2022年福建省寧德市東橋經濟開發區中學高二數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.數列{an}中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首項為1、公比為的等比數列，則an等于（）A．（1－） B．（1－）C．（1－） D．（1－）參考答案：A略2.已知雙曲線E的中心為原點，P（3，0）是E的焦點，過P的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N（﹣12，﹣15），則E的方程式為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】雙曲線的標準方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】已知條件易得直線l的斜率為1，設雙曲線方程，及A，B點坐標代入方程聯立相減得x1+x2=﹣24，根據=，可求得a和b的關系，再根據c=3，求得a和b，進而可得答案．【解答】解：由已知條件易得直線l的斜率為k=kPN=1，設雙曲線方程為，A（x1，y1），B（x2，y2），則有，兩式相減并結合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，從而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故選B．3.河中的船在甲、乙兩地往返一次的平均速度是V，它在靜水中的速度是u，河水的速度是v(u>v>0)，則（

）（A）V=u

（B）V>u

（C）V<u

（D）V與u的大小關系不確定參考答案：C4.從一塊短軸成為2m的橢圓形板材中截取一塊面積最大的矩形，若橢圓的離心率為e，且e∈[，]，則該矩形面積的取值范圍是（）A．[m2，2m2] B．[2m2，3m2] C．[3m2，4m2] D．[4m2，5m2]參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質．【分析】在第一象限內取點（x，y），設x=acosθ，y=bsinθ，表示出圓的內接矩形長和寬，可得矩形的面積，由e∈[，]，∴?2b≤a≤，得：4b2≤2ab≤5b2即可【解答】解：在第一象限內取點（x，y），設x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）則橢圓的內接矩形長為2acosθ，寬為2bsinθ，內接矩形面積為2acosθ?2bsinθ=2absin2θ≤2ab，橢圓的離心率為e，且e∈[，]，∴?2b≤a≤，得：4b2≤2ab≤5b2，矩形面積的取值范圍是[4m2，5m2]．故選：D．5.設P是雙曲線與圓在第一象限的交點，F1，F2分別是雙曲線的左，右焦點，若，則雙曲線的離心率為（

）．A. B. C. D.參考答案：B【分析】先由雙曲線定義與題中條件得到，，求出，，再由題意得到，即可根據勾股定理求出結果.【詳解】解：根據雙曲線定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，在中，，得．故選B．

6.如圖所示，AB為⊙O直徑，CD切⊙O于D，AB延長線交CD于點C，若∠CAD＝25°，則∠C為A．45°

B．40°

C．35°

D．30°參考答案：B7.面積為Q的正方形，繞其一邊旋轉一周，則所得幾何體的側面積為

（

）A.Q

B.2Q

C.3Q

D.4Q參考答案：B8.已知等差數列的前項和為，若，則數列的公差是

（

）

A．

B．1

C．2

D．3參考答案：B略9.在長方體中，與對角線異面的棱有（

）A.3條

B.4條

C.5條

D.6條參考答案：D10.數列是等差數列，，其中，則通項公式A、

B、

C、

D、或

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等比數列中，若且，則的值為

．參考答案：略12.兩個向量，的夾角大小為

.參考答案：13.設O為坐標原點，向量，，，點Q在直線OP上運動，則當取得最小值時，點Q的坐標為（）．參考答案：【考點】空間向量的數量積運算．【分析】由已知中O為坐標原點，向量，，，點Q在直線OP上運動，我們可以設=λ=（λ，λ，2λ），求出向量，的坐標，代入空間向量的數量積運算公式，再根據二次函數的性質，可得到滿足條件的λ的值，進而得到點Q的坐標．【解答】解：∵，點Q在直線OP上運動，設=λ=（λ，λ，2λ）又∵向量，，∴=（1﹣λ，2﹣λ，3﹣2λ），=（2﹣λ，1﹣λ，2﹣2λ）則?=（1﹣λ）×（2﹣λ）+（2﹣λ）×（1﹣λ）+（3﹣2λ）×（2﹣2λ）=6λ2﹣16λ+10易得當λ=時，取得最小值．此時Q的坐標為（）故答案為：（）14.是數列｛｝的前n項和,,那么數列｛｝的通項公式為_________________.（原創題）參考答案：15.甲、乙、丙、丁四人分別去買體育彩票各一張，恰有一人中獎．他們的對話如下，甲說：“我沒中獎”；乙說：“我也沒中獎，丙中獎了”；丙說：“我和丁都沒中獎”；丁說：“乙說的是事實”．已知四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，由此可判斷中獎的是

