“韓信點兵”的問題引入

我國漢代有一位大將，名叫韓信。他每次集合部隊，都要求部下報三次數，第一次1、2、3依次循環報數，第二次1、2、…5依次循環報數，第三次1、2、…7依次循環報數，每次報數后都要求最后一個人報告他報的數是幾，這樣韓信就知道一共到了多少人。我國漢代有一位大將，名叫韓信。他每次集合部隊，都要求部下報三次數，第一次1、2、3依次循環報數，第二次1、2、…5依次循環報數，第三次1、2、…7依次循環報數，每次報數后都要求最后一個人報告他報的數是幾，這樣韓信就知道一共到了多少人。我國漢代有一位大將，名叫韓信。他每次集合部隊，都要求部下報三次數，第一次1、2、3依次循環報數，第二次1、2、…5依次循環報數，第三次1、2、…7依次循環報數，每次報數后都要求最后一個人報告他報的數是幾，這樣韓信就知道一共到了多少人。我國漢代有一位大將，名叫韓信。他每次集合部隊，都要求部下報三次數，第一次1、2、3依次循環報數，第二次1、2、…5依次循環報數，第三次1、2、…7依次循環報數，每次報數后都要求最后一個人報告他報的數是幾，這樣韓信就知道一共到了多少人。有一次點名結果是：第一次1～3循環報數，最后一位士兵報“2”，第二次1～5循環報數，最后一位士兵報“1”，第三次1～7循環報數，最后一位士兵報“5”。韓信問不下大約有多少人，部下回答：大約二十幾人。據此，韓信很快確定士兵總數是26，他的這種巧妙算法使在場的將領目瞪口呆，人們稱其為“鬼谷算”、“隔墻算”、“秦王暗點兵”等。有一次點名結果是：第一次1～3循環報數，最后一位士兵報“2”，第二次1～5循環報數，最后一位士兵報“1”，第三次1～7循環報數，最后一位士兵報“5”。韓信問不下大約有多少人，部下回答：大約二十幾人。據此，韓信很快確定士兵總數是26，他的這種巧妙算法使在場的將領目瞪口呆，人們稱其為“鬼谷算”、“隔墻算”、“秦王暗點兵”等。有一次點名結果是：第一次1～3循環報數，最后一位士兵報“2”，第二次1～5循環報數，最后一位士兵報“1”，第三次1～7循環報數，最后一位士兵報“5”。韓信問不下大約有多少人，部下回答：大約二十幾人。據此，韓信很快確定士

兵總數，他的這種巧妙算法使在場的

將領目瞪口呆，人們稱其為“鬼谷算”、“隔墻算”、“秦王暗點兵”等。概念：整除：設a和b都是整數，b≠0。如果存在整數q，使得a=qb，就稱a能被b整除，或稱b整除a，記作b|a。復習例如：整數15=3×5，即稱3整除15，記為3|15。除法定理：如果a,b是兩個整數，b≠0，那么有而且僅有兩個整數q,r，可使a=bq+r式中0≤r≤|b|q是數b除數a所得的商，r稱為余數。整除性的性質根據整除性的定義，可得出如下基本性質

（1）若a|b,b|c,則a|c。（2）k為任意整數，若b|a，則b|ka。（3）若a|b,b|c,則a|(b±c)。（4）若b|ma,且b與m互質，則m|a。例1第一次點名表明士兵數除3余2，因此，可能的士兵總數是：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29……韓信點兵問題可以轉換為：求整除3余2，整除5余1，整除7余5的自然數，且這個自然在20到30

的范圍內。

1，6，11，16，21，26，31……1，6，11，16，21，26，31……第二次點名表明士兵數除5余1，因此，可能的士兵總數是：第三次點名表明士兵數除7余5，因此，可能的士兵總數是：5，12，17，26，31，38……26

