專題四萬有引力與天體運動主備人陳世有組長徐健主任孫重社課時專題四萬有引力與天體運動時間20１1年４月考情分析預測1．近年來各地高考考查的重點是人造衛星問題，幾乎年年都考,且以選擇題的形式出現居多。２．由于近年來各國空間科技力量的競爭日趨激烈,特別是我國“神舟”系列飛船、“嫦娥"“北斗”系列衛星的成功發射和接收，使萬有引力、天體運動、現代航天技術成為一個特別的考查熱點。因此201１年高考該講的內容仍將是熱點,特別是人造衛星問題更要引起重視,題型仍為選擇。主干知識整合一、萬有引力定律內容自然界中任何兩個物體都相互吸引.引力的大小與物體的質量ｍ1和m２的乘積成正比,與它們之間距離r的二次方成反比公式Ｆ＝Gｅｑ\f（ｍ1m2，ｒ2），其中引力常量G=6．67×10-1１Ｎ·m2／ｋg２適用條件適用于質點或均勻球體之間。ｒ為質點間、球心間的距離在現實生活中，一般兩個物體之間的萬有引力較小，可不作考慮；在天體運動中,由于物體的質量很大,導致萬有引力很大，萬有引力在天體運動中起決定性的作用。二、天體運動1．在研究人造衛星等天體運動時，進行了以下近似：中心天體是不動的，環繞天體以中心天體的球心為圓心做勻速圓周運動；環繞天體只受到中心天體的萬有引力作用，這個引力提供環繞天體做勻速圓周運動的向心力.2．人造衛星的加速度、線速度、角速度、周期與軌道半徑的關系可見，衛星運行軌道半徑r與該軌道上的線速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a存在著一一對應的關系，若r、v、ω、Ｔ、a中有一個確定，則其余皆確定，與衛星的質量無關,如所有同步衛星的r、ｖ、ω、T、a大小均相等.3.宇宙速度（1）第一宇宙速度：又叫環繞速度，是發射地球衛星的最小速度，也是近地衛星的速度,還是衛星圍繞地球圓周運動的最大運行速度，大小為7．９kｍ/s.(2）第二宇宙速度:又叫逃逸速度，是人造衛星掙脫地球束縛而成為一顆太陽的人造小行星的最小發射速度，大小為１1。２km/s.(3）第三宇宙速度:是人造衛星掙脫太陽的束縛、而成為一顆繞銀河系中心運行的小恒星的最小發射速度，大小為１6。7kｍ／ｓ。4。“雙星"“雙星”是兩顆相距較近的行星，它們之間的萬有引力對兩者運動都有顯著影響,而其他天體的作用力影響可以忽略。它們之所以沒有被強大的引力吸引到一起而保持一定的距離不變，是因為它們繞著連線上的共同“中心"以相同的角速度做勻速圓周運動,它們之間的萬有引力提供它們做圓周運動的向心力。5．“黑洞"“黑洞”是近代引力理論預言的一種特殊天體，它的密度十分巨大，任何物體都不能脫離它的束縛，即使光子也不能射出。已知逃逸速度(即第二宇宙速度）是環繞速度的eq\r（2）倍,即“黑洞”的第二宇宙速度ｖ＝eq\r（\f(２GM,Ｒ))≥c,故一個質量為M的天體，若它是“黑洞”，則其半徑R應有R≤eq\f(2GM，ｃ2）。要點熱點探究?探究一天體質量和密度的估算問題１。已知環繞天體的周期Ｔ和半徑ｒ，求中心天體的質量等由Gｅq\ｆ(Ｍm，ｒ２)=ｍeq\f（４π2,T２）ｒ可知：只要知道環繞天體的周期T和半徑ｒ,就可求出中心天體的質量M=eq\f（４π２ｒ３,GT2)。設中心天體半徑為R，則V＝ｅq＼ｆ（4，３)πR3，其密度為ρ=ｅq＼f(Ｍ，V），聯立解得：ρ＝eｑ\f(３πr3，GT2R3）.若測得中心天體的近表衛星周期T,此時r＝Ｒ，上式變為ρ=eq\f(３π，GT2）。可見只需要測得中心天體近表衛星的周期,就可以得到中心天體的密度.2.已知星球表面的重力加速度g,求星球質量由在星球表面附近，重力近似等于萬有引力，即mg=Ｇeq＼ｆ(Mm，R2)（黃金代換公式)，可求得星球質量Ｍ＝eq＼f（gＲ2,G），或星球表面的重力加速度g=ｅq＼f(GM，R2）.