./二次函數(shù)與三角形最大面積的3種求法一．解答題〔共7小題1．〔2012?廣西已知拋物線y=ax2+2x+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A〔3,0和點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B〔0,3．〔1求拋物線的解析式；〔2在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)D,使得點(diǎn)D到點(diǎn)B、C的距離之和最小,并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔3在第一象限的拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使得△ABP的面積最大？若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．2．〔2013?如圖,拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔3,0．〔1求a的值和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；〔2分別連接AC、BC．在x軸下方的拋物線上求一點(diǎn)M,使△AMC與△ABC的面積相等；〔3設(shè)N是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一點(diǎn)N,使d的值最大？若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)和d的最大值；若不存在,請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．3．〔2011?如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔0,4,B〔1,0,C〔5,0,拋物線對(duì)稱軸l與x軸相交于點(diǎn)M．〔1求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；〔2點(diǎn)P在拋物線上,且以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形四條邊的長(zhǎng)度為四個(gè)連續(xù)的正整數(shù),請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3連接AC．探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使△NAC的面積最大？若存在,請(qǐng)你求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)你說(shuō)明理由．4．〔2012?黔西南州如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔0,4,B〔1,0,C〔5,0,拋物線的對(duì)稱軸l與x軸相交于點(diǎn)M．〔1求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式和對(duì)稱軸；〔2設(shè)點(diǎn)P為拋物線〔x＞5上的一點(diǎn),若以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊的長(zhǎng)度為四個(gè)連續(xù)的正整數(shù),請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3連接AC,探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使△NAC的面積最大？若存在,請(qǐng)你求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．5．〔2013?如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C,其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是〔1,0,C點(diǎn)坐標(biāo)是〔4,3．〔1求拋物線的解析式；〔2在〔1中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)D,使△BCD的周長(zhǎng)最小？若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3若點(diǎn)E是〔1中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且位于直線AC的下方,試求△ACE的最大面積及E點(diǎn)的坐標(biāo)．6．〔2009?江津區(qū)如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A〔1,0,B〔﹣3,0兩點(diǎn)．〔1求該拋物線的解析式；〔2設(shè)〔1中的拋物線交y軸與C點(diǎn),在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長(zhǎng)最小？若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3在〔1中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P,使△PBC的面積最大？若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔1,0,C〔0,3,且對(duì)稱軸為直線x=﹣1．〔1求二次函數(shù)的表達(dá)式；〔2在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PAB得面積為10,請(qǐng)寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．二次函數(shù)與三角形最大面積的3種求法參考答案與試題解析一．解答題〔共7小題1．〔2012?廣西解答：解：〔1∵拋物線y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔3,0和點(diǎn)B〔0,3,∴,解得a=﹣1,c=3,∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3．〔2對(duì)稱軸為x==1,令y=﹣x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=﹣1,∴C〔﹣1,0．如圖1所示,連接AB,與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)即為所求之D點(diǎn),由于A、C兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,則此時(shí)DB+DC=DB+DA=AB最小．設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,由A〔3,0、B〔0,3可得：,解得k=﹣1,b=3,∴直線AB解析式為y=﹣x+3．當(dāng)x=1時(shí),y=2,∴D點(diǎn)坐標(biāo)為〔1,2．〔3結(jié)論：存在．如圖2所示,設(shè)P〔x,y是第一象限的拋物線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N,則ON=x,PN=y,AN=OA﹣ON=3﹣x．S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA﹣S△AOB=〔OB+PN?ON+PN?AN﹣OA?OB=〔3+y?x+y?〔3﹣x﹣×3×3=〔x+y﹣,∵P〔x,y在拋物線上,∴y=﹣x2+2x+3,代入上式得：S△ABP=〔x+y﹣=﹣〔x2﹣3x=﹣〔x﹣2+,∴當(dāng)x=時(shí),S△ABP取得最大值．當(dāng)x=時(shí),y=﹣x2+2x+3=,∴P〔,．所以,在第一象限的拋物線上,存在一點(diǎn)P,使得△ABP的面積最大；P點(diǎn)的坐標(biāo)為〔,．2．〔2013?解答：解：〔1∵拋物線y=ax2﹣x+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B〔3,0,∴9a﹣×3+2=0,解得a=﹣,∴y=﹣x2﹣x+2,∵y=﹣x2﹣x+2=﹣〔x2+3x+2=﹣〔x+2+,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔﹣,；〔2∵拋物線y=﹣x2﹣x+2的對(duì)稱軸為直線x=﹣,與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔3,0,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔﹣6,0．又∵當(dāng)x=0時(shí),y=2,∴C點(diǎn)坐標(biāo)為〔0,2．設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,則,解得,∴直線AC的解析式為y=x+2．∵S△AMC=S△ABC,∴點(diǎn)B與點(diǎn)M到AC的距離相等,又∵點(diǎn)B與點(diǎn)M都在AC的下方,∴BM∥AC,設(shè)直線BM的解析式為y=x+n,將點(diǎn)B〔3,0代入,得×3+n=0,解得n=﹣1,∴直線BM的解析式為y=x﹣1．