．參考答案：乙16.已知直線與雙曲線的右支相交于不同兩點，則的取值范圍是

參考答案：略17.已知i為虛數單位，設z=1+i+i2+i3+…+i9，則|z|=．參考答案：【考點】A1：虛數單位i及其性質．【分析】利用等比數列的前n項和化簡，再由虛數單位i的運算性質得答案．【解答】解：∵z=1+i+i2+i3+…+i9==1+i．∴|z|=．故答案為：．【點評】本題考查虛數單位i的運算性質，考查等比數列的前n項和的應用，是基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知圓C的圓心在坐標原點，且與直線l1：x﹣y﹣2=0相切（Ⅰ）求直線l2：4x﹣3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長．（Ⅱ）過點G（1，3）作兩條與圓C相切的直線，切點分別為M，N，求直線MN的方程（Ⅲ）若與直線l1垂直的直線l與圓C交于不同的兩點P，Q，若∠POQ為鈍角，求直線l縱截距的取值范圍．參考答案：【考點】直線與圓的位置關系．【分析】（Ⅰ）由直線與圓相交的性質可知，（）2=r2﹣d2，要求AB，只要求解圓心到直線4x﹣3y+5=0的距離．即可求直線l2：4x﹣3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長．（Ⅱ）求出圓C的方程以及以G（1，3）為圓心，QM為半徑的圓，利用圓系方程求直線MN的方程．（Ⅲ）設直線l的方程為：y=﹣x+b聯立x2+y2=4，設直線l與圓的交點P（x1，y1），Q（x2，y2），利用△＞0，以及韋達定理，通過∠POQ為鈍角，求出﹣2＜b＜2，當與反向共線時，直線y=﹣x+b過原點，此時b=0，不滿足題意，即可得到結果．【解答】解：（Ⅰ）由題意得：圓心（0，0）到直線l1：x﹣y﹣2的距離為圓的半徑，r==2，所以圓C的標準方程為：x2+y2=4，…所以圓心到直線l2的距離d=

…∴…（Ⅱ）因為點G（1，3），所以，所以以G點為圓心，線段GM長為半徑的圓G方程：（x﹣1）2+（y﹣3）2=6（1）又圓C方程為：x2+y2=4（2），由（1）﹣（2）得直線MN方程：x+3y﹣4=0…（Ⅲ）設直線l的方程為：y=﹣x+b聯立x2+y2=4得：2x2﹣2bx+b2﹣4=0，設直線l與圓的交點P（x1，y1），Q（x2，y2），由△=（﹣2b）2﹣8（b2﹣4）＞0，得b2＜8，x1+x2=b，（3）…因為∠POQ為鈍角，所以，即滿足x1x2+y1y2＜0，且與不是反向共線，又y1=﹣x1+b，y2=﹣x2+b所以（4）由（3）（4）得b2＜4，滿足△＞0，即﹣2＜b＜2，…當與反向共線時，直線y=﹣x+b過原點，此時b=0，不滿足題意，故直線l縱截距的取值范圍是﹣2＜b＜2，且b≠0

…19.已知曲線C上任意一點到定點A(1，0)與定直線x=4的距離之和等于5。對于給定的點B(b，0)，在曲線上恰有三對不同的點關于點B對稱，求b的取值范圍。

參考答案：解析：設動點M(x，y)，則+|x–4|=5，得y2=4x（0≤x≤4）或y2=–16x+80（4≤x≤5），設P(x1，y1)，Q(x2，y2)關于點B對稱，且0<x1<4，4<x2<5，則有，可得到x2=，∴4<<5，∴<b<420.已知數列{an}是等差數列，其前n項和為Sn，且滿足a1+a5=10，S4=16；數列{bn}滿足：b1+3b2+32b3+．．．+3n﹣1bn=，（n∈N*）．（Ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式；（Ⅱ）設cn=anbn+，求數列{cn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數列的求和；數列遞推式．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列．【分析】（Ⅰ）通過聯立a1+a5=10、S4=16可知首項和公差，進而可知an=2n﹣1；通過作差可知當n≥2時bn=，進而可得結論；（Ⅱ）通過（I）及錯位相減法計算可知數列{anbn}的前n項和和為Pn=1﹣（n+1），通過裂項、利用并項相加法可知數列{}的前n項和Qn=，進而計算可得結論．【解答】解：（Ⅰ）依題意，，解得：，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；∵b1+3b2+32b3+…+3n﹣1bn=，∴b1+3b2+32b3+…+3n﹣2bn﹣1=（n≥2），兩式相減得：3n﹣1bn=﹣=，∴bn=（n≥2），又∵b1=滿足上式，∴數列{bn}的通項公式bn=；（Ⅱ）記pn=anbn=（2n﹣1），其前n項和和為Pn，則Pn=1?+3?+…+（2n﹣1），Pn=1?+3?+…+（2n﹣3）+（2n﹣1），兩式相減得：Pn=+2（++…+）﹣（2n﹣1）=2?﹣﹣（2n﹣1）=[1﹣（n+1）]，∴Pn=1﹣（n+1），∵qn===（﹣），∴其前n項和Qn=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∵cn=anbn+，∴Tn=Pn+Qn=1﹣（n+1）+．【點評】本題考查數列的通項及前n項和，考查錯位相減法、裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．21.如圖,已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為8，側棱長為6，D為AC中點。（1）求證：直線AB1∥平面C1DB；（2