第四章4.2.4

第二課時(shí)離散型隨機(jī)變量的方差123456789101112131415A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)二]設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,且期望E(X)=3,p=,則方差D(X)等于(

)C解析

由于二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望E(X)=np=3,所以二項(xiàng)分布的方差D(X)=np(1-p)=,故選C.1234567891011121314152.[探究點(diǎn)一]已知隨機(jī)變量X的分布列為

A123456789101112131415A1234567891011121314151234567891011121314154.[探究點(diǎn)二]設(shè)隨機(jī)變量X,Y滿足Y=4X+1,X~B(2,p),若P(X≥1)=,則D(Y)=(

)A. B.3 C.6 D.8C1234567891011121314155.[探究點(diǎn)一·2023吉林長(zhǎng)春高二階段練習(xí)](多選題)設(shè)0<p<1,已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表,則下列結(jié)論正確的是(

)ξ012Pp-p2p21-pA.P(ξ=0)<P(ξ=2)B.P(ξ=2)的值最大C.E(ξ)隨著p的增大而增大AD1234567891011121314151234567891011121314156.[探究點(diǎn)一]已知隨機(jī)變量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,則P(X=2)=

.(結(jié)果用數(shù)字表示)

1234567891011121314157.[探究點(diǎn)二]若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0<p<1),用隨機(jī)變量X表示事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),則方差D(X)的最大值為

;的最大值為

.

123456789101112131415解析

隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,由題意,得X的分布列為

X01P1-pp,從而E(X)=0×(1-p)+1×p=p,D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.123456789101112131415B級(jí)關(guān)鍵能力提升練8.(多選題)袋子中有2個(gè)黑球,1個(gè)白球,現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次,取到白球記0分,黑球記1分,記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X,則(

)ACD1234567891011121314151234567891011121314151234567891011121314159.將3個(gè)完全相同的小球放入3個(gè)盒子中,盒子的容量不限,且每個(gè)小球落入盒子的概率相等.記X為分配后所?？蘸械膫€(gè)數(shù),Y為分配后不空盒子的個(gè)數(shù),則(

)A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)C123456789101112131415123456789101112131415D12345678910111213141512345678910111213141511.某人共有三發(fā)子彈,他射擊一次命中目標(biāo)的概率是,擊中目標(biāo)后射擊停止,射擊次數(shù)X為隨機(jī)變量,則方差D(X)=

.

12345678910111213141512345678910111213141512.已知袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的5個(gè)球,其中3個(gè)黑球和2個(gè)白球,從袋中無放回地隨機(jī)取出3個(gè)球,記取出黑球的個(gè)數(shù)為X,則E(X)=

,D(X)=

.

12345678910111213141512345678910111213141513.某財(cái)經(jīng)雜志發(fā)起一項(xiàng)調(diào)查,旨在預(yù)測(cè)某地經(jīng)濟(jì)前景,隨機(jī)訪問了100位業(yè)內(nèi)人士,根據(jù)被訪問者的問卷得分(滿分10分)將經(jīng)濟(jì)前景預(yù)期劃分為三個(gè)等級(jí)(悲觀、尚可、樂觀).分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)及這100位被訪問者得分頻數(shù)分布情況如下:經(jīng)濟(jì)前景等級(jí)悲觀尚可樂觀問卷得分12345678910頻數(shù)23510192417974假設(shè)被訪問的每個(gè)人獨(dú)立完成問卷(互不影響),根據(jù)經(jīng)驗(yàn),這100位人士的意見即可代表業(yè)內(nèi)人士意見,且他們預(yù)測(cè)各等級(jí)的頻率可估計(jì)未來經(jīng)濟(jì)各等級(jí)發(fā)生的可能性.123456789101112131415(1)該雜志記者又隨機(jī)訪問了兩名業(yè)內(nèi)人士,試估計(jì)至少有一人預(yù)測(cè)該地經(jīng)濟(jì)前景為“樂觀”的概率;(2)某人有一筆資金,現(xiàn)有兩個(gè)備選的投資意向:物聯(lián)網(wǎng)項(xiàng)目或人工智能項(xiàng)目,兩種投資項(xiàng)目的年回報(bào)率都與該地經(jīng)濟(jì)前景等級(jí)有關(guān),根據(jù)經(jīng)驗(yàn),大致關(guān)系如下(正數(shù)表示贏利,負(fù)數(shù)表示虧損):經(jīng)濟(jì)前景等級(jí)樂觀尚可悲觀物聯(lián)網(wǎng)項(xiàng)目年回報(bào)率/%124-4人工智能項(xiàng)目年回報(bào)率/%75-2根據(jù)以上信息,請(qǐng)分別計(jì)算這兩種投資項(xiàng)目的年回報(bào)率的期望與方差,并用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)給出投資建議.123456789101112131415