由,解得,,∴M點(diǎn)的坐標(biāo)是〔﹣9,﹣4；〔3在拋物線對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)N,能夠使d=|AN﹣CN|的值最大．理由如下：∵拋物線y=﹣x2﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．連接BC并延長(zhǎng),交直線x=﹣于點(diǎn)N,連接AN,則AN=BN,此時(shí)d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．設(shè)直線BC的解析式為y=mx+t,將B〔3,0,C〔0,2兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得,,∴直線BC的解析式為y=﹣x+2,當(dāng)x=﹣時(shí),y=﹣×〔﹣+2=3,∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔﹣,3,d的最大值為BC==．3．〔2011?解答：解：〔1根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a〔x﹣1〔x﹣5,把點(diǎn)A〔0,4代入上式得：a=,∴y=〔x﹣1〔x﹣5=x2﹣x+4=〔x﹣32﹣,∴拋物線的對(duì)稱軸是：x=3；〔2P點(diǎn)坐標(biāo)為：〔6,4,由題意可知以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3,又∵點(diǎn)P的坐標(biāo)中x＞5,∴MP＞2,AP＞2；∴以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意,∴四條邊的長(zhǎng)只能是3、4、5、6的一種情況,在Rt△AOM中,AM===5,∵拋物線對(duì)稱軸過(guò)點(diǎn)M,∴在拋物線x＞5的圖象上有關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)與M的距離為5,即PM=5,此時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為6,即AP=6；故以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊長(zhǎng)度分別是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)3、4、5、6成立,即P〔6,4；〔3在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N,使△NAC面積最大．設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t,此時(shí)點(diǎn)N〔t,t2﹣t+4〔0＜t＜5,過(guò)點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于G；作AM⊥NG于M,由點(diǎn)A〔0,4和點(diǎn)C〔5,0可求出直線AC的解析式為：y=﹣x+4；把x=t代入得：y=﹣t+4,則G〔t,﹣t+4,此時(shí)：NG=﹣x+4﹣〔t2﹣t+4=﹣t2+4t,∵AM+CF=CO,∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NG?OC=〔﹣t2+4t×5=﹣2t2+10t=﹣2〔t﹣2+,∴當(dāng)t=時(shí),△CAN面積的最大值為,由t=,得：y=t2﹣t+4=﹣3,∴N〔,﹣3．4．〔2012?黔西南州解答：解：〔1根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a〔x﹣1〔x﹣5,將點(diǎn)A〔0,4代入上式解得：a=,即可得函數(shù)解析式為：y=〔x﹣1〔x﹣5=x2﹣x+4=〔x﹣32﹣,故拋物線的對(duì)稱軸是：x=3；〔2P點(diǎn)坐標(biāo)為：〔6,4,由題意可知以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3,又∵點(diǎn)P的坐標(biāo)中x＞5,∴MP＞2,AP＞2；∴以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意,∴四條邊的長(zhǎng)只能是3、4、5、6的一種情況,在Rt△AOM中,AM===5,∵拋物線對(duì)稱軸過(guò)點(diǎn)M,∴在拋物線x＞5的圖象上有關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)與M的距離為5,即PM=5,此時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為6,即AP=6；故以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊長(zhǎng)度分別是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)3、4、5、6成立,即P〔6,4；〔3在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N,使△NAC面積最大．設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t,此時(shí)點(diǎn)N〔t,t2﹣t+4〔0＜t＜5,過(guò)點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于G,作AM⊥NG于M,由點(diǎn)A〔0,4和點(diǎn)C〔5,0可求出直線AC的解析式為：y=﹣x+4；把x=t代入y=﹣x+4,則可得G〔t,﹣t+4,此時(shí)：NG=﹣x+4﹣〔t2﹣t+4=﹣t2+4t,∵AM+CE=CO,∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CE=NG?OC=〔﹣t2+4t×5=﹣2t2+10t=﹣2〔t﹣2+,∴當(dāng)t=時(shí),△CAN面積的最大值為,由t=,得：y=t2﹣t+4=﹣3,∴N〔,﹣3．5．〔2013?解答：解：〔1∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔1,0,點(diǎn)C〔4,3,∴,解得,所以,拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3；〔2∵點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,∴點(diǎn)D為AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)△BCD的周長(zhǎng)最小,設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b〔k≠0,則,解得,所以,直線AC的解析式為y=x﹣1,∵y=x2﹣4x+3=〔x﹣22﹣1,∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,當(dāng)x=2時(shí),y=2﹣1=1,∴拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)D〔2,1,使△BCD的周長(zhǎng)最小；〔3如圖,設(shè)過(guò)點(diǎn)E與直線AC平行線的直線為y=x+m,聯(lián)立,消掉y得,x2﹣5x+3﹣m=0,△=〔﹣52﹣4×1×〔3﹣m=0,即m=﹣時(shí),點(diǎn)E到AC的距離最大,△ACE的面積最大,此時(shí)x=,y=﹣=﹣,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔,﹣,設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線與x軸交點(diǎn)為F,則F〔,0,∴AF=﹣1=,∵直線AC的解析式為y=x﹣1,∴∠CAB=45°,∴點(diǎn)F到AC的距離為AF?sin45°=×=,又∵AC==3,∴△ACE的最大面積=×3×=,此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為〔,﹣．6．〔2009?江津區(qū)解答：解：〔1將A〔1,0,B〔﹣3,0代y=﹣x2+bx+c中得〔2分∴〔3分∴拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；〔4分〔2存在〔5分理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1對(duì)稱∴直線BC與x=﹣1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn),此時(shí)△AQC周長(zhǎng)最小∵y=﹣x2﹣2x+3∴C的坐標(biāo)為：〔0,3直線BC解析式為：y=x+3〔6分Q點(diǎn)坐標(biāo)即為解得∴Q〔﹣1,2；〔7分〔3存在．〔8分理由如下：設(shè)P點(diǎn)〔x,﹣x2﹣2x+3〔﹣3＜x＜0∵S△BPC=S四邊形BPCO﹣S△BOC=S四邊形BPCO﹣若S四邊形BPCO有最大值,則S△BPC就最大,∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC〔9分=BE?PE+OE〔PE+OC=〔x+3〔﹣x2﹣2x+3+〔﹣x〔﹣x2﹣2x+3+3=當(dāng)x=﹣時(shí),S四邊形BPCO最大值=∴S△BPC最大=〔10分當(dāng)x=﹣