數列的概念收斂數列的性質小結思考題作業數列極限的概念概念的引入數列的極限函數與極限1一、概念的引入

極限概念是從常量到變量,從有限到無限,

即從初等數學過渡到高等數學的關鍵.

極限的思想源遠流長.莊子(約公元前355~275年)在《天下篇》“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.意思是:一尺長的棍子,第一天取其一半,第二天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半,這樣永遠也取不完.數列的極限

中寫道:2劉徽(三世紀)的“割圓術”中說:意思是:設給定半徑為1尺的圓,從圓內接正6邊形開始,每次把邊數加倍,屢次用勾股定理.求出正12邊形、……等等正多邊形的邊長,正24邊形.邊數越多,圓內接正多邊形越與圓接近,最后與圓周重合,則正多邊形周長與圓周長就沒有誤差了.數列的極限

“割之彌細,所失彌少.割之又割,以至不可割,則與圓周合體,而無所失矣.”3正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積數列的極限4如定義按照自然數的順序排列的一列數簡記為通項(generalterm),或者一般項.數列的極限二、數列(sequenceofnumber)

的概念5可看作一動點在數軸上依次取數列的(兩種)幾何表示法:數列可看作自變量為正整數n的函數:整標函數或下標函數(1)數列對應著數軸上一個點列.數列的極限6(2)在平面上畫出自變量坐標軸和因變量坐標軸,注

不可將這串點連成曲線.onxn····1234則數列的幾何意義是數列的極限平面上一串分離的點.7三、數列極限的概念即問題當無限增大時,是否無限接近于某一確定的數值?如果是,當n無限增大時,無限接近于1.數列的極限如何確定?8如何用數學語言刻劃它.可以要多么小就多么小,則要看?“無限接近”意味著什么?只要n充分大,小到什么要求.數列的極限當n無限增大時,無限接近于1.9數列的極限10定義如果對于任意給定的正數(不論它多么小),總存在正整數N,

使得對于時的一切不等式成立.

收斂于a(convergetoa).或稱數列記為或那末就稱常數a是數列的極限(limit),如果數列沒有極限,就說數列發散(diverge).數列的極限11注{xn}有沒有極限,一般地說,但是一旦給出之后,它就是確定了;主要看“后面”的無窮多項.定義

采用邏輯符號將的定義可縮寫為:數列的極限(1)(2)(3)(4)“前面”的有限項不起作用,;的無限接近與刻劃了不等式axaxnne<-;,將越大越小Ne12數列極限的幾何意義數列極限的定義通常是用來進行推理注需要預先知道極限值是多少.和證明極限,而不是用來求極限,因為這里數列的極限即,),(內都落在所有的點ee+-aaxn13例所以,證

雖然是可以任意小的正數,但使用定義證題時,對于給定的總暫時認為它是固定的,按照這個找出使不等式成立的N.

解不等式數列的極限14例證明數列以0為極限.證要使由于有

為了簡化解不等式的運算,常常把作適當地放大.數列的極限用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.15例證所以,說明常數列的極限等于同一常數.數列的極限16例證為了使只需使數列的極限171.有界性如,有界;無界.定義若存在正數M,數n,恒有稱為無界.則稱數列有界;

數軸上對應于有界數列的點都落在閉區間上.否則,使得一切自然數列的極限四、收斂數列的性質18定理1證由定義,有界性是數列收斂的必要條件,推論注收斂的數列必定有界.數列的極限無界數列必定發散.不是充分條件.192.唯一性定理2證由定義,故收斂數列極限唯一.每個收斂的數列只有一個極限.數列的極限才能成立.使得20例證區間長度為1.不可能同時位于長度為1的區間內.數列的極限

反證法假設數列收斂，

則有唯一極限a存在.但卻發散.21數列的極限3.保號性定理3如果且證由定義,對有

從而推論如果數列從某項起有且那么用反證法22在數列中依次任意抽出無窮多項:所構成的新數列這里是原數列中的第項,在子數列中是第k項,4.收斂數列與其子數列(subsequence)間的關系子數列.叫做數列數列的極限?23*********************證是數列的任一子數列.若則成立.現取正整數

K,使于是當時,有從而有由此證明*********************定理4設數列數列的極限正整數

K收斂數列的任一子數列收斂于同一極限.24

由此定理可知,但若已知一個子數列發散,或有兩個子數列斂于a.收斂于不同的極限值,可斷定原數列是發散的.數列的極限一般不能斷定原數列的收斂性;還可以證明:數列的奇子數列和偶子數列均收斂于同一常數a時,則數列也收僅從某一個子數列的收斂(證明留給做作業)25例試證數列不收斂.證因為的奇子數列不收斂.收斂于而偶子數列所以數列數列的極限

收斂于26數列數列極限收斂數列的性質收斂數列與其子數列間的關系.五、小結數列的極限研究其變化規律;極限思想,精確定義,幾