內蒙古一機集團第一中學2024屆高一數學第一學期期末統考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設函數對的一切實數均有，則等于A.2016 B.-2016C.-2017 D.20172．下列函數，表示相同函數的是（）A.， B.，C.， D.，3．設集合，若，則實數（）A.0 B.1C. D.24．已知函數，，則函數的值域為（）A B.C. D.5．已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是（）A.若a>b，則ac2>bc2C.若a>b，ab<0，則1a>1b D.若a6．下列函數是偶函數的是（）A. B.C. D.7．化簡=A.sin2+cos2 B.sin2-cos2C.cos2-sin2 D.±(cos2-sin2)8．已知函數的部分函數值如下表所示：x10.50.750.6250.56250.6321－0.10650.27760.0897－0.007那么函數的一個零點的近似值（精確度為0.01）為（）A.0.55 B.0.57C.0.65 D.0.79．已知扇形的周長為8，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為A B.C. D.10．已知點在第二象限，則角的終邊所在的象限為A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．甲、乙兩套設備生產的同類產品共4800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行檢測.若樣本中有50件產品由甲設備生產，則乙設備生產的產品總數為________件.12．已知點角終邊上一點，且，則______13．若，則_____14．如果在實數運算中定義新運算“”：當時，；當時，．那么函數的零點個數為______15．已知的圖象的對稱軸為_________________16．若函數在區間上是單調遞增函數，則實數的取值范圍是_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數的圖象在定義域上連續不斷.若存在常數，使得對于任意的，恒成立，稱函數滿足性質.（1）若滿足性質，且，求的值；（2）若，試說明至少存在兩個不等的正數，同時使得函數滿足性質和.（參考數據：）（3）若函數滿足性質，求證：函數存在零點.18．已知函數，（1）指出的單調區間，并用定義證明當時，的單調性；（2）設，關于的方程有兩個不等實根，，且，當時，求的取值范圍19．已知函數.（1）若，解不等式；（2）解關于x的不等式.20．已知.（1）若為銳角，求的值.（2）求的值.21．某新型企業為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預計年利潤低于10%時，則該企業就考慮轉型，下表顯示的是某企業幾年來利潤y（百萬元）與年投資成本x（百萬元）變化的一組數據：年份2015201620172018投資成本35917…年利潤1234…給出以下3個函數模型：①；②（，且）；③（，且）.（1）選擇一個恰當的函數模型來描述x，y之間的關系，并求出其解析式；（2）試判斷該企業年利潤不低于6百萬元時，該企業是否要考慮轉型.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】將換成再構造一個等式，然后消去，得到的解析式，最后可求得【題目詳解】①②①②得，故選：【題目點撥】本題考查求解析式的一種特殊方法：方程組法．如已知，求，則由已知得，把和作為未知數，列出方程組可解出．如已知也可以用這種方法求解析式2、B【解題分析】由兩個函數相同的定義，定義域相同且對應法則相同，依次判斷即可【題目詳解】選項A，一個為指數運算、一個為對數運算，對應法則不同，因此不為相同函數；選項B，，為相同函數；選項C，函數定義域為，函數定義域為，因此不為相同函數；選項D，與函數對應法則不同，因此不為相同函數故選：B3、B【解題分析】可根據已知條件，先求解出的值，然后分別帶入集合A和集合B中去驗證是否滿足條件，即可完成求解.【題目詳解】集合，，所以，①當時，集合，此時，成立；②當時，集合，此時，不滿足題意，排除.故選：B.4、B【解題分析】先判斷函數的單調性，再利用單調性求解.【題目詳解】因為，在上都是增函數，由復合函數的單調性知：函數，在上為增函數，所以函數的值域為，故選：B5、C【解題分析】根據不等式的性質或通過舉反例，對四個選項進行分析【題目詳解】A．若a>b，當c=0時，ac2=bB．若ac>bc，當c<0時，則C．因為ab<0，將a>b兩邊同除以ab，則1a>1D．