例1［2０１０·安徽卷］為了對火星及其周圍的空間環境進行探測，我國預計于２01１年1０月發射第一顆火星探測器“螢火一號".假設探測器在離火星表面高度分別為h1和h2的圓軌道上運動時，周期分別為T1和Ｔ2。火星可視為質量分布均勻的球體,且忽略火星的自轉影響,引力常量為G.僅利用以上數據,可以計算出（）A。火星的密度和火星表面的重力加速度B。火星的質量和火星對“螢火一號”的引力C.火星的半徑和“螢火一號”的質量D。火星表面的重力加速度和火星對“螢火一號”的引力點評:專題四萬有引力與天體運動主備人陳世有組長徐健主任孫重社課時萬有引力與天體運動時間2０11年4月變式題[２0１0·北京卷]一物體靜置在平均密度為ρ的球形天體表面的赤道上。已知引力常量為G,若由于天體自轉使物體對天體表面壓力恰好為零，則天體自轉周期為(）A．eq\ｂ\lc\（＼ｒc\)(\a\vs４＼al\ｃo1(\f(４π，3Gρ)））eq\f（１，2)Ｂ．ｅｑ＼b\ｌｃ\（\rc\)(\ａ\vs4\al\co1（\f(３，4πGρ））)ｅq\f(1,２）C.eq\ｂ＼lｃ\（\ｒｃ\)（＼ａ\ｖs4\aｌ\ｃo1(\ｆ(π，Gρ））)eq＼f(１,２）Ｄ.eq＼b\lc\（＼ｒc＼）(＼ａ\vs4\ａl\co1(\f(3π,Ｇρ）)）eｑ＼f(１，２）?探究點二航天器的變軌問題提供天體做圓周運動的向心力是該天體受到的萬有引力F供=Ｇeq\f（Mｍ,ｒ２),天體做圓周運動需要的的向心力是Ｆ需=meｑ\f（ｖ２,ｒ）。當F供=F需時，天體在圓軌道上正常運行；當Ｆ供>Ｆ需時,天體做向心運動;當F供＜Ｆ需時,天體做離心運動。例2［2０１0·江蘇卷］２0０9年5月，航天飛機在完成對哈勃空間望遠鏡的維修任務后,在A點從圓形軌道Ⅰ進入橢圓軌道Ⅱ，B為軌道Ⅱ上的一點，如圖1-4—1所示,關于航天飛機的運動，下列說法中正確的有A。在軌道Ⅱ上經過Ａ的速度小于經過B的速度Ｂ。在軌道Ⅱ上經過A的動能小于在軌道Ⅰ上經過A的動能Ｃ。在軌道Ⅱ上運動的周期小于在軌道Ⅰ上運動的周期Ｄ．在軌道Ⅱ上經過A的加速度小于在軌道Ⅰ上經過A的加速度?探究點三人造衛星問題1．求解天體運動問題的思路（1）在涉及星球做勻速圓周運動的問題時，先確定軌道平面、軌道半徑，再應用萬有引力提供向心力列方程:Geq\f（Mm，ｒ2）＝ｍa=meq\f（ｖ2,r）=ｍω2r=m(eq＼f（2π，T)）2r（向心力的表達形式視條件和所求而定）——可稱為“天上”公式；（２）在星球（半徑R）表面附近，應用重力近似等于萬有引力列方程:Geｑ\ｆ（Ｍm,R2）=mg——可稱為“人間”公式.這兩個公式的組合可稱為“天上人間"公式,能解決絕大部分天體運動問題.2.第一宇宙速度的求法(１）設地球的質量為Ｍ,衛星的質量為ｍ,當人造地球衛星在近地軌道上運行時,軌道半徑近似等于地球的半徑R,即Ｇeq＼f（Mm，R2)=mｅｑ\f（ｖ2，R），故解得：ｖ=eｑ\r(\f（ＧM，R）)＝7.9kｍ/s(２）由衛星剛好繞地球表面運動，重力近似等于萬有引力，ｍg＝ｅq\f（ｍｖ2，R),解出v=eq\r(gR)=7。9km/s。例3200７年10月24日18時０5分,我國成功發射了“嫦娥一號"衛星，若“嫦娥一號”衛星在地球表面的重力為G１,發射后經過多次變軌到達月球表面附近繞月飛行時受月球的引力為Ｇ2,已知地球表面的重力加速度為ｇ，地球半徑為R1,月球半徑為R２,則(）Ａ。“嫦娥一號"衛星在距地面高度等于地球半徑２倍的軌道上做圓周運動時，其速度為v=eq\r(\ｆ(gR１，3））Ｂ．