△ABC中，已知a=2√2,b=2√3,A=45°,解三角形。例2的處理，目的是讓學生駕馭分類探討的數(shù)學思想，可先讓中等學生講解解題思路，其他同學補充溝通學生：反饋練習(教科書第5頁的練習)用實物投影儀展示學生中解題步驟規(guī)范的解答。設(shè)計意圖：自己解決問題，提高學生學習的熱忱和動力，使學生體驗到勝利的愉悅感，變“要我學"為“我要學","我要探討”的主動學習。(七)嘗試小結(jié)：老師：提示引導(dǎo)學生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。學生：思索溝通，歸納總結(jié)。師生：讓學生嘗試小結(jié)，老師與時補充，要體現(xiàn)：(1)正弦定理的內(nèi)容與其證明思想方法。(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角與一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。(3)分類探討的數(shù)學思想。(八)作業(yè)設(shè)計作業(yè)：第10頁[習題1.1]A組第1、2題。思索題：例2:在△ABC中，已知a=2√2,b=2√3,A=45°,解三角形。例2與應(yīng)用(相關(guān))中學習，在"主動"中發(fā)展，在"合作"中增知，在"探究"中創(chuàng)新。的兩個側(cè)面。3、證明猜想，得出定理引導(dǎo)啟發(fā)學生從角度進行證明定理，展示自己的學問，培育學生解決問題的實力，增加學習的愛好，愛好，在學問的形成、發(fā)展過程中綻開思維，培育推理的意識。附一：試驗?zāi)康奶接懭切沃懈鬟吅退鼘堑恼抑档谋?是否相等。計算器，直尺，量角器，硬紙板(由老師統(tǒng)一發(fā))畫一個隨意三角形，量取三邊和三個角的值，并計算。試驗內(nèi)容二AbC(精確到小數(shù)點后兩位)福安一中陳楨仔林旭點評：本節(jié)定理教學課，老師把重點放在定理的發(fā)覺與證明上，符合新課標重視生發(fā)覺"三角形三邊與其對應(yīng)角的正弦值的比相等"的規(guī)律；通過對特殊三角20、正弦定理(3)"正弦定理"是《一般中學課程標準數(shù)學教科書·數(shù)學(必修5)》(人教有廣泛的應(yīng)用價值。為什么要探討正弦定理?正弦定理是怎樣發(fā)覺的?其證明方法是怎樣想到的?還有別的證法嗎?這些都是教本節(jié)課是"正弦定理"教學的第一課時，其主用已有的學習閱歷，并通過與他人(在老師指導(dǎo)和學習伙伴的幫助下)協(xié)作，(一)設(shè)置情境的重要處或其船在靜運用于(二)提出問題問題經(jīng)小組(前后4人為一小組)匯總整理后交給我。2、船從A開到B、C分別須要多少時間?大家經(jīng)過探討達成如下共識：要回答問題1,須要解決問題2,要解決問題2,須要先解決問題3和4,問題3用直角三角形學問可解，所以重點是解決問題4,問題4與問題5是兩個相關(guān)問題。因此，解決上述問題的關(guān)鍵是解決問題4和5。上做出與問題對應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。生1:船從A開往B的狀況如圖2,依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與解直角三角,用計算器可求得0≈37°船從A開往C的狀況如圖3,IADHvI=5,師：請大家思索，這兩個問題的數(shù)學實質(zhì)么?部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中對角，求另一邊的對角和第三邊。還需求一邊的【設(shè)計意圖】將問題數(shù)學化，有助于加深學生對問題的理解，有助于培育師：請大家探討一下，如何解決這兩個問題?生3:不知道。師：圖2的情形大家都會解，但圖3的情形卻有困難，則圖2與圖3有何異同點?生4:圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。但圖2中△ADE是直角三角形，而圖3中△ADE不是直角三角形，不能象在直角三角形中可干脆利用邊角的關(guān)系求解。師：圖3的情形能否轉(zhuǎn)化成直角三角形來解呢?【設(shè)計意圖】通過老師的問題引導(dǎo)，啟發(fā)學生將問題進行轉(zhuǎn)化，培育學生的化歸思想，同時為下一步用特例作為突破口來探討正弦定理以與用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。圖4),生5:能，過點D作DG⊥AE于點G(如圖4),師：很好!實行分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解。但在生活中有很多三角形不是直角三角形，假如每個三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣干脆利用邊角關(guān)系求解呢?三角形中，隨意兩邊與其對角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【設(shè)計意圖】通過老師對學生的確定評價，創(chuàng)建一個教與學的和諧環(huán)境，既激發(fā)學生的學習愛好，使緊接著的問題能更好地得到學生的認同，又有利于學生和老師的共同成長。(三)解決問題1、正弦定理的引入師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的?眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)覺解法。可以以直角三角形為特例，先在直角三角形中摸索一下。師：假如一般三角形具有某種邊角關(guān)系，對于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我們先探討特例，請同學們對直角三角形進行探討，找尋一般三角形的各邊與其對角之間有何關(guān)系?同學們可以參與小組共同探討。(1)學生以小組為單位進行探討；老師視察學生的探討進展狀況或參與學生的探討。(2)展示學生探討的結(jié)果。【設(shè)計意圖】老師參與學生之間的探討，增進師生之間的思維與情感的溝通，并通過老師的指導(dǎo)與視察，與時駕馭學生探討的狀況，為展示學生的探討結(jié)論做打算；同時通過展示探討結(jié)論，強化學生學習的動機，增進學生的勝利感與學習的信念。師：請說出你探討的結(jié)論?生7:師：你是怎樣想出來的?生7:因為在直角三角形中，它們的比值都等于斜邊c。師：有沒有其它的探討結(jié)論?(依據(jù)實際狀況，引導(dǎo)學生進行分析推斷結(jié)論正確與否，或留課后進一步深化探討。)若都成立，則說明這個結(jié)論很可能成立，再想方法進行嚴格的證明。師：這是個好辦法。則對等邊三角形是否成立呢?生9:成立。師：對隨意三角形是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于《幾何【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學生的思維逐步形成“情境思索”——“提出問題”一—"探討特例"——"歸納猜想"——"試驗探究"——"理論探究"——"解決問題”的思維方式，進而形成解決問題的實力。2、正弦定理的探究(1)試驗探究正弦定理師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學課件。邊演示邊引導(dǎo)學生視察三角形形態(tài)的變更與三個比值的變更狀況。