高中數學選修1-13.4導數在實際生活中的應用

新課引入:導數在實際生活中有著廣泛的應用,利用導數求最值的方法,可以求出實際生活中的某些最值問題.1.幾何方面的應用.2.物理方面的應用.3.經濟學方面的應用.(面積和體積等的最值)(利潤方面最值)(功和功率等最值)例1在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？解:設箱底邊長為xcm，箱子容積為V=x2h則箱高V′=60x－3x2/2令V′=0，得x=40,x=0(舍去)得V(40)=16000答：當箱底邊長為x=40時,箱子容積最大，最大值為16000cm3．當x∈(0，40)時V′(x)＞0；當x∈(40，60)時V′(x)＜0；∴V(40)為極大值，且為最大值．例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應怎樣選取，才能使所用的材料最省？hR解:設桶底面半徑為R,因為S(R)只有一個極值,所以它是最小值．答：當罐高與底的直徑相等時，所用材料最省．333變式：當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值

S時,它的高與底面半徑應怎樣選取，才能使所用材料最?。刻崾荆篠＝2πRh＋2πR2

h＝V(R)＝πR2＝(S－2πR2)R＝SR－πR3V′(R)＝0

S＝6πR2

6πR2＝2πRh＋2πR2h＝2R．因此，x=2時，I取得極小值，且是最小值．答：在連結兩光源的線段AB上，距光源A為2處的照度最?。獾脁＝2，故當0＜x＜2時，I′(x)＜0；當2＜x＜3時，I′(x)＞0．例5在經濟學中，生產x單位產品的成本稱為成本函數，記為C(x)；出售x單位產品的收益稱為收益函數，記為R(x)；

R(x)－C(x)稱為利潤函數，記為P(x).（1）設C(x)＝10－6x3－0.003x2＋5x＋1000，生產多少單位產品時，邊際成本C′(x)最低?（2）設C(x)＝50x＋10000，產品的單價p＝100－0.01x，怎樣定價可使利潤最大？解：（1）c′(x)＝3×10－6x2－0.006x＋5＝g(x)，

g′(x)＝6×10－6x－0.006＝0，

解得：x＝1000，而g(x)在x＞0上僅有一個極小值，故x＝1000時邊際成本最低．（2）P(x)＝R(x)－C(x)＝x(100－0.01x)－(50x＋10000)＝－0.01x2＋50x－10000，

x＝2500，而P(x)最大，此時P＝100－25＝75．答：生產1000個單位產品時，邊際成本最低；當生產的單價為75時，利潤最大．變式

已知某商品生產成本C與產量q的函數關系式為C＝100＋4q，價格p與產量q的函數關系式為：，求產量q為何值時，利潤L最大？分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產量乘價格．由此可得出利潤L與產量q的函數關系式，再用導數求最大利潤．解：收入答：產量為84時，利潤L最大．令，即，求得惟一的極值點利潤＋四、課堂練習1．將正數a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應分成________和________．2．在半徑為R的圓內，作內接等腰三角形，當底邊上高為____時，它的面積最大．3．有一邊長分別為8與5的長方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起作成一個無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問剪去的小正方形邊長應為多少？4．一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得濕周l＝AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h和下底邊長b.

五、回顧反思（1）解有關函數最大值、最小值的實際問題，需要分析問題中各個變量之間的關系，找出適當的函數關系式，并確定函數的定義區間；所得結果要符合問題的實際意義．（2）根據問題的實際意義來判斷函數最值時，如果函數在此區間上只有一個極值點，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較．（3）相當多有關最值的實際問題用導數方法解決較簡單．六、課外作業1．課本第96頁第1，2，3，4題．2．補充練習：

為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：