若a2>b2且ab>0，當a<0b<0時，則a<b故選：C6、D【解題分析】利用偶函數的性質對每個選項判斷得出結果【題目詳解】A選項：函數定義域為，且，，故函數既不是奇函數也不是偶函數，A選項錯誤B選項：函數定義域為，且，，故函數既不是奇函數也不是偶函數C選項：函數定義域為，，故函數為奇函數D選項：函數定義域為，，故函數是偶函數故選D【題目點撥】本題考查函數奇偶性的定義，在證明函數奇偶性時需注意函數的定義域；還需掌握：奇函數加減奇函數為奇函數；偶函數加減偶函數為偶函數；奇函數加減偶函數為非奇非偶函數；奇函數乘以奇函數為偶函數；奇函數乘以偶函數為奇函數；偶函數乘以偶函數為偶函數7、A【解題分析】利用誘導公式化簡根式內的式子，再根據同角三角函數關系式及大小關系，即可化簡【題目詳解】根據誘導公式，化簡得又因為所以選A【題目點撥】本題考查了三角函數式的化簡，關鍵注意符號，屬于中檔題8、B【解題分析】根據給定條件直接判斷函數的單調性，再結合零點存在性定理判斷作答.【題目詳解】函數在R上單調遞增，由數表知：，由零點存在性定義知，函數的零點在區間內，所以函數的一個零點的近似值為.故選：B9、A【解題分析】利用弧長公式、扇形的面積計算公式即可得出【題目詳解】設此扇形半徑為r，扇形弧長為l=2r則2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面積為r=故選A【題目點撥】本題考查了弧長公式、扇形的面積計算公式，屬于基礎題10、D【解題分析】由題意利用角在各個象限符號，即可得出結論.【題目詳解】由題意，點在第二象限，則角的終邊所在的象限位于第四象限，故選D.【題目點撥】本題主要考查了三角函數的定義，以及三角函數在各個象限的符號，其中熟記三角函數在各個象限的符號是解答本題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1800【解題分析】由題共有產品4800名，抽取樣本為80，則抽取的概率為；，再由50件產品由甲設備生產，則乙設備生產有30件，則乙設備在總體中有；考點：抽樣方法的隨機性.12、【解題分析】利用任意角的三角函數的定義，即可求得m值【題目詳解】點角終邊上一點，，則，故答案為【題目點撥】本題考查任意角的三角函數的定義，屬于基礎題13、【解題分析】首先求函數，再求的值.【題目詳解】設，則所以，即，，.故答案為：14、【解題分析】化簡函數的解析式，解方程，即可得解.【題目詳解】當時，即當時，由，可得；當時，即當時，由，可得（舍）.綜上所述，函數的零點個數為.故答案為：.15、【解題分析】根據誘導公式可得，然后用二倍角公式化簡，進而可求.【題目詳解】因為所以，故對稱軸為.故答案為:16、【解題分析】先求出拋物線的對稱軸方程，然后由題意可得，解不等式可求出的取值范圍【題目詳解】解：函數的對稱軸方程為，因為函數在區間上是單調遞增函數，所以，解得，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解題分析】（1）由滿足性質可得恒成立，取可求，取可求，取可求，取求，由此可求的值；（2）設滿足，利用零點存在定理證明關于的方程至少有兩個解，證明至少存在兩個不等的正數，同時使得函數滿足性質和；（3）分別討論，，時函數的零點的存在性，由此完成證明.【小問1詳解】因為滿足性質，所以對于任意的x，恒成立.又因為，所以，，，由可得，由可得，所以，.【小問2詳解】若正數滿足，等價于，記，顯然，，因為，所以，，即.因為的圖像連續不斷，所以存在，使得，因此，至少存在兩個不等的正數，使得函數同時滿足性質和.【小問3詳解】若，則1即為零點；因為，若，則，矛盾，故，若，則，，，可得.取即可使得，又因為的圖像連續不斷，所以，當時，函數上存在零點，當時，函數在上存在零點，若，則由，可得，由，可得，由，可得.取即可使得，又因為的圖像連續不斷，所以，當時，函數在上存在零點，當時，函數在上存在零點，綜上，函數存在零點.18、（1）增區間為，減區間為；證明見解析（2）【解題分析】（1）根據函數的解析式特點可寫出其單調區間，利用函數單調性的定義可證明其單調性；（2）寫出的表達式，將整理為即關于的方程有兩個不等實根，，且，，即，在上有兩個不等實根，然后數形結合解得答案.【小問1詳解】函數的增區間為，減區間為；任取，不妨令，則，因為，，故，所以，即，所以函數在時為單調減函數；【小問2詳解】，則即，也即，，因此關于的方程有兩個不等實根，，且，，即，在上有兩個不等實根，作出函數的圖象如圖示：故要滿足，在上有兩個不等實根，需有，即.19、（1）；（2）答案見解析【解題分析】（1）由拋物線開口向上，且其兩個零點為，，可得不等式的解集.（2）由對應的二次方程的判別式，其兩根為，.討論時，時，時，其兩根的大小，由此可得不等式的解集.【題目詳解】解：（1）當時，不等式可化為，又由，得，.因為拋物線開口向上，且其兩個零點為，，所以不等式的解集為.（2）對于二次函數，其對應的二次方程的判別式，其兩根為，.當，即時，不等式的解集為；當，即時，不等式的解集為；當，即時，不等式的解集為；綜上，時，不等式的解集為；時，不等式無解；時，不等式的解集為.20、（1）（2）【解題分析】(1)根據題意和求得，結合兩角和的余弦公式計算即可；(2)根據題意和可得，利用二倍角的正切公式求出，結合兩角和的正切公式計算即可.【小問1詳解】由，為銳角，，得，∴；【小問2詳解】由得，則，∴21、（1）可用③來描述x，y之間的關系，（2）該企業要考慮轉型.【解題分析】（1）由年