結(jié)論：對于隨意三角形都成立。【設(shè)計意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示，使學生對結(jié)論的相識從感性逐步上升到理性。師：利用上述結(jié)論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗與生5的計算結(jié)果是否一樣。生10:(通過計算)與生5的結(jié)果相同。師：假如上述結(jié)論成立，則在三角形中利用該結(jié)論解決“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。”的問題就簡潔多了。【設(shè)計意圖】與情境設(shè)置中的問題相呼應(yīng)，間接給出了正弦定理的簡潔應(yīng)用，并強化學生學習探究、應(yīng)用正弦定理的心理需求。(2)點明課題：正弦定理(3)正弦定理的理論探究師：既然是定理，則須要證明，請同學們與小組共同探究正弦定理的證明。探究方案：直角三角形——已驗證；銳角三角形——課堂探究；鈍角三角形——課后證明。【設(shè)計意圖】通過分析，確定探究方案。課堂只讓學生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進程的同時，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學生鞏固課堂的成果。師：請你(生11)到講臺上，講講你生11:(走上講臺),設(shè)法將問題轉(zhuǎn)三角形中的問題進行解決。通過作三角與生5的方法一樣，如圖5作BC邊上的AD=csinB=bsinC,所以的證明思化成直角形的高，師：因為要證明的是一個等式，所以應(yīng)從銳角三角形的條件動身，構(gòu)造等一邊上的高不變。這是一個簡捷的證明方法!【設(shè)計意圖】點明此證法的實質(zhì)是找到一個可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系，為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學生作出合情的評價。師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢?學生七嘴八舌地說出一些等量關(guān)系，后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量能有利用價值：①三角形的面積不變；②外接圓直徑不變。在老師的建議下，學生用這兩種關(guān)系作為基礎(chǔ)又得出了如下兩種證法二：如圖6,設(shè)AD、BE、CF證法三：如圖7,設(shè)BD=2r是△ABC外圖7三角形外接圓經(jīng)探討關(guān)系可三角形分別利是【設(shè)計意圖】在證明正弦定理的同時，將兩邊與其夾角的三角形面積公式師：前面我們學習了平面對量，能否運用向量的方法證明呢?生12:AB+BC+CA=0師：正弦定理體現(xiàn)的是三角形中邊角間的數(shù)量關(guān)系，由AB+BC+CA=0轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系?生13:利用向量的數(shù)量積運算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。師：在AB+BC+CA兩邊同乘以向量j,有(AB+BC+CA)·j=0,這里的向量j可否隨意?又如何選擇向量生14:因為兩個垂直向量的數(shù)量積為0,可考慮讓向量j與三個向量中的一個向量(如向量BC)垂直，而且使三個項的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個項的關(guān)系式。師：還是先探討銳角三角形的情形，按以上思路，請大家詳細試一下，看還有什么問題?老師參與學生的小組探討，同時引導(dǎo)學生留意兩個向量的夾角，最終讓學生通過小組代表作完成了如下證明。證法四：如圖8,設(shè)非零向量j與向量BC垂直。因為AB+BC+CA=0,所以,同理可得師：能否簡化證法四的過程?(留有確定的時間給學生思索)師：AB·j+CA·j=0有什么幾何意義?生15:把AB·j+CA·j=0移項可得CA·j=BAj,由向量數(shù)量積的幾何意義可知CA與BA在j方向上的投影相等。生16:我還有一種證法師：請你到講臺來給大家講一講。(學生16上臺板書自己的證明方法。)證法五：如圖9,作AD⊥BC,則AB與AC在AD方向上的投影相等，即AB·AD=AC.AD,同理可得師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明白正弦定理，方法特別簡捷明白!【設(shè)計意圖】利用向量法來證明幾何問題，學生相對比較生疏，不簡潔立刻想出來，老師通過設(shè)計一些遞進式的問題賜予適當?shù)膯l(fā)引導(dǎo)，將很難想到的方法合理分解，有利于學生理解接受。(五)作業(yè)為了使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為學問的"發(fā)覺者"抽象成過渡性數(shù)學問題，解決過渡性問題4與5時須要運用正弦定理，借此引 “提出問題""探討特例""歸納猜想""試驗探究” "理論探究"——"解決問題"——"反思總結(jié)"的歷程，使學生成為正弦定理的"發(fā)覺者”和“創(chuàng)建者",切身感受了創(chuàng)建的苦和樂，從而使三維教學目大田一中陳永民本節(jié)課是典型合作探究課，老師先設(shè)計一個實際問題引導(dǎo)學生探討問題解決方案，將方案數(shù)學化，歸納出一類數(shù)學問題“在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊",順當?shù)匾胄抡n，實現(xiàn)了從“現(xiàn)象”到"本質(zhì)"的飛躍，培育了學生提出問題、分析問題、數(shù)學建模的實力。為尋求解決問題的普遍方法，對三角形的邊角關(guān)系進行探究，在特殊狀況(直角三角形)下得到正弦定理,又在等邊三角形和一般三角形中驗證，堅決了結(jié)論成立的猜想，最終通過嚴格證明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理問題迎仞而解。從而使學生親身經(jīng)驗了“情境思索"—"提出問題"—"探討特例"—"歸納猜想"—"試驗探究"—"理論探究"—"解決問題"—"反思總結(jié)”的歷程，學會探討數(shù)學問題的方法，學生成為正弦定理的"發(fā)覺者"和“創(chuàng)建者”,切身感受了創(chuàng)建的苦和樂。在對詳細的一般三角形驗證成立的過程中，利用《幾何畫板》軟件，不斷變換三角形，視察上式成立，提高了效率，現(xiàn)代教化技術(shù)的運用恰到好處。一、教學內(nèi)容分析人教版《一般中學課程標準試驗教科書·必修(五)》(第2版)第一章《解三角形》第一單元其次課《余弦定理》。通過利用向量的數(shù)量積方法推導(dǎo)余弦定理，正確理解其結(jié)構(gòu)特征和表現(xiàn)形式，解決"邊、角、邊"和"邊、邊、邊"問題，初步體會余弦定理解決"邊、邊、角",體會方程思想，激發(fā)學生探究數(shù)學，應(yīng)用數(shù)學的潛能。二、學生學習狀況分析本課之前，學生已經(jīng)學習了三角函數(shù)、向量基本學問和正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對于三角形中的邊角關(guān)系有了較進一步的相識。