【拓展練習1】解：設士兵的總數為X。小結：學會代數是解題的關鍵。其他的方法？3|(x-2)5|(x-1)7|(x-5)X=26

【拓展練習2】小紅暑假期間幫著張二嬸放鴨子，她總也數不清一共有多少只鴨子，大概有三四十只。她先是3只3只地數，結果剩1只；她又5只5只地數，結果剩4只；她又7個7個地數了一遍，結果剩6只。她算來算去還是算不清一共有多少只鴨子。小朋友，請你幫著小紅算一下，張二嬸一共喂著多少只鴨子？解：（列舉法）能被3除余1的數有10、13、16、19、22、25、28、31、34、37……

能被5除余4的數有9、14、19、24、29、34、39、44……

能被7除余6的數有13、20、27、34、41、48、55……所以共有34只鴨子。

(未知量法）設總共有鴨

子

X只

3/(X-1)

5/(X-4)7/(X-6)因為都能被整除，從3和5

的最小公倍數15開始依次增加尋找。所以最終答案為34只。例2物不知其數問題出自一千六百年前我國古代數學名著《孫子算經》。《孫子算經》里，有一道鼎鼎有名的「孫子問題」，原題為："今有物不知其數，三三數之二，五五數之三，七七數之二，

問物幾何？"

意思是：有一個數，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求這個數。

解：除以5余3的數：3，8，13，18，23，28，……除以7余2的數：2，9，16，23，30，37，……同時滿足以上兩個條件的數：23，58，……滿足上兩個條件，又滿足除以3余2的最小自然數是23答：符合條件物體個數是23。例3我國古代對解求總數問題編了這樣的歌訣：

三人同行七十稀，

五樹梅花廿一枝，

七子團圓正月半，

除百零五便得知。"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數比105大時，就105、105地往下減，使之小于105；這相當于用105去除，求出余數。

這四句口訣暗示的意思是：當除數分別是3、5、7時，用70乘以用3除的余數，用21乘以用5除的余數，用15乘以用7除的余數，然后把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大，就除以105，所得的余數就是滿足題目要求的最小正整數解

按這四句口訣暗示的方法計算總的數量可得：

70×2+21×3+15×4=263，263=2×105+53所以，這隊士兵至少有53人例4解：設這個數為X.X-1=13A，X=15B，X+1=17C提倍法已知三個連續的自然數，它們都小于2002，其中最小的一個自然數能被13整除，中間的一個自然數能被15整除，最大的一個自然數能被17整除。那么，這三個自然數中最小的一個是

。有一個自然數除以13余1，除以15余0，除以17余16（當然可以換成“加1后又是17的倍數”）求這個小于2002的自然數是多少？13A+1=15B提倍法：把分子分母的倍數都提出來B=7A=8,X=105例5有一個數，除以61余13；除以67余5；除以97余4。求這數最小是多少?輾轉相除法滿足：除以67余5，除以97余4這個條件的最小整數。67x+5=97y+4（1）67x=97y-1

（2）（利用輾轉相除法）67x1=30y-1

（3）7x1=30y1-1

（4）7x2=2y1-1（可以看出當x2=1時y1=4）取y1=4代入（4）式，得x1=17代入（3）得y=38代入（1）得出3690可知3690滿足后兩個條件，再讓給3690+97*67的倍數再滿足除以61余1361z+13=3690+97*67w（再利用輾轉相除法）（3677/61=60…1797*67/61=106…33）61z1=17+33w(2)28z1=17+33w1(3)28z2=17+5w1(4)3z2=2+5w2(5)3z3=2+2w2=2(1+w2)取z3=2則w2=2代入（5）則z2=4代入（4）則w1=19代入（3）則z1=23代入（2）則w=42代入（1）

則此數為276648經驗證此數滿足上面三個條件，小于97*67*61=396439。故此數是最小的滿足條件之數。答：此數是276648.某一天是星期一，從這天開始，過22001天是星期幾？過22003天是星期幾？

例6解：因為23除以7的余數是1，23k除以7的余數也是1（k是