“嫦娥一號”衛星在距地面高度等于地球半徑２倍的軌道上做圓周運動時，其速度為v＝eq\r（\ｆ（Ｇ1Ｒ1，３))Ｃ.“嫦娥一號"衛星到達月球表面附近繞月球做圓周運動時周期為T=2πｅｑ\r（\f(G1R2,Ｇ2ｇ））D。“嫦娥一號”衛星到達月球表面附近繞月球做圓周運動時周期為Ｔ=2πｅｑ＼r(\f(Ｇ2Ｒ２，G1g))變式題：近地人造衛星１和2繞地球做勻速圓周運動的周期分別為Ｔ１和Ｔ２.設在衛星１、衛星2各自所在的高度上的重力加速度大小分別為ｇ１、ｇ2,則（A。eq＼f（ｇ1，g2）＝eｑ＼b＼ｌc\（＼ｒc＼）(\a\vs4＼ａｌ\co1（\f（Ｔ1,T２）））eq＼ｆ（４,3)B。ｅq\f(g1，g2)=eq＼b＼lｃ＼（\ｒc\）(\a＼vｓ４\aｌ＼co1（\f（T２,T1)））eq＼f(4,3)Ｃ.eq\f(g1，g２）=eq\b\lc＼（\rc\)（\a\vs4\ａｌ＼cｏ1(＼ｆ（T１,T２）））2D.eq＼f(g1，g２)=ｅq\b\lｃ＼(\ｒc\）（\a\vs4\al\ｃｏ１（＼f（Ｔ２,T1）））2?探究點四“雙星”問題對“雙星”問題,要抓住兩個相等，即雙星的角速度相等，向心力大小相等。例4［20１0·全國卷Ⅰ]如圖１-４—2所示，質量分別為ｍ和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知Ａ、B的中心和Ｏ三點始終共線,A和B分別在Ｏ的兩側,引力常量為G。(1)求兩星球做圓周運動的周期.（2)在地月系統中,若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球Ａ和Ｂ，月球繞其軌道中心運行的周期記為T１。但在近似處理問題時,常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期Ｔ2.已知地球和月球的質量分別為５．98×1024kg和7。３５×１0２2ｋg。求Ｔ2與T１兩者平方之比。（結果保留３位小數)專題四萬有引力與天體運動主備人陳世有組長徐健主任孫重社課時萬有引力與天體運動時間2011年4月作業1．（基礎題)火星探測項目我國繼神舟載人航天工程、嫦娥探月工程之后又一個重大太空探索項目。假設火星探測器在火星表面附近圓形軌道運行周期為T1，神舟飛船在地球表面附近圓形軌道運行周期為T2，火星質量與地球質量之比為p，火星半徑與地球半徑之比為ｑ,則T1、Ｔ2之比為（)A。eｑ\ｒ(pq3)Ｂ。ｅｑ\r（＼f（1,pq3))Ｃ．eq＼r（＼ｆ（p，q3）)D．eｑ\r（＼f(q３,p）)2。（基礎題）太陽系中的8大行星的軌道均可以近似看成圓軌道。下列４幅圖是用來描述這些行星運動所遵從的某一規律的圖像,圖中坐標系的橫軸是lg（T/ＴO)，縱軸是ｌｇ（R/ＲO）；這里T和R分別是行星繞太陽運行的周期和相應的圓軌道半徑,ＴO和R0分別是水星繞太陽運行的周期和相應的圓軌道半徑.下列4幅圖中正確的是(）３。(綜合題）19７０年４月24日，我國自行設計、制造的第一顆人造地球衛星“東紅一號”發射成功,開創了我國航天事業的新紀元.“東方紅一號”的運行軌道為橢圓軌道，其近地點M和運地點N的高度分別為43９ｋm和２３８4km，則(）Ａ。衛星在Ｍ點的勢能大于N點的勢能Ｂ.衛星在M點的角速度大于N點的角速度C.衛星在M點的加速度大于N點的加速度D.衛星在N點的速度大于7.9ｋm/ｓ4.（綜合題)宇宙飛船以周期為Ｔ繞地地球作圓周運動時，由于地球遮擋陽光，會經歷“日全食"過程，如圖所示。已知地球的半徑為R,地球質量為Ｍ,引力常量為G，地球處置周期為T０,太陽光可看作平行光，宇航員在A點測出的張角為α，則（）A．飛船繞地球運動的線速度為eq\f（２πＲ,Tｓi