在此基礎(chǔ)上利用向量方法探求余弦定理，學生已有確定的學習基礎(chǔ)和學習愛好。總體上學生應(yīng)用數(shù)學學問的意識不強，創(chuàng)建力較弱，看待與分析問題不深化，學問的系統(tǒng)性不完善，使得學生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有確定的難度，在發(fā)掘出余弦定理的結(jié)構(gòu)特征、表現(xiàn)形式的數(shù)學美時，能夠激發(fā)學生酷愛數(shù)學的思想感情；從詳細問題中抽象出數(shù)學的本質(zhì)，應(yīng)用方程的思想去諦視，解決問題是學生學習的一大難點。三、設(shè)計思想新課程的數(shù)學提倡學生動手實踐，自主探究，合作溝通，深刻地理解基本結(jié)論的本質(zhì)，體驗數(shù)學發(fā)覺和創(chuàng)建的歷程，力求對現(xiàn)實世界蘊涵的一些數(shù)學模式進行思索，作出推斷；同時要求老師從學問的傳授者向課堂的設(shè)計者、組織者、引導(dǎo)者、合作者轉(zhuǎn)化，從課堂的執(zhí)行者向?qū)嵤┱摺⑻骄块_發(fā)者轉(zhuǎn)化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動合作，提高學生的數(shù)學思維實力，發(fā)展學生的數(shù)學應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，深刻地體會數(shù)學思想方法與數(shù)學的應(yīng)用，激發(fā)學生探究數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學學問的潛能。四、教學目標接著探究三角形的邊長與角度間的詳細量化關(guān)系、駕馭余弦定理的兩種表現(xiàn)形式，體會向量方法推導(dǎo)余弦定理的思想；通過實踐演算運用余弦定理解決"邊、角、邊"與“邊、邊、邊”問題；深化與細化方程思想，理解余弦定理的本質(zhì)。通過相關(guān)教學學問的聯(lián)系性，理解事物間的普遍聯(lián)系性。五、教學重點與難點教學重點是余弦定理的發(fā)覺過程與定理的應(yīng)用；教學難點是用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思路方法與余弦定理在應(yīng)用求解三角形時的思路。教學環(huán)節(jié)合作探究活動學情分析與設(shè)計意圖學問回顧1、一般三角形全等的四種推斷方法是什么?2、三角形的正弦定理內(nèi)主要解決哪幾類問題的三角形?回顧舊知，防止遺忘你能推斷下列三角形的類型嗎?創(chuàng)設(shè)引入形以2,3,4為各邊長的三角形是三角形以4,5,6為各邊長的三角形是三角形然，幫助學生分析相關(guān)內(nèi)容，從多角度看待問題，用實踐進行檢驗。求c邊長嗎?引導(dǎo)學生從平面幾何、實踐作圖方面進行估計推斷。提出問題合作歸納概括你能夠有更好的詳細的量化方法嗎?幫助學生從平面幾何、三角函數(shù)、向量學問、坐標法等方面進行分析探討，選擇簡潔的處理工具，引發(fā)學生的主動探討。利用向量法推導(dǎo)余弦定理：如圖：設(shè)CB=a,CA=b,AB=C,,由三角形法則有c=a-ica同理，讓學生利用相同方法推導(dǎo)，三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。引導(dǎo)學生從相關(guān)學問入手，選擇簡潔的工具。學生對向量學問可能遺忘，留意復(fù)習；在利用數(shù)量積時，誤，出現(xiàn)不同的表示形式，讓學生從錯誤中發(fā)覺問題，鞏固向量學問，明用。同時，讓學生明確數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想：化未知為已知。學問歸納比較，發(fā)覺特征，加強識記結(jié)構(gòu)分析學問聯(lián)系方法應(yīng)用學問應(yīng)用學問深化視察余弦定理，指明白三邊長與其中一角的詳細關(guān)系，并發(fā)覺a與A,b與B,C與c之間的對應(yīng)表述，同時發(fā)覺三邊長的平方在余弦定理中同時出現(xiàn)余弦定理的推論：怎樣精確地解答引入中的兩個問題?怎樣利用已知條件推斷三角形的形態(tài)?A=41°,求解三角形(角度精確到1°,邊長精確到1cm)例2:在△ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形(角度精確到1’)例3:已知△ABC中a求c邊長分析：(1)用正弦定理分析引導(dǎo)(2)應(yīng)用余弦定理a2=b2+c2-2bccosA構(gòu)造關(guān)于C的方程求解。(3)比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。使學生明確對應(yīng)關(guān)系，樹立方程思想，解決"邊、角、邊"問題解決“邊、邊、邊”問題用精確的量化關(guān)系去解決問題，用邊長去推斷三角形形態(tài)，勾股定理是余弦定理特例。應(yīng)用數(shù)學學問求解問題加強計算器的運算功能，同時，鞏固好正弦定理，余弦定理學問，發(fā)覺兩種學問方法在解三角形中的綜合應(yīng)用。接著深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解問題優(yōu)越于余弦定理。并讓學生初步發(fā)覺“邊、邊、角”問題解法，為下節(jié)學習輔墊。檢測課堂小結(jié)板書設(shè)計作業(yè)設(shè)計1、某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來，他望見第一輛車與其次輛車的俯角差等于他望見其次輛與第三輛車的俯角差，則第一輛車與其次輛車的距離d,與其次輛車的距離d?之間關(guān)C:d,<dD:大小不確定個三角形的形態(tài)嗎?若acosB=bcosA呢?1、正弦、余弦定理各能解決哪些類型問題?各有什么利與弊?2、從本課中你學到了哪些學問和方法?1、推導(dǎo)余弦定理與其推論3、練習指導(dǎo)4、小結(jié)投影正弦、余弦定理，比較它們理解學問1、探討余弦定理的其它解法設(shè)計思路。2、第11頁A組3、4題用練習去鞏固所學學問，使學生逐步形成良好的學問結(jié)構(gòu)，加強數(shù)學學問應(yīng)用實力的培育。通過學問回顧，使鞏固學問多角度看待問題設(shè)計力求在型(模型、類型),質(zhì)(實質(zhì)、本質(zhì)),思(思維、思想方法)上達去解決問題。所以，例題的精選、講解是至關(guān)重要的。設(shè)計中的例1、例2是解，通過比較分析，突出了正、余弦定理的聯(lián)系，深化了對兩個定理的理解，培育了解決問題的實力。但李老師在對例3解法的總結(jié)時，指出"能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。”這結(jié)論有點片面。本課在繼承了傳統(tǒng)數(shù)學教學模式優(yōu)點，結(jié)合新課程的要求進行改進和發(fā)展，以發(fā)展學生的數(shù)學思維實力為主線，發(fā)揮老師的設(shè)計者，組織者作用，在使學生駕馭學問的同時，幫助學生摸索自己的學習方法。