移動機器人的數(shù)學模型第三章大學生禮儀高等院校公共課系列精品教材01移動機器人的運動學模型PARTONE01移動機器人的運動學摸型

運動學是對機械系統(tǒng)如何運行的最基本的研究。研究移動機器人的運動學的目的之一是通過改變輪子的運動速度或運動方向來調整移動機器人的姿態(tài)。1987年，Muir和Neuman提出了一種研宄輪式移動機器人運動學問題的方法：先對每個輪子的運動建模，再合并這些信息去描述整個輪式移動機器人的運動。到1989年，Alexander與Maddocks在上述研究的基礎上，對輪式移動機器人的運動學問題進行了比較詳盡的闡述。輪式移動機器人的運動學分析應從描述各輪對運動所做的貢獻開始。在整個移動機器人的運動中，各輪都有作用，相似地，各輪也在移動機器人的運動中被加上約束，如拒絕橫向剎車。01移動機器人坐標系為整個移動機器人的運動建立一個模型，是一個由底向上的過程。移動機器人中各單個輪子對移動機器人的運動做貢獻，同時又對移動機器人的運動施加約束。根據(jù)移動機器人底盤的幾何特征，多個輪子是通過一定的機械結構連在一起的，所以它們的約束將聯(lián)合起來，形成對移動機器人底盤運動的約束。這里，需要用相對清晰和一致的參考坐標系來表達各輪的力和約束。在移動機器人學中，由于移動機器人獨立移動的本質，它需要在全局和局部參考坐標系之間有一個清楚的映射。01移動機器人坐標系在整個分析過程中，把移動機器人建模成輪子上的一個剛體，其運行在平面上。1在平面上，該移動機器人底盤的總維數(shù)是三：兩個為平面中的位置，另一個為沿垂直軸方向的轉動，它與平面正交。2當然，由于存在輪軸，輪的操縱關節(jié)和小腳輪關節(jié)，還會有附加的自由度和靈活性。3然而就移動機器人底盤而言，我們只把它看作剛體，忽略移動機器人和它的輪子間內(nèi)在的關聯(lián)和自由度。401移動機器人坐標系0為了確定移動機器人在平面中的位置，如圖所示，建立全局參考坐標系和移動機器人局部參考坐標系之間的關系。將平面上任意一點選為原點0，以相互正交的軸和軸建立全局參考坐標系。為了確定移動機器人的位置，選擇移動機器人底盤上的一個c點作為它的位置參考點。通常c點與移動機器人的重心重合。01移動機器人坐標系定義移動機器人底盤上相對于C點的兩個軸，從而定義移動機器人局部參考坐標系。在全局參考坐標系上，C點的位置由坐標x和y確定全局和局部參考坐標系之間的角度差由0給定，可以將移動機器人的姿態(tài)描述為具有這3個元素的矢量。為了根據(jù)分量的移動描述移動機器人的移動，需要把沿全局參考坐標系的運動映射成沿移動機器人局部參考坐標系的運動。01移動機器人坐標系01移動機器人坐標系01雙輪差速移動機器人的運動學模型

雙輪差速移動機器人如圖所示，討論圖中的雙輪差速移動機器人的運動學模型，即討論給定移動機器人的幾何特征和它的輪子速度后，移動機器人的運動方程。0假設該雙輪差速移動機器人局部參考坐標系的原C點位于兩輪中心，并且c點與移動機器人的重心重合，局部參考坐標系中Y軸與移動機器人的兩輪軸線平行，與車體正前方垂直；軸與全局參考坐標系x軸的夾角為9。移動機器人有兩個主動輪子，直徑為。兩輪的輪間距為1。01雙輪差速移動機器人的運動學模型

如，假設該雙輪差速移動機器人局部參考坐標系的原C點位于兩輪中心并且C點與移動機器人的重心重合，局部參考坐標系中yR軸與移動機器人的兩輪軸線平行，與車體正前方垂直;xR軸與全局參考標系x軸的夾角為θ。移動機器人有兩個主動輪子，直徑為r，兩輪的輪間距為l。假定移動機器人在運動中質心的線速度為v，角速度為w，左右兩輪的轉速分別為Ф1和Ф2,移動機器人左右兩輪的運動速度分別為vL和vR