123456789101112131415設(shè)投資物聯(lián)網(wǎng)和人工智能項(xiàng)目年回報(bào)率的期望分別為E(X1),E(X2),方差分別為D(X1),D(X2),則E(X1)=0.2×12%+0.7×4%+0.1×(-4%)=4.8%,E(X2)=0.2×7%+0.7×5%+0.1×(-2%)=4.7%,D(X1)=0.2×(12%-4.8%)2+0.7×(4%-4.8%)2+0.1×(-4%-4.8%)2=0.001

856,D(X2)=0.2×(7%-4.7%)2+0.7×(5%-4.7%)2+0.1×(-2%-4.7%)2=0.000

561.∵E(X1)>E(X2),∴投資物聯(lián)網(wǎng)項(xiàng)目比投資人工智能項(xiàng)目平均年回報(bào)率要高,但二者相差不大.∵D(X1)>D(X2),∴投資人工智能項(xiàng)目比投資物聯(lián)網(wǎng)項(xiàng)目年回報(bào)率穩(wěn)定性更高,風(fēng)險(xiǎn)要小,∴建議投資人工智能項(xiàng)目.123456789101112131415C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練14.已知m,n均為正數(shù),隨機(jī)變量X的分布列如下表:X012Pmnm則下列結(jié)論一定成立的是(

)A.P(X=1)<P(X≠1) B.E(X)=1C.mn≤ D.D(X+1)<1BCD12345678910111213141512345678910111213141515.某早餐店對(duì)一款新口味的酸奶進(jìn)行了一段時(shí)間試銷,定價(jià)為5元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應(yīng),每天的銷售數(shù)據(jù)按照[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計(jì)概率.試銷結(jié)束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱50瓶,批發(fā)成本85元;小箱每箱30瓶,批發(fā)成本65元.由于酸奶保質(zhì)期短,當(dāng)天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計(jì)算時(shí)每個(gè)分組取中間值作為代表,比如銷量為(45,55]時(shí)看作銷量為50瓶).123456789101112131415(1)設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量X,批發(fā)一小箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量Y,求X和Y的分布列;(2)從早餐店的收益角度和利用所學(xué)的知識(shí)作為決策依據(jù),該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱?(必須作出一種合理的選擇)123456789101112131415解

(1)若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為85元,依題意,銷量有20,30,40,50四種情況.當(dāng)銷量為20瓶時(shí),利潤(rùn)為5×20-85=15元,當(dāng)銷量為30瓶時(shí),利潤(rùn)為5×30-85=65元,當(dāng)銷量為40瓶時(shí),利潤(rùn)為5×40-85=115元,當(dāng)銷量為50瓶時(shí),利潤(rùn)為5×50-85=165元.隨機(jī)變量X的分布列為X1565115165P0.30.40.20.1123456789101112131415若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為65元,依題意,銷量有20,30兩種情況.當(dāng)銷量為20瓶時(shí),利潤(rùn)為5×20-65=35元,當(dāng)銷量為30瓶時(shí),利潤(rùn)為5×30-65=85元.隨機(jī)變量Y的分布列為Y3585P0.30.7123456789101112131415(2)根據(jù)(1)中的計(jì)算結(jié)果,所以E(X)=15×0.3+65×0.4+115×0.2+165×0.1