一、教學內(nèi)容分析本節(jié)課是《一般中學課程標準試驗教科書·數(shù)學5》(人教版)其次章數(shù)列其次節(jié)等差數(shù)列第一課時。數(shù)列是中學數(shù)學重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承方面，學習數(shù)列也為進一步學習數(shù)列的極限等內(nèi)容做好打算。而等差數(shù)列是在學生學習了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的學問進一步深化和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學習等比我所教學的學生是我校高二(2)班的學生，經(jīng)過一年的學習，大部分學生學問閱歷已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維實力和演繹推理實力，但也有一部分學生的基礎(chǔ)較弱，學習數(shù)學的愛探討和探討以符合這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維實力的進一步發(fā)點，突破難點；有利于調(diào)動學生的主動性和主動性，發(fā)揮其創(chuàng)建性。(3)講練結(jié)合法：可以與時鞏固所學內(nèi)容，個數(shù)列是否為等差數(shù)列，引導(dǎo)學生了解等差數(shù)列的須要用到有關(guān)數(shù)列的學問來解探究探究樣數(shù)數(shù)，從0起先，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0,5,·7個級別。其中較輕的4個級別每天水位降低2.5m,最低降至寸期).例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%。則依據(jù)時間年初本金(元)年末本利和(元)年22第年第年3年4年各年末的本利和(單位：元)組成了數(shù)列：10072,10144,10數(shù)列從第2項起，每一項與它的依次是5,5,-2.5,72。引導(dǎo)學生視察相鄰兩激發(fā)學生學對于數(shù)列①,從第2問的愛好，項起，每一項與前一項的引導(dǎo)揭示數(shù)對于數(shù)列②,從第2點。項起，每一項與前一項的對于數(shù)列③,從第2項起，每一項與前一項的對于數(shù)列④,從第2項起，每一項與前一項的每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)(即：每個都具有相鄰兩項差為同一學生細致閱讀課本相關(guān)概通過學生自本，找出關(guān)鍵字，提高學生的閱讀水平和思維讓學生參與到學問的形獲得數(shù)學學總結(jié)提高由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡潔的等差數(shù)列，不難發(fā)覺，在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項。如數(shù)列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。從而可得在一等差數(shù)列中，若[等差數(shù)列的通項公式]對于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢?這是我們接下來要學習的內(nèi)第n項與序號n之間的關(guān)系去寫出數(shù)列的通項公式的。下面由同學們依據(jù)通項公式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項公式。所以就有深化探究，得到更一般化的結(jié)論由學生經(jīng)過分析寫出通項①這個數(shù)列的第一項是5,第2項是10(=5+5),第3項是15(=5+5+5),第4項是20(=5+5+5+5),……由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是a=5n48,第2項是53(=48+5),第3項是58(=48+5×2),第4項是63(=48+5×3),由此可以猜想得到這個數(shù)an=48+5(n-1)(=18-2.5),第3項是13(=18-2.5×2),第4項是10.5(=18-2.5×3),第5引領(lǐng)學習更究，提高學生的學習水平。學會發(fā)覺規(guī)律，并加以總結(jié)。(2)、則，假如隨意給了一個等差數(shù)列的首項a,和公差d,它的通項公式是什么呢?思索：則通項公式究竟如何表達得出通項公式：由此我們可以猜提高的等差數(shù)列(a。)}的通項公式為也就是說，只要我們知道了等差數(shù)列的首項a?和公差d,則這個等差數(shù)列的通項a,就可以表示項是8(=18-2.5×4),第6項是5.5(=18-2.5×5)由此可以猜想得到這個數(shù)an=18-2.5(n-1)10072,第2項是10144(=10172+72),第3項是第4項是10288(=10072+72×3),第5項是10360(=10072+72×4),由此可以猜想得到這個數(shù)列的通引導(dǎo)學生依據(jù)等差數(shù)列的定義進行歸納：(n-1)個等式所以所以a?=a?+d=(q+d)+d=a+2d,引導(dǎo)學生進行理性分析與推導(dǎo)，從。進一步的分思索，并發(fā)表各自的看法。讓學生有自主思索的時例1、(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項.(2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13,…的項?假如是，有3個)的方程；另外，要懂得隨堂練習：課本45頁“練習”第1題；讓兩個學生分別對這兩小題加以分析。=-4,得這個數(shù)列的通項公a,=-5-4(n-1)=-4n-1,由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。數(shù)列的第100項。例2.某市出租車的計價標準為1.2元/km,起步價為10元，即最初的4km(不含4千米)計費暢通，等候時間為0,須要支付解：依據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km,乘客須要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)令a?=11.2,表示4km讓學生參與講練結(jié)合應(yīng)用到詳細加深對概念當出租車行至14km處時，n=11,此時須要支付車費答：須要支付車費23.2例題評述：這是等差數(shù)列用于解決實際問題的一個簡潔應(yīng)用，要傾聽老師點評通過老師點評，提高學學會從實際問題中抽象出等差數(shù)生對關(guān)鍵問列模型，用等差數(shù)列的學問解決題的認知水隨堂練習：課本45頁“練習”第2題；完成練習有利提高學生的學問應(yīng)用水平分析思索，然后分組探討，培育學生分a…=pn+q,其中p、q為常數(shù)，且讓兩組學生代表發(fā)表自己析問題的實p≠0,則這個數(shù)列確定是等差數(shù)力，在小組探討中提高組長的組織與歸納組內(nèi)分析：判定{a,}是不是等差數(shù)列，解：取數(shù)列{a,}中的隨可以利用等差數(shù)列的定義，也就意相鄰兩項a,與a(n>是看a-a,(n>1)是不是一個1),它是一個與n無關(guān)的數(shù).