向量的數量積和坐標運算是兩個非零向量，它們的夾角為，則數叫做與的數量積〔或內積〕，記作，即其幾何意義是的長度與在的方向上的投影的乘積.其坐標運算是：假設，則①；②；③④1.2.異面直線所成的角圖1分別在直線上取定向量則異面直線所成的角等于向量所成的角或其補角〔如圖1所示〕，則圖11.3.異面直線的距離分別在直線上取定向量求與向量都垂直的向量，分別在上各取一個定點，則異面直線的距離等于在上的射影長，即.1.4.直線與平面所成的角在上取定，求平面的法向量〔如圖2所示〕，再求，則為所求的角.圖3圖3甲方法一：構造二面角的兩個半平面的法向量〔都取向上的方向，如圖3所示〕，則假設二面角是“鈍角型〞的如圖3甲所示，則其大小等于兩法向量的夾角的補角，即〔例如2004年高考數學**卷第18題第〔1〕問〕.圖3乙圖3乙假設二面角是“銳角型〞的如圖3乙所示，則其大小等于兩法向量的夾角，即圖4方法二：在二面角的棱上確定兩個點，過分別在平面內求出與垂直的向量〔如圖4所示〕，則二面角的大小等于向量的夾角，即圖41.6.平面外一點到平面的距離圖5先求出平面的法向量，在平面內任取一定點，則點到平面的距離等于在上的射影長，即.圖5練習1．在長方體中，和與底面所成的角分別為和，則異面直線和所成角的余弦值為．2.如圖，正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為〔〕A． B． C． D．3．，在四面體S-ABC中，E、F、G、H、M、N分別是棱SA、BC、AB、SC、AC、SB的中點，且EF=GH=MN,求證：.4．如圖2，正三棱柱的底面邊長為，側棱長為，求與側面所成的角．5．如圖3，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側棱分別是與的中點，點在平面上的射影是的重心，求點到平面的距離．6．正方體的棱長為2，分別是上的動點，且，確定的位置，使．7．如圖4，在底面是直角梯形的四棱錐中，，面，，求面與面所成二面角的正切值．AAEBCFSD7.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側棱底面分別為的中點．〔1〕證明平面；〔2〕設，求二面角的大小的余弦值．8．(本小題總分值14分)如圖，三棱柱,,.(Ⅰ)求證：；〔Ⅱ〕求異面直線；〔Ⅲ〕求點9、如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點.〔1〕求證：PO⊥平面ABCD；〔2〕求異面直線PB與CD所成角的余弦值大小；〔3〕線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？假設存在，求出的值；假設不存在，請說明理由.10．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2。E是CC1〔1〕求銳二面角D-B1E-B的余弦值〔2〕試判斷AC與面DB1E的位置關系，并說明理由。〔3〕設M是棱AB上一點，假設M到面DB1E的距離為SKIPIF1<0，試確定點M的位置。11如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分別是BC,PC的中點.〔Ⅰ〕證明：AE⊥PD;〔Ⅱ〕假設H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值.12．長方體ABCD-A1BlClD1中，AB=2，AD=1，AA1=，E、F分別是AB、CD的中點(1)求證：DlE⊥平面ABlF；(2)求直線AB與平面ABlF所成的角(3)求二面角A-B1F-B13．如圖，三棱錐P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB． (=1\*ROMANI)求證：AB平面PCB； (=2\*ROMANII)求異面直線AP與BC所成角的大小； (=3\*ROMANIII)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．課外練習AEDCBA1FD1C1B11．如右下列圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AAAEDCBA1FD1C1B1〔1〕求二面角C-DE-C1的正切值； 〔2〕求直線EC1與FD1所成的余弦值．2，如圖四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0〔Ⅰ〕求異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF