2021屆浙江省杭州市高級中學高三下學期高考仿真模擬數學試題

一、單選題

22

1.橢圓工+二=1的離心率為（）

49

A.3B.-C.叵D.—

3333

答案：C

根據橢圓方程求/，b；c2,再求離心率.

解：由橢圓方程可知/=9,從=4,所以-層=5,

橢圓的離心率e=￡=好.

a3

故選：C

2.已知復數z=l+2i,i為虛數單位，貝lJ」一+-L=（）

z—lZ+l

A34.D34.43-

555555

答案：A

根據復數代數形式的除法計算可得;

解：解:因為z=l+2i,所以---；----=-----；--；T-----;--;=----1-----;

z—/z+zl+2i—il+2i+i1+Z1+3z

l-il-3z

0+i)(j)+(+3i)(l—3i)

\-il-3z34.

-------1---------=--------1

21055

故選：A

x+y>\,

3.已知實數x,>滿足則z=2x-y的最大值為（）

”1，

A.-1B.0C.1D.2

答案：D

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標

代入目標函數，即可得到結果.

解：由約束條件畫出可行域如圖，

化目標函數z=2x-y為y=2x-z,由圖可知當直線y=2x-z過點(1,0)時，直線在y軸上的截距最

小，z取得最大值2.

故選:D.

4.某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

F—2^2—H

側視圖

C.8D.16

根據三視圖知該幾何體是三棱錐且一個側面與底面垂直，再根據椎體的體積公式，即可求出該幾何

體的體積.

由三視圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其高為2,底面三角形的高為20，

該幾何體的體積為gx，x4夜X20X2=￡.

323

故選：B

【點睛】方法點睛：由三視圖還原幾何體，要弄清楚幾何體的特征，把三視圖中的數據、圖形特點

準確地轉化為對應幾何體中的線段長度、圖形特點，再進行計算.

5.設4=｛（*,丫）,=丘｝,B=｛（x,y）|y=j21卜貝ij“一1”是“”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：B

根據Ac3w0,可知方程履=01二T在［；,內）有解，求出人的范圍，再根據充分條件和必要條件

判斷即可.

解：因為AC8W0,所以產"與y=J2x-1有交點,即方程履=,2x-l在g,m）有解,

所以卜=立亙=71^=『（，_1］+1,所以04女41,

故“-1M"1”是“O"V1”的必要不充分條件.

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是將AcB#0轉化為方程依=7^7二T在［；,+8）有解來處理，同

時要注意x的取值范圍.

6.已知在盒中有編號分別為1,2,3,4的紅色、黃色、白色的球各4個，現從中任意摸出4個球,

則摸出白球個數的期望是（）

12「45

A.-B.一C.一D.一

3333

答案：C

設摸出的白球的個數為x,則x=0,l,2,3,4,再求出對應的概率即得解.

解：設摸出的白球的個數為x,則x=0,l,2,3,4,

所以蛆=0）=烏=好；P（x=l）=^-=—;

G99G；495

「「2）=管嘿;蛆=3卜罟噎

1

尸(x=4)=

12495

所以摸出白球個數的期望是E(x)=Ox〃+lx型+2x當+3x四+4x—!—=&.

994954954954953

故選：C

【點睛】方法點睛：求離散型隨機變量的期望的一般步驟是：(1)寫出離散型隨機變量的取值；(2)

求出隨機變量對應的概率；(3)利用公式求期望.

7.函數y=(M+產品Bsin號的圖像大致是()

由0<x<2時/(幻>0,排除B和C；再探究出函數/(x)的圖象關于直線x=l對稱，排除D.

解：當0<x<2時，sin^>0,所以y=/(x)=(洞+產引卜皿卷>0,故排除B和C；

又/(2一x)=(廨刁+桐卜in旦”=(振刁+桐卜ine=f(x),所以函數fM的圖象關于直

線x=l對稱，排除D.

故選：A.

【點睛】方法點睛：解決函數圖象的識別問題的技巧：一是活用性質，常利用函數的定義域、值域、

單調性與奇偶性來排除不合適的選項；二是取特殊點，根據函數的解析式選擇特殊點，即可排除不

合適的選項，從而得出正確的選項.

8.已知函數/(x)=(x-〃)(x-勿+x,其中0<“<力<1,則下列不等式不成立的是()

A.f(癡<若B.以&)>箍C.D.

答案：B

通過圖象，判斷選項A,構造函數g(x)=/(x)—x=(x—a)(x—b),判斷g(而)<0,判斷選項8,

通過比較誓，“力與對稱軸的距離，比較大小.

解：/(?)=f(b)=b,且/⑷<〃6),函數是開口向上的拋物線,

如圖,

\-0<a<b<\,:.0<a<4ab<b<\且〃

等是點C對應的函數值，一定大于石），即故A正確;

設g（x）=/（x）_x=（%-a）（工一人），

\-0<a<b<\,:.0<a<\fab<6<1,

g^yfah^=f[4ab^-\[ab<0

即/（疝/，石，即B不正確.

/（x）=（x-?）（x-Z?）+x=x2-（a+力-l）x+ab,

對稱軸是、=空羅，

學與對稱軸間的距離是3，。與對稱軸間的距離是佇羅<《，b與對稱軸間的距離是

b-a+l1

-2—>2,

那么比較/（學）與/（a）,/（力）的大小，即比較與自變量與對稱軸間的距離，離對稱軸越遠，函

數值越大，即/（等）>”“）=”，/（學卜/伍）=6,故CD正確.

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：本題考查二次函數的圖象與基本不等式結合的綜合應用，本題的關鍵是理解

并掌握二次函數圖象的應用.

9.在數列｛七｝中，加4%了.,n>\,設其前n項和為5“，則下列命題正確的是（）

A.不。一%之10（工2一玉）B.9x,+x10<510<Xj+9x10

^.x.+x,「竹幾ri-〃（〃+l）

C?―I-"9-D?若當討一怎=-則S〃>%+|-----------

2n+\2

答案：D

依題意可得設x,,.「x.=4,,即可判斷A,利用特殊值法判斷B、C,由

加-%=」7>0，可得卜“｝遞增,根據

n+\

一S〃=%+2（w-%）+3（七一工2）+…+“（X”一）+（"+1）（X,用一x“）一（"+l）x?+l即可證明D；

解：解：由茗出44+：*2得七向一%4x,,+2-x“|,設x,用-x“=4，

則44…44，芭。一再=4+&+…+&N94=9（々一可），故A錯.

取士=10,玉。=1,知B錯，氏=3時,數列10,9,8,7,6,5不滿足,知C錯.

對于D,由斗+i-4二上；〉。，知｛4｝遞增，%,<xll+l

-Sn=x,+2（x2-x1）+3（x3-x2）+---+n（xn-x,.,）+（?+l）（xn+l-xn）-（n+l）x?+l

?-z?、n（n+1）

=x\+1+2+???+〃一（〃+1）為向<----町用

所以S〃>九J,」-約詈，知D正確；

故選：D

10.正2021邊形A4…4⑼內接于單位圓0,任取它的兩個不同的頂點A，A,,構成一個有序點

對（4,4）,滿足I兩+砥IN1的點對（A，a）的個數是（）

A.2021x673B.2021x674C.2021x1346D.2021x1348

答案：C

先通過向量模的運算公式，可以計算出cosez-；,即，4多，既可以得出答案.

解：|弧+西f=2+2cos，21,cos”，所以弧，西■的夾角不超過~,對于任意給定的0At，

27r27r—>._

因為年+蠢=673.66,滿足|。4,+。43的向量04的取法共有673x2=1346,再讓麗國起

來，可得點對（4,A）的個數是2021x1346,

故選:C.

二、填空題

11.在三棱錐。-ABC中，AABC是邊長為2的等邊三角形，DA=DB=0，二面角D-AB-C為

120°,則三棱錐。-A8C外接球的半徑為.

答案：—

3

取的中點E,連結CE,DE,找到二面角O-AB-C的平面角，根據球心。與三角形外心連線

垂直于三角形所在平面，再結合勾股定理，即可求出三棱錐O-ABC外接球的半徑.

取A8的中點E,連結CE,DE,又DA=DB,CA=CB,所以￡>E_LAB,CEA.AB,

所以NCE￡>為二面角的平面角，又二面角D-AB—C為120,所以NCEZ)=12(T,

因為DA=DB=亞,AB=2,所以AB?=+臺。?，所以A￡)J_￡)3,

所以為直角三角形，在平面8co內過E作OE的垂線，則該直線垂直于平面A8￡),

設AABC的外心為。-在平面88內過。1作CE的垂線，設兩垂線交于。，則。為三棱錐O-MC

外接球的球心,

又NCED=12(T,0E1ED,所以NOEO|=30,又CE=4CA-缶==/,

又在R/AOQE中，0、E=；CE=*,所以。。=0Etan/OEa=gtan30=；,

在MA0?C中，cq=|cE=￥，所以0C=1℃2+00；=Jg+g=半,

所以三棱錐D-ABC外接球的半徑為巫.

3

故答案為：

3

【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是正確找出球心的位置，通過勾股定理計算出求的半徑.

12.設函數y=sinm在上"+1］上的最大值為例⑺，最小值為N⑺，則M(f)-NQ)在14鵬(上最

大值為一.

答案：1

-391「391(E

依題意可得函數在上單調遞減，則山+1仁：三,所以M?)-N?)=-cos:+三，即可

|_22」|_22」<36；

求出函數的最大值；

解：解：函數y=sin?的周期為6,函數y=sin^在上單調遞減，

JJL//_

當3時7，山+1仁「仁3/9一

“/、―/、.7t.4?+1)(乃f乃、.(乃、(7tt7l\

=sin----sin-------=2cos---F—sin---=-cos——+—

33I36Ji6JI36)

因為所以耳wgf+Ewf,所以一14cos+

223363\3oy2

所以gwM⑺-N(f)41

當時取最大值1

2

故答案為：1

13.在四邊形ABCD中，已知A(-l,()),8(2,0),ZABC^2ZBAC,\DB\=2\DA[,若C,D兩點關

于y軸對稱，則|cq=

答案：3

2k町即告/備卜2皆=。，整理即可得到△■的

設C(x,y),依題意可得心c+匚志

頂點C的軌跡方程，由|OB|=2|D4|,設。(x,y),求出。的軌跡方程，再將D的軌跡方程沿y軸翻

折得到(x-2)2+V=4(ywO),與雙曲線求交點坐標，即可得解;

解：解：設C(x,y),(x>0),由ZABC^2ZBAC得tanZABC=tan2NB4C,

/w2tanZ.BAC

tanZABC=------------

I-tan2ZBAC

2kAe

當點C在x軸上方時，tanNBAC=Kc，tanNA8C=-⑥c，故有一心c=

l-Rc

-2^

當點C在x軸下方時，tanABAC=-^,tanNABC=k,故有k=c

ACHCBCl-"；c

2k

兩者都有軟c+匚囂=0,所以原c(l-6c)+2怎c=0

2

則十.「)廣+2,W=°'化簡得一一［=1

(X+l)2

2

^ABC的頂點C的軌跡方程為x2-^-=\(x>1)

由|O8|=21DAI,設wJ(x-2)2+V=2j(x+l)2+V,得點D的軌跡方程為

(x+2)2+y2=4(y*0),把圓(x+2)?+/=43*0)沿y軸翻折得到(x-2)?+y?=4(>*o),與

2

x2-^=l(x>l)聯立消元y,得到(x-2)2+3/-3=4

解得x=T或x=-；(舍去)，所以1。1=3

故答案為：3

三、雙空題

14.已知數列｛《,｝滿足S“=2%-1,則《=,S“=.

答案：12--1

利用an=5?-5?_,求通項公式，再求出Sn.

解：對于S〃=24—1,

當n=l時，有S]=2a1T,解得：ax=1；

當心2時，有S“T=24T-1,所以a,,=S,—S,i=2a“-l—（2a“T-l）,所以&=2,所以數列｛叫為

an-\

等比數列，a=a,q'-'=T-',

所以S“=匕==2"-1.

“1-2

故答案為：1,2"-1.

【點睛】（1）數列求通項公式的方法：①觀察歸納法；②公式法；③由5,求應；④由遞推公式求

通項公式；

（2）數列求和常用方法：

①公式法；②倒序相加法；③裂項相消法；④錯位相減法.

_,.7CIj.?_TC|1rt

15.己知—.71,則5巾[2工一彳）=],則cos2x=,tanx=.

答案：T一及

首先利用誘導公式，計算8s2x；根據cos2x=-g,構造齊次方程，求tanx.

解：sin（2x-']=-cos2x=g,所以cos2x=-g,

c2-2cos2x-sin2xl-tan2x1

cos2x=cosx-sitrx=——---------=----------=——,

cosx+sinxl+tanx3

TT

解得：lan2；r=2,因為xe，

所以tanx=->/2.

故答案為：-;—\[2

34

16.設（x—1）（2+1月=4+qx+〃2必+a^x+a4x,貝IjaQ=.a]+2al+3%+4%=.

答案：-827

令x=0,求*；首先對等式兩邊求導數，再令x=l求和.

解：當x=0時，（-1）x2?=%,所以%=一8；

3

對等式兩邊求導，得（2+X），+（x-l）.3（2+x『=4+2/72%+3%丁+4?4x,

23

化簡得6+2a2x+3a3x+4a4x=（4x-l）（2+x）~,

當x=1時，4+2a2+3%+44=3。=27.

故答案為：-8；27

【點睛】關鍵點點睛：本題考查二項式定理系數和的問題，本題第二個空的關鍵是，需對等式兩邊

求導，再賦值求和.

17.有3個少數民族地區，每個地區需要一各支醫醫生和兩名支教教師，現將3名支醫醫生(1男

2女)和6名支教教師(3男3女)分配到這3地區去工作，

(1)要求每個地區至少有一名男性，則共有種不同分配方案；

(2)要求每個地區至少有一名女性，則共有種不同分配方案.

答案：324432

(1)使用間接法求解，先計算對立事件至少有一個地區全是女性的分配方案，再計算所有分配方

案即可求解問題；

(2)使用間接法求解，先計算對立事件至少有一個地區全是男性的分配方案，再用總方案相減即

可求解結果.

解：(1)要求每個地區至少有一名男性的對立事件是至少有一個地區全是女性的分配方案有

=6x6x6=216，

每個地區需要一各支醫醫生和兩名支教教師的總分配方案有聞=6x15x6=540

所以要求每個地區至少有一名男性的分配方案有540-216=324；

(2)有一個地區全是男性的分配方案有窄⑷=3x6x6=108

所以要求每個地區至少有一名女性的分配方案有540-108=432.

故答案為：324,432

【點睛】組合問題常有以下兩類題型變化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補

足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取；

(2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：若直接法分類復雜時，逆向思維，間接求解.

四、解答題

18.在“ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知沙&118-40114=0$山4.

(1)求證：B-2A；

(2)若“ABC是銳角三角形，求誓的取值范圍.

sinC

答案：(1)證明見解析；⑵

(1)由正弦定理將角化邊，再結合余弦定理得到a=c-ZwosB,再利用正弦定理將邊化角得到

sinA=sinC-2sinAcosB,即可得至IjsinA=sin(3-A),從而得證；

(2)由(1)可知C=?-3A,再根據三角形為銳角三角形，得到角A的取值范圍，則

sinA1nr.—?sinA-山+卬

—^7J-，即可求出的取值范圍；

sine3-4sinAsinC

解：解:(1)由bsinB—々sinA=csinA得。=ac

由余弦定理。2=/+《a一2accosB，

代入b*2—a2=ac得ac=c2—2〃ccosB,

則Q=C-2QCOS8

由正弦定理得sinA=sinC-2sinAcosB

所以sinA=sin(A+3)—2sin4cosB,得sinA=sin(B-A)

由從一〃2=加>0知…,故3>A,

所以A=8—A或4+(8—A)=萬(舍去)

所以8=2A

7TTT77*7T

(2)由(1)可知C=%—3A,由0<A<上,0<2Av生,0<4一34<生得一<A<一,所以

22264

1.人加

—<sinA<—,

22

sinA_sin_sinA_sinA

sinCsin3Asin(A+2A)sinAcos2A+cosAsin2A

_sinA_1

3sinA-4sin3A3-4sin2A

因為,<sinA<①，所以!〈sir?A<[,l<4sin2A<2,1<3-4sin2A<2,所以!~.<1,

224223-4snrA

【點睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現“邊化角”，二是利用余弦定理實現“角化

邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關系，利用

基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉化為關于某個角的函數，利用函數思想求最值.

19.如圖，四棱錐尸―A3C。中，底面A8CO為菱形，4?=4)=2,ZABC=60°,平面ABC。,

PA=6.

jR

33

(1)點E在線段PC上，PE=]PC,點F在線段PD上，PF=-PD,求證：PC,平面A￡尸:

(2)設M是直線AC上一點，求CM的長，使得MP與平面PCD所成角為45。.

答案：(1)證明見解析；(2)皿=2或。加=14

26

方法一：(1)根據題意，在中，由余弦定理得AE=方,進而得在APCD中,

由余弦定理cosNCP力=：,進而在中，由余弦定理得E尸=言，故PELEF,進而「。_1平

面AE尸：

3h

(2)設CM=。，點M到平面PC。的距離為〃，由VP_ABCD=得〃=二萬〃，進而由sin450=—

2yJ6PM

得/-16a+28=0,解方程即可得答案.

方法二：以A8所在直線為x軸，以AP所在直線為z軸建立空間直線坐標系利用坐標法證明.

解：法1：(1)因為PAL平面ABCD,PA=6

所以上4J_AC,

因為底面ABC￡＞為菱形，AB=AD^2,NABC=60。

所以PC=V7,cosZAPC-

V7

33

因為=所以哈萬,

小+2_2.小362上

所以在△ME中，由余弦定理得,AE=萬萬二石

所以4爐+㈤=PA?，即PE_LAE,

所以在APCO中，由余弦定理cosNCPQ=2.",正=VPF=5PD=5^

所以在&PEF中，由余弦定理得EF2=PE2+PF2-2PE-PFcosZCPD=—,

因為P￡2+EF2=尸產2,所以PELEF

又AEcEF=E,所以PC_L平面AEF

(2)C0=a,M

設點到平面PCD的距離為/?,則由VP.ABCD=VM-PCD

；x2xaxsin60°x#=；X2X>/7xsinNPCDxh得八=高^<1,

3

h—i=a

所以sin45。=麗，即sin45°=/2瓜,/-16〃+28=0

J(2-?)2+3

解得a=2或。=14

從而得M點與A點重合或在AC的反向延長線上，則得CM=2或CM=14

法2：(1)以A3所在直線為x軸，以AP所在直線為z軸建立空間直線坐標系

則8(2,0,0),C(l,6,0),D(-l,V3,0),尸(0,0,幣)

PC=(1,V3,-A/3),PE=-PC=

7

AE=AP+PE

所以PCLAE

PD=(-1,j3,-j3),PF=^3PD=-(，乎

5

—>—>—>IA—?F-P—>C=O

AF=AP+PF=1555J

所以PC_LAF

又AEcEF=E,所以PC_L平面AEP

(2)DC=(2,0,0),DP=(-2,0,V3),BC=(-1,73,0),加=(-2,0,6)

t\2xx=0-

設％=(Xi，y“zJ是平面PCD的一個法向量，則\._"丫+小_0，得4=(0,1,1)

公=(1,石,0)，設A力=/lAb=(4G2,0)，

所以*=(464-石)，

因為MP與平面PCD所成角為45。，

所以,山45。=巴==粵.

2

\PM\-\n｝\V4A+3-V2

解得2=0或2=-6

從而得M點與A點重合或在AC的反向延長線上，則得CM=2或CM=14

【點睛】本題考查線面垂直的證明，根據線面角的大小求距離，考查邏輯推理能力，空間想象能力,

運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于利用余弦定理求解距離，進而根據勾股定理得

PELAE,PELEF,進而證明.

20.已知數列｛4｝滿足；q=l,4“|=網,,+廠%.

(1)若q,a2,%成等比數列，求q的值；

(2)若|q區1,求證：同43-賽.

答案：(1)q=_；(2)證明見解析；

(1)首先表示出的，生，根據等比中項的性質得到方程，求出。即可;

⑵依題意可得1%|-㈤。U,再根據㈤=(|。“|-|%1)+(1*1-卜〃-2|川?,+(同-同)+|4|，

利用錯位相減法求和即可得證；

KEI111(1

解：解：(1)q=1,。2=一萬+夕，%=]+q〃2=/+4一耳+。

因為49，%成等比數列，所以只=4%

則(一；+,)=g+g(_g+')'解得夕=一；

(2)由⑷<1,得以|=眄+號如|+備4⑷同+4同+/

所以舊一卜同4〃[￡],所以當心2時,

㈤=(同-*)+(|1|-院2|)+…+(同-圖)+同

~^+2{?)+…+QL2)[￡|+(〃-1)出+同

設S=；+2(￡)+...+(〃-2)[；)+(〃-1)出①

則京=出+2.(￡|+…+(〃一嗚+(〃一嗚)②

由①一②得

京卷+排出+…+口-(…cm-(〃-嗚)

所以S=2_2(g)_2(〃_l)(g)

|a“|4S+M=3_^^

【點睛】數列求和的方法技巧

(1)倒序相力口:用于等差數列、與二項式系數、對稱性相關聯的數列的求和.

(2)錯位相減:用于等差數列與等比數列的積數列的求和.

(3)分組求和:用于若干個等差或等比數列的和或差數列的求和.

21.如圖，己知G：(x-l)2+(y+l)2=:和拋物線G：x2=4y,P(%,%)是圓G上一點，M是拋物線C?

上一點，F是拋物線C2的焦點.

(1)當直線PM與圓Q相切，且|PM|=|FM|時，求』的值;

(2)過P作拋物線C?的兩條切線瓦PB,AB分別為切點，求證：存在兩個號,使得面

積等于哈

13

答案：(1)/=］或%=］；(2)證明見解析.

(1)焦點F坐標為((),1),設利用圓的切線長公式、拋物線的定義建立方程求解即得;

(2)設「(%,%),設直線PA、P3的斜率尢、右，由與拋物線相切求得好-￥()+%=(),

斤；-%2工0+No=。，知仁，%2是方程二-依)+No=。的兩根，得到匕+&=工0,41&2=%，求得切點坐標

A(2%,2：),B(2e,抬)，得到直線AB方程并化簡整理為y=利用已知面積得到

2

片-4%=3,與(x0-l)+(%+=；聯立得(%-1)&+*+19/-13)=0,然后利用零點存在定

理判定解的個數即可.

解：⑴焦點F坐標為(0,1),設M,，子)，則|加|=，(/一1)2+(?+1］_；，

由拋物線定義，M到焦點距離等于到拋物線準線y=-l的距離，

所以1fMi4+1,由得鼠—1)2+21

_4+1

44

所以“；或";所以或Mg尚

13

此時戶用與準線y=T垂直，所以%=Q或%=5；

(2)設則(%-1>+(%+1)2=；,

設直線方程為卜%=4(%-%)，代入/=4丫,

得x2-44x-4(%-4%)=0,A=166+16(%-匕/)=0,

整理得將一匕%+%=0①，

同理，直線PB方程為y-%=與（x-Xo）,有心-&%+丫0=0②，

由①②知，KK是方程二-5+%=0的兩根，

所以占+&=%無他=%，

由切線意義知，在幺-4白-4（%-柩0）=0中，4+4=秋，則4=2占

所以A（2。6），同理川2網,后）水陽:等圭=&孕

直線A8方程為y-好="&（x-2幻即y=怨Lx_左他即y=，x-%

I4例=|2仁-2可=7^-WkJ-43=J47^.好4%

喉,為）到直線AB的距離d=卜廠4Kls=總.訓，=乂（芯-44=孚

所以片-4y0=3,與（x0-葉+（為+咪=；聯立得（兩-1）（￡+x：+19%-13）=0

所以%=1或片+片+19%-13=0,設〃為）=片+片+19%一13,顯然/（，<0,〃1）>0,/（|）>0,

又“X。）在上遞增，所以〃為）=玉：+片+1班一13在停1）上有唯一零點

所以存在兩個%,使得△PAB面積等于延.

2

【點睛】本題考查直線與圓，直線與拋物線的位置關系，面積問題，零點個數問題，難度較大，其

中利用圓的切線長和拋物線的定義建立方程求解是第一問中的關鍵；第二問中關鍵點由同構方程

k--kxx0+y0=0,k1-k2x0+y0=0,知匕，為是方程&?-1+%=。的兩根，從而得到

k,+k2=xa,ktk2=y0;利用零點存在定理判定三次函數在給定區間上的零點個數問題.

22.設/（x）=e"-l+gx2,xeR,證明：

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（1）\+x+—x2<ex<-1+----,XG|0,1］；

22—x

19|2

（2）若正實數/滿足一4/（X。）<,則必有-<x<,?eN*.

nn+\〃+10n+2

答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析:

(1)設g(x)=e*-gx2-x-i,求出函數的導函數，利用導數說明其單調性，即可得到-同9+?1,

4

而1+——ox+2+(x-2)/20,設/2(x)=x+2+(x-2)eF￡[01],利用導數研究函數的單

2-x

調性，即可得證；

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(2)由(1)知./>XQ4-XO,當f(xo)<時,即XQ+XQ0,構造函數

g(x0)=x：+x0-2，欲證x°4三，只需證8(—2彳匕0,即可得證；又由(1)知

〃%)4-2+設p(x°)=-2++根據函數的單調性欲證x02一1,只需

z-zz—x0Zn〃+]

解：證明：(1)設g(x)="-gx2-x-l,則8，(幻=6*一工一1,

當X￡［0