課本左邊"旁注":這個等差數(shù)這個數(shù)列的首項對所得結(jié)論列的首項與公差分別是多少?q=p+q,公差d=p。由此進行更深化我們可以知道對于通項公一步的探次項系數(shù)p就是這個等差好。數(shù)列的公差，首項是p+q.2,3,……時，對應(yīng)的a,可以利該圖象是勻稱分布的一群孤立直線后發(fā)覺數(shù)列的圖象(點)在例題評述：通過這個例題我們知道推斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：假如一個數(shù)列的通項公式是數(shù)，則這個數(shù)列必定是等學生動手畫圖，并進行學以學習小組為單位，在學習小組中，各自歸納自己對這堂課的收獲，后由小評價1、已知{a,}是等差數(shù)列.(1)2as=a?+a,是否成立?2as=q?+a,呢?為什么?(2)2a=a;+a(n)1)是否成立?據(jù)此你能得出什么結(jié)論?據(jù)此你又能得出什么結(jié)論?2、已知等差數(shù)列{a,}的公差為d.作業(yè)是課堂的持續(xù)，除了檢驗學生對本節(jié)課學問的理解程度，還在于引導(dǎo)學生對本課學問的究，讓學生在更大的深度與廣度之索。七、教學反思本節(jié)課通過生活中一系列的實例讓學生視察，從而得出等差數(shù)列的概念，并在此基礎(chǔ)上學會求等差數(shù)列的公差與通項公式，培育了學生視察、分析、歸納、推理的實力。充分體現(xiàn)了學生做數(shù)學的過程，使學生對等差數(shù)列有了從感性到理性的相識過程，也使本節(jié)課的三維目標真正落到實處。福州金橋高級中學林岳水本設(shè)計從生活中的數(shù)列模型，如舉重級別、水庫水位、儲蓄的本息計算等問題引入，進而提出有待探究的問題，這有助于發(fā)揮學生學習的主動性。在探究的過程中，學生通過分析、視察，逐步抽象概括得出等差數(shù)列定義，強化了由詳細到抽象，由特殊到一般的思維過程。本課各環(huán)節(jié)的設(shè)計環(huán)環(huán)相扣、簡潔明白、重點突出，引導(dǎo)分析細致、到位、適度。如：推斷某數(shù)列是否成等差數(shù)列，這是促進概念理解的好素材；又如：把通項公式與一次函數(shù)發(fā)生聯(lián)系，利用函數(shù)這一"上位"概念，來"同化"等差數(shù)列的概念，體現(xiàn)函數(shù)思想；還有讓學生經(jīng)驗列表、畫圖象的過程，從“形”的角度，感受函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系；此外，用方程的思想指導(dǎo)等差數(shù)列基本量的運算等等。學生在經(jīng)驗過程中，加深了對概念的理解和鞏固。本節(jié)課教學體現(xiàn)了課堂教學從“灌輸式”到“引導(dǎo)發(fā)覺式”的轉(zhuǎn)變，以老師提出問題、學生探討解決問題為途徑，以相互補充綻開教學，總結(jié)科學合理則am+a,=a,+a,這一性質(zhì)的在第一課時提出是否不合時宜，并且只是這樣本節(jié)課教學內(nèi)容是《一般中學課程標準試驗教科書·數(shù)學(5)》(人教A版)中其次章的第三節(jié)“等差數(shù)列的前n項和”(第一課時),本節(jié)課主要探討與方程(組)思想，培育學生視察、歸納、反思的實力；通過小組探討學習，(一)創(chuàng)設(shè)情景，喚起學生學問閱歷的感悟和體驗有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎?體展示三角形圖案)[設(shè)計意圖]情境學習理論認為：數(shù)學學習總是與確定的學問背景，即“情境”相聯(lián)系，從實際問題入手，圖中蘊含算數(shù)，能激發(fā)學生學習新學問的愛好，并且可引導(dǎo)學生共同探討高斯算法更一般的應(yīng)用，為新課的講解作鋪墊.[學問鏈接]高斯，德國聞名數(shù)學家，被譽為“數(shù)學王子”。200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：據(jù)說，當其他同學忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法快速算出了正確答案：[學情預(yù)設(shè)]高斯的算法蘊涵著求等差數(shù)列前n項和一般的規(guī)律性.教學時，應(yīng)給學生供應(yīng)充裕的時間和空間，讓學生自己去視察、探究發(fā)覺這種數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律.學生對高斯的算法是熟識的，知道采納首尾配對的方法來求和，但估計他們對這種方法的相識可能處于記憶階段，為了促進學生對這種算法的進一步理解，設(shè)計了以下三道由易到難的問題.(二)由易到難，在自主探究與合作中學習問題1圖案中，第1層到第51層一共有多少顆寶石?該題組織學生分組探討，在合作中學習，并把小組發(fā)覺的方法一一呈現(xiàn).方法1:原式=(1+2+3+……+50)+51方法2:原式=0+1+2+……+50+51方法3:原式=(1+2+…+25+27…+51)+26以上方法事實上是用了"化歸思想",將奇數(shù)個項問題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個項求問題2:求圖案中從第1[學情預(yù)設(shè)]學生通過激之和，讓學生領(lǐng)悟從特殊到一般的探討方法，旨在讓學生對“這一算法的改進.啟發(fā)：(多媒體演示)如右圖，在三角形圖案右側(cè)倒放一個全等的三角形與原圖補成平行四邊形.問題3:在公差為d的等差數(shù)列{a}中，定義前n項和Sn=a?+a?+…+an,如何求Sn?由前面的大量鋪墊，學生應(yīng)簡潔得出如下過程：(公式1)組織學生探討：在公式1中若將a=a?+(n-1)d代入又可得出哪個表達式(三)設(shè)置典例，促進學生對公式的應(yīng)用對于以上兩個公式，初學的學生在解決一些問題時，往往不知道該如何選取.老師應(yīng)通過適當?shù)睦右龑?dǎo)學生對這兩個公式進行分析，依據(jù)公式各自的特點，幫助學生恰當?shù)剡x擇合適的公式.例1為了參與冬季運動會的5000m長跑競賽，某同學給自己制定了7天的訓(xùn)練支配(單位：m)如下表：5000問這個同學7天一共將跑多長的距離?[設(shè)計意圖]該例題是將課本P53習題2.3A組第3題改編成表格形式，項數(shù)動身，選用公式1;也可以從首項、公差、項數(shù)動身，選用公式2,通過兩種方法的比較，引導(dǎo)學生在解題時留意選擇適當?shù)墓剑员阌谟嬎?例2已知等差數(shù)列5,,求(1)數(shù)列{an}的通項公式；(2)數(shù)列{a}的前幾項和為(3)Sn的最大值為多少?并求出此時相應(yīng)的n的值。[設(shè)計意圖]通項公式與求和公式中共有a、d、n、a、Sn五個基本元素，假如已知其中三個，就可求其余兩個，主要是訓(xùn)練學生的方程(組)思想。第(3)小題是讓學生初步接觸用函數(shù)觀點解決數(shù)列問題，為以后函數(shù)與數(shù)列的綜合打下基礎(chǔ).,則S?=An2+Bn,可知當d≠0時，點(n,S,)是在常數(shù)項為0的二次函數(shù)圖象上，可由二次函數(shù)的學問解決S,的最值問題；(2)若數(shù)列{a,}的前n項和S=An2+Bn(A、B∈R),則數(shù)列{a,}確定是等(4)在等差數(shù)列{a,}中，當a>0,a+<0(四)反饋調(diào)控，實現(xiàn)學生對學問的駕馭練習1已知等差數(shù)列{an}的前10項和是310,前20項的和是1220,求前n項和Sn.