。給定r、l和θ六以及根據(jù)圖所示的幾何關系，考慮到移動機器人滿足剛體運動規(guī)律，其會有下面的運動學方程·201雙輪差速移動機器人的運動學模型

得到雙輪差速移動機器人運動學模型01全方位移動機器人的運動學模型具有傳統(tǒng)車輪的移動機器人只能有兩個自由度的運動，所以在運動學上，它等價于傳統(tǒng)的陸上車輛。然而，具有全方位輪的移動機器人有3個自由度的運動能力，即沿著平面上，軸、），軸及繞自身中心旋轉的運動能力，這充分提高了移動機器人的運動性。因此本節(jié)將給出這種全方位移動機器人的運動學模型。全方位輪的種類有很多，它的組成是在輪轂的外緣上設置可繞自己的軸旋轉的輥子，且均勻分布于輪轂周圍，這些輥子軸線馬和輪轂軸線的夾角為90。01全方位移動機器人的運動學模型全方位輪由雙排自由滾動的輥子組成，使得輪子在地面滾動時形成連續(xù)的接觸點。全方位輪在運動時輪轂是驅動機構，輥子是從動機構，因此在本節(jié)中主動輪由輪轂與邊沿輥子組成，從動輪由車輪輥子組成，主動輪、從動輪與地面的接觸點均為輥子與地面的接觸點。由于全方位輪的結構特殊性，全方位移動機器人可以由不同數(shù)量的全方位輪組成，理論上說可以由大于2的任意個輪子組成，但從可控性及經(jīng)濟性方面考慮，常見的由3輪、4輪組成。不同數(shù)量(K)全方位輪組成的全方位移動機器人有著不同性能，K越大，震動越弱；但同時帶來了許多機構上的問題，如在不平地面上運動時，當K冫4時需要加彈性懸架機構來保證每個輪子都與地面接觸。為了選取合適的K值以獲得需要的運動性能，必須對移動機器人進行運動學建模。01全方位移動機器人的運動學模型01全方位移動機器人的運動學模型01全方位移動機器人的運動學模型

02移動機器人的動力學模型PARTONE02雙輪差速移動機器人的動力學模型動力學模型與運動學模型不同，它主要是為了確定物體在受到外力作用時的運動結果。繞c點的轉動慣量為J'設左右兩輪輸出軸的轉動慣量分別為Jl和J2。02雙輪差速移動機器人的動力學模型02雙輪差速移動機器人的動力學模型02全方位移動機器人的動力學模型方位移動機器人大致可分為單輪移動機器人和多輪移動機器人，在大部分研究中都將輪子設為剛體、不可變形的圓盤，并將輪子與地面的相互作用當作是點接觸。實際上，大部分輪子是由可變形材料（如橡膠）制成的，所以產(chǎn)生相互作用的是接觸面。在本節(jié)中，假設全方位移動機器人的重心不高，因此當全方位移動機器人加速運動時由重心偏高產(chǎn)生的各輪對地面壓力的變化忽略不計?；谲囕v動力學理論，當全方位移動機器人加速運動時，驅動輪與地面由于接觸變形所產(chǎn)生的切向力是車輛或移動機器人運動的牽引驅動力。只要輪子和地面間的接觸區(qū)域，即輪子接地印跡上承受切向力，就會出現(xiàn)不同程度的打滑，因此嚴格來講理想純滾動的假設條件并不符合實際情況。將加速過程中車輪的打滑減到最少是移動機器人運動控制的目標，也是對單個輪子進行動力學分析的前提。02全方位移動機器人的動力學模型當輪子在地面上滾動時，輪子與地面在接觸區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的各種相互作用力和相應的變形都伴隨著能量損失，這種能量損失是產(chǎn)生滾動阻力的根本原因。為了提高移動機器人的加速性能，很多輪子都采用橡膠輪或由其他具有塑性變形的材料制成，而且一些家用機器人或娛樂機器人(足球機器人)都會在地上運動，因此移動機器人運動時更容易產(chǎn)生滾動阻力。這種彈性變形產(chǎn)生的彈性遲滯損失形成了阻礙輪子滾動的一種阻力偶，當輪子只受徑向載荷而不滾動時，地面對輪子的法向反作用力的分布是前后對稱的，其合力F2與法向載荷P重合于法線n-n/方向輪子靜止時的受力情況如圖02全方位移動機器人的動力學模型如果將法向反作用合力F,向后平移至通過輪子中心，與其垂線重合，則輪子在地面上滾動時的受力情況如圖3.8所示，出現(xiàn)一個附加的力偶矩T=F?e,這個阻礙車輪滾動的力偶矩稱為滾動阻力偶矩。由可知，欲使輪子在地面上保持勻速滾動，必須在輪軸上加一驅動力矩r或加一推力Fp,從而克服上述滾動阻力偶矩。相關數(shù)學關系如下所示。式中，稱為滾動阻力系數(shù)。由式可知，滾動阻力系數(shù)是指在一定條件下，輪子滾動所需的推力與車輪所受徑向載荷之比，即要使輪子滾動，單位車重所需的推力。所以輪子的滾動阻力等于輪子徑向垂直載荷與滾動阻力系數(shù)之乘積，所示，真正作用在輪子上驅動移動機器人運動的力為地面對輪子的切向反作用力，該值為驅動力減去輪子的滾動阻力。02全方位移動機器人的動力學模型(b)、(c)分別是驅動輪、從動輪在加速過程中的受力圖。各參數(shù)說明如下：R和r分別為驅動輪和從動輪的半徑；P和Pp,分別為全方位輪、從動輪上的載荷；Nd和Np分別為地面對驅動輪、從動輪的法向反作用