練習2等差數(shù)列{an}中，a?=-4,as=-18,n=8,求公差d與前n項和Sn.+f(5)+f(6)的值為[設(shè)計意圖]分層練習使學生在完成必修教材基本任務(wù)的同時，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都可以獲得勝利的喜悅，看到自己的潛能，從而實現(xiàn)“以人為本”的教化理念.(五)回顧反思，深化學問組織學生分組共同反思本節(jié)課的教學內(nèi)容與思想方法，小組之間相互補充完成課堂小結(jié)，實現(xiàn)對等差數(shù)列前n項和公式的再次深化.1.從特殊到一般的探討方法；2.體會倒序相加的算法，駕馭等差數(shù)列的兩個求和公式，領(lǐng)悟方程(組)3.前n項和公式的函數(shù)意義4、用梯形面積公式記憶等差數(shù)列的前n項和公式；[學問鏈接](六)布置作業(yè)2.探究題(2)若公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{a,}中，,你能否由題(1)的啟發(fā)，得到T,的表達式?七、教學反思"等差數(shù)列前n項和"的推導(dǎo)不只一種方法，本節(jié)課是通過介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的求和.該方法反映了等差數(shù)列的本質(zhì)，可以進一步促進學生對等差數(shù)列性質(zhì)的理解，而且該推導(dǎo)過程體現(xiàn)了人類探討、解決問題的一般思路.本節(jié)課教學過程的難點在于如何獲得推導(dǎo)公式的“倒序相加法”這一思路.為了突破這一難點，在教學中采納了以問題驅(qū)動的教學方法，設(shè)計的三個問題體現(xiàn)了分析、解決問題的一般思路，即從特殊問題的解決中提煉方法，再試圖運用這一方法解決一般問題.在教學過程中，通過老師的層層引導(dǎo)、學生的合作學習與自主探究，尤其是借助圖形的直觀性，學生“倒序相加法”思路的獲得就水到渠成了.德化第一中學陳麗真本節(jié)課以故事引課，增加學生的新奇心，激發(fā)學生的學習欲望和熱忱。以問題為紐帶，通過三個問題組織學生探討，由特殊(自然數(shù)的前51項和)到一般(自然數(shù)的前幾項和),再到一類(等差數(shù)列前幾項和),按部就班。通過做更深化分析，指出其實質(zhì)是等差數(shù)列的重要性質(zhì)——等距性(即m,n,k,l∈是等差數(shù)列，求sn=a?a?+a?a?+…+aa則可得到一類問題(由等差連續(xù)項或連章第5節(jié)第一課時。從在教材中的地位與作用來：看《等比數(shù)列的前n項和》教學難點是公式的推導(dǎo)方法和公式的敏捷運用。公式推導(dǎo)所運用的“錯位相減法”是中學數(shù)學數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊含了重要的數(shù)學思想，所以既是重點也是難點。包括資源的收集、課件的制作、活動的打算等1.全日制一般高級中學教科書(必修)第一冊(上)2.一般中學課程標準教科書數(shù)學(必修)5與配套光盤3.兩種教材的主要差異對比4.課件《等比數(shù)列的前n項和》改編學生是認知的主體，設(shè)計教學過程必需遵循學生的認知規(guī)律，盡可能地讓學生去經(jīng)驗學問的形成與發(fā)展過程，結(jié)合本節(jié)課的特點，我設(shè)計了(一)創(chuàng)設(shè)情境，提出問題在古印度，有個名叫西薩的人，獨創(chuàng)了國際象棋，當時的印度國王大為贊許，對他說：我可以滿意你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，其次格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數(shù)學家計算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚。為什么呢?【設(shè)計意圖】:設(shè)計這個情境目的是在引入課題的同時激發(fā)學生的愛好，調(diào)動學習的主動性。故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點。此時我問：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎?引導(dǎo)學生寫出麥粒總數(shù)2+22+23+……+26不得花時間讓學生去做所謂的“無用功”,急連忙忙地拋出"錯位相減法",(二)師生互動，探究問題是什么數(shù)列?有何是什么數(shù)列?有何在確定他們的思略后。我接著凝：【學情預(yù)設(shè)】:探討1,記為(1)式，留意視察每一項的特征，有何聯(lián)系?(學生會發(fā)覺，后一項都是前一項的2倍)探討2:假如我們把每一項都乘以2,就變成了它的后一項，,記為(2)式。比較(1)(2)兩式，你有什么發(fā)覺?項和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變"加"為“減”,在老師看來這是"天經(jīng)地義”的，但在學生看來卻是"不行思議"的，因此教學中應(yīng)著力在是錯位相減法，并要求學生縱觀全過程，反思：為什么(1)式兩邊要同乘以2呢?【學情預(yù)設(shè)】:在學生推導(dǎo)完成后，我再問：由(1-q)sn=a-aq"得對不對?這里的q能不能等于1?等比數(shù)列中的公比能不能為1?q?、a,、q表示出來?(引導(dǎo)學生得出公式的另一形式)(四)探討溝通，延長拓展在此基礎(chǔ)上，我提出：探究等比數(shù)列前n項和公式，還有其它方法嗎?我們知道；=a?+aq+aq2+…+aq*’=a?+q(a?+aq+…+aq2)則我們能否利用這個關(guān)系而求出s,呢?依據(jù)等比數(shù)列的定義又有,能否聯(lián)想到等比定理從而求出s,呢?【設(shè)計意圖】:以疑導(dǎo)思，激發(fā)學生的探究欲望，營造一個讓學生主動視察、思索、探討的氛圍.以上兩種方法都可以化歸到S,=q?+qS,這其實就是關(guān)于s,的一個遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的探討價值，是探討性學習和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學生的思維發(fā)展有促進作用.(五)變式訓(xùn)練，深化相識例1:求等比數(shù)列,…前8項和；4變式1、等比數(shù)列,…前多少項的和是;變式2、等比數(shù)列,…求第5項到第10項的和；變式3、等比數(shù)列111,1,…首先，學生獨立思索，自主解題，再請學生上臺來幻燈演示他們的解答，其它同學進行評價，然后師生共同進行總結(jié)。【設(shè)計意圖】:采納變式教學設(shè)計題組，深化學生對公式的認識和理解，通過干脆套用公式、變式運用公式、探討公式特點這三個層次的問題解決，促進學生新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的形成。通過以上形式，讓全體學生都參與教學，以此培育學生的參與意識和競爭意識。(六)例題講解，形成技能例2:求和l+a+a2+a3+…+a2-1【設(shè)計意圖】:解題時，以學生分析為主，老師適時賜予點撥，該題有意培育學生對含有參數(shù)的問題進行分類探討的數(shù)學思想。(七)總結(jié)歸納，加深理解以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學生回顧公式、推導(dǎo)方法，激勵學生主動回答，然后老師再從學問點與數(shù)學思想方法兩方面總結(jié)。【設(shè)計意圖】:以此培育學生的口頭表達實力，歸納概括能(八)故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)最終我們回到故事中的問題，我們可以計算出國王獎賞的小麥約為1.84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設(shè)一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459倍，明顯國王【設(shè)計意圖】:把引入課題時的懸念賜予釋疑，有助于學生克服疲乏、接著主動思維。(九)課后作業(yè)，分層練習(2)“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈?”這首中國古詩的答案是多少?【設(shè)計意圖】:出選作題的目的是留意分層教學和因材施教，讓學有余力的學生有思索的空間。七、教學反思：對公式的教學，要使學生駕馭與理解公式的來龍去脈，駕馭公式的推導(dǎo)方法，理解公式的成立條件，充分體現(xiàn)公式之間的聯(lián)系。在教學中，我采納"問題-一探究"的教學模式，把整個課堂分為呈現(xiàn)問題、探究規(guī)本節(jié)課例子設(shè)計精致。通過精講一題(例1),發(fā)散一串的變式教學，使學生既鞏固了學問，又形成了技能；通過例題講解(例2),進一步滲透分類一般中學課程標準教科書數(shù)學5(必修)第三章第3課時這是一堂關(guān)于簡潔的線性規(guī)劃的“問題教學”.它能解決科學探討、工程設(shè)計、經(jīng)濟管理等很多方面的實際問題.資金等資源確定的條件下，如何運用它們來完成最多的任務(wù)；二是給定一項任務(wù)，如何合理規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成.突出體現(xiàn)了優(yōu)化的思想.教科書利用生產(chǎn)支配的詳細實例，介紹了線性規(guī)劃問題的圖解法，引出線性規(guī)劃等的概念，最終舉例說明白簡潔的二元線性規(guī)劃在飲食養(yǎng)分搭配中的應(yīng)本節(jié)課學生在學習了不等式、直線方程的基礎(chǔ)上，又通過實例，理解了平面區(qū)域的意義，并會畫出平面區(qū)域，還能初步用數(shù)學關(guān)系式表示簡潔的二元線性規(guī)劃的限制條件，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.從數(shù)學學問上看，問題涉與多個已知數(shù)據(jù)、多個字母變量，多個不等關(guān)系，從數(shù)學方法上看，學生對圖解法的相識還很少，數(shù)形結(jié)合的思想方法的駕馭還需時日，這都成了學生學習的困難.本課以問題為載體，以學生為主體，以數(shù)學試驗為手段，以問題解決為目的，以幾何畫板作為平臺，激發(fā)他們動手操作、視察思索、猜想探究的愛好。到一般"的抽象思維過程，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合"的思想方法，培育學生的學會分最優(yōu)解.標函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)過可行域的直線在y軸上的截距的最值問(一)引入(1)情景4個A配件耗時1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品運用4個B配件耗時2h.該產(chǎn)每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠請學生讀題，引導(dǎo)閱讀理解后，列表→建立數(shù)學關(guān)系式→畫平面區(qū)(2)問題(二)試驗數(shù)據(jù).利潤最大的試驗探究報告單試驗?zāi)康?1)求z=2x+3y的最大值，使x,y滿意約束條件(2)理解用圖解法求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，體會數(shù)形結(jié)合的思想.進行試驗與收集數(shù)據(jù)(1)打開幾何畫板依次畫出點、線構(gòu)造平面區(qū)域；(2)在區(qū)域內(nèi)任取一點M,度量橫坐標與縱坐標，計算z=2x+3y的值，并制表顯示在屏幕上；(3)拖動點M在區(qū)域內(nèi)運動，視察度量值z的變更，猜想z取得最大值時點M的位置.同時請學生將有代表性的位置的數(shù)據(jù)記錄在下表中的第2—5直老得最大數(shù)點n值14.x生提出猜y想：點M的坐標為(4,標為(4,2)時，z=2x直線的方程的+3y取的在上法.M(3.2,1.2)時方程是2x+3y=10,填寫表中的第6—7列，引導(dǎo)學生先在點與直線之間建立起聯(lián)系------點M的坐標是方程2x+3y=10的區(qū)域內(nèi)的全部點!這樣我們的學生很自然地聯(lián)想到上面試驗的結(jié)果，將等式z=2x+3y視為關(guān)于x,y的一次方程，它在幾何上表示直線，當z取不同的值時可得到一族平行直線.請把你猜想1換一種說法：猜想與假設(shè)將直線z=2x+3y改寫為,這時你能把猜想2再換一種說法嗎?此時水到渠成.猜想與假設(shè) 3 得最大值14.最終探究出“z=2x+3y最值問題可轉(zhuǎn)化為經(jīng)過可行域的直線在y軸上的截距的最值問題”來解決，實現(xiàn)其圖解的目的.【借助計算機技術(shù)用運動變更的方法，創(chuàng)設(shè)試驗環(huán)境，形成多元聯(lián)系，展示數(shù)學關(guān)系式、平面區(qū)域、表格等各種形態(tài)的表現(xiàn)形式，在數(shù)、圖、表的關(guān)聯(lián)中進行視察、分析，從而逐步幫助學生進行有層次的猜想，也為我們的探討供應(yīng)一種方向，這是新課程主動提倡的合情推理】老師介紹線性規(guī)劃、線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行解、可行域和最優(yōu)解等概念.據(jù)試試(課本第100頁)(四)練習小結(jié)學生練習P104第1題.(五)實例展示(課本第100頁例5飲食養(yǎng)分搭配)碳水化合物，0.07kg的蛋白質(zhì)，0.14kg的脂肪，花費28元；而1kg食須要同時食用食物A和食物B多少kg(六)課后伸申(1)若要求結(jié)果為整數(shù)呢?最優(yōu)解是在哪?(2)若已知有唯一(或多數(shù))最優(yōu)解時，反過來確定線性約束條件或目標函數(shù)某些字母系數(shù)的取值(范圍),又如何解決呢?(七)小結(jié)求最優(yōu)解的一般步驟(板書):作業(yè)：第104頁練習2,第106頁習題3—4,第107頁習題3.教學.而把留意力放在“算理”上.廈門市湖濱中學這種愛好和實力可遷移至課外，因而折射出“探討性學習”教學思想，長期堅持，對學生學習實力培育的教學達成度也會更高!一、教學內(nèi)容分析《拋物線與其標準方程》是全日制一般高級中學教科書(必修)數(shù)學其次冊(上)第八章《圓錐曲線》第三節(jié)第一課時內(nèi)容。本節(jié)在教材中的地位和作用：在初中階段，拋物線為學生學習二次函數(shù)y=a2+bx+c供應(yīng)直觀的圖象感覺；在中學階段，它在一元二次不等式的解法、求最大(小)值等方面有著重要的作用。但學生并不清晰這種曲線的本質(zhì)，隨著學生數(shù)學學問的漸漸完備，尤其是學習了橢圓、雙曲線的其次定義之后，已具備了探討這個問題線統(tǒng)確定義的須要，拋物線是離心率e=1的特例；另一方面也是解析幾何"用方程探討曲線"這一基本思想的再次強化。本節(jié)對拋物線定義的探討，與初是為了分散難點，符合認知的漸進性原則。我校是省一級達標學校，有優(yōu)越的多媒體設(shè)備，學生的數(shù)學基礎(chǔ)較好，有劇烈的求知欲，具備確定的分析、視察等實力。在此之前，學生已經(jīng)嫻熟駕馭物如本節(jié)的"拋物線的標準方程與其推導(dǎo)”和“拋物線概念的形成",老師應(yīng)學(借助多媒體)先給出一張姚明的圖片。(此時學生奮練習!(再給出兩張姚明的圖片)生：與界限從曲線和方程的角度來學習拋物線。師：前面，我們學習了橢圓和雙曲線的相關(guān)學問，則它們的聯(lián)系和差異是什么?生：定義不一樣!生：方程!橢圓是,雙曲線。師：還有嗎?生：橢圓是封閉的，雙曲線是開放的。師：這只是圖象不同，為什么會這樣呢?生：其次定義!就是它們到定點的距離與到定直線的距離的比等于一個常數(shù)!生：這個常數(shù)是離心率e!師：對啊!這是定性上的，定量上有不同嗎?生：離心率e不同，橢圓離心率e的范圍是0<e<1,雙曲線離心率e的范圍是師：對了，e可看成是它們的相同點，又是不同點!(打開幾何畫板)BB師：現(xiàn)在我漸漸拖動，大家細致視察圖象。師：這拋物線是怎么畫出來的啊!(課堂忽然一片寧靜)師：回答得很好!那你們能據(jù)此設(shè)計一種方案，畫出這樣的點嗎?(在直線PF上找特殊點)(在第一象限找特殊點)(在第一象限找全部點)象呢?(課堂又一片寧靜)(出示預(yù)先打算的圓錐曲線教具)師：這兩位同學表現(xiàn)特別好!這就是我們見過的拋物線!態(tài)演示)眾生：拋物線!師：很好!【設(shè)計意圖】強調(diào)"在操作中促進學習",體現(xiàn)數(shù)學試驗在學習數(shù)學中師：說得很好!這里F叫做拋物線的焦點，定直線L叫做拋物線的準2.以F為原點，過F且垂直于定直線F的直線為x軸建立平面直角坐標系，此生：方案3所得的方程更簡潔!物線有什么變更?再縮小這個距離試一試。師：視察很精確!這說明白什么?師：接下來看課本的一條拋物線，試將你們的課本逆時針旋轉(zhuǎn)90再視察，會圖形準線方程y1yF0XY0XF生：還有一次項系數(shù)符號確定開口方向，而且可以快速算出焦點坐標為和準線方程為0師：還有嗎?生：拋物線標準方程和橢圓、雙曲線的標準方程不同的是：確定拋物線只要一個自由量p,而確定橢圓和雙曲線則須要兩個自由量。師：視察很敏銳，分析很透徹，很好!【學情預(yù)設(shè)】通過老師的層層引導(dǎo)，學生自主完成計算機中的表格的內(nèi)容，認清拋物線和二次函數(shù)圖象的聯(lián)系，認清拋物線標準方程的各種形式。【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，不斷提升分析、總結(jié)與歸納等實力，也為分析例題和解決實際應(yīng)用問題奠定理論基礎(chǔ)。四.指導(dǎo)應(yīng)用，激勵創(chuàng)新師：接下來我們運用上述所學到的學問來解決一些問題，如：已知拋物線的標準方程是y2=-12x,現(xiàn)在請你們說出它的焦點坐標和準線方程。生：方程是關(guān)于x的一次項，系數(shù)是負的，所以焦點在x軸上，開口向左，所以焦點坐標是(-3,0),準線方程是x=3。再看一道：已知拋物線方程是y=12x2,請說出它的焦點坐標和準線方程。師：是這樣嗎?生：二次項系數(shù)不為1,所以要先化成標準方程!應(yīng)當先變成再求。師：太好了!所以解題時不要張冠李戴!結(jié)果算出來了嗎?眾生：焦點坐標是,準線是0師：很好!接著我們還可以算出?師：特別好!六.布置作業(yè)課本P119板書設(shè)計建系方案一建系方案一建系方案三建系方案二例題2.拋物線的標準方程建系方案二例題3.應(yīng)用與小結(jié)練習七、教學反思本節(jié)是在學生學習了橢圓、雙曲線之后，因此在教學設(shè)計中，應(yīng)留意充分調(diào)動學生已有的學問，引導(dǎo)學生把新舊學問有機融合，駕馭學問的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。時時與前兩種曲線進行比較，不斷復(fù)習學生已經(jīng)理解和駕馭了的建系求曲線方程的步驟。為了突破本節(jié)課的難點——拋物線概念的形成。在教學設(shè)計中，留意設(shè)計三個活動：第一個活動讓學生感受曲線上的一個點，并培育學習的信念；其次個活動中，圓錐曲線教具在概念的形成過程中起到特別重要的作用，為學生的自主探究活動供應(yīng)了實物載體，并能體會勝利帶來的喜悅；第三個活動中，計算機為老師進行不僅使學生加深了對拋物線概念的理解，而且使課堂更加緊湊有序。為了突出本節(jié)課的重點，與同學們所熟知的二次函數(shù)對比，通過變換坐標聯(lián)系起來，使學生有一種“頓悟”的感覺。總之，在"以學生發(fā)展為核心”的理念和我校的教學模式下，要在每個階段的教學中都必需細心設(shè)計問題情景，為學生自主探究和發(fā)覺創(chuàng)建條件，為培育學生的實踐實力和創(chuàng)新實力，構(gòu)建一個探究性的學習空間。福州三中魏健本節(jié)課用不同的活動環(huán)節(jié)涵蓋整個教學的過程，設(shè)計理念務(wù)實、新奇。教學目標中的學問與實力等目標的定位顯明清晰。并能以此目標為主旋律，貫穿第八章(圓錐曲線方程復(fù)習課)"利用圓錐曲線定義解題"這一重要的解題策略.初中三年的學習中，接受的是“新課改"的理念，學習程、教材，由于05年中學“課改”還未全面推行，因此如今他們面對的中學合情推理方法.2.利用圓錐曲線的定義求“最值”巧用圓錐曲線定義解題六、教學過程設(shè)計【設(shè)計思路】由于這是一堂習題課，加上我所任教的班級是重點中學的理科班，學生有較好的數(shù)學基礎(chǔ)，學習主動性較高，領(lǐng)悟?qū)嵙^好，所以在教學中，我擬采納師生共同參與的談話法：由老師提出問題，激發(fā)學生主動思索，引導(dǎo)他們運用已有的學問閱歷，利用合情推理來自行獲得新學問。通過個別回答，集體修正的方法讓我與時得到反饋信息。最終，我將依據(jù)學生回答問題的狀況進行小結(jié)，概括出問題的正確答案，并指出學生解題方法的優(yōu)缺點。(一)開宗明義，提出問題一上課，我就直截了當?shù)亟o出——例題1:(1)已知A(-2,0),B(2,0)動點M滿意|MA|+|MB|=2,則點M的軌跡是((2)已知動點M(x,y)滿意√(x-1)2+(y-2)2=3x+4y|,則點M的軌跡是(A)橢圓(B)雙曲線(C)拋物線(D)兩條相交直線【設(shè)計意圖】定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，熟識不同概念的不同定義方式，是學習和探討數(shù)學的一個必備條件，而通過一個階段的學習之后，學生們對圓錐曲線的定義已有了確定的相識，他們是否能真正駕馭它們的本質(zhì)，是我本節(jié)課首先要弄清晰的問題。為了加深學生對圓錐曲線定義理解，我以圓錐曲線的定義的運用為主線，細心打算了兩道練習題。為杜絕一些錯誤相識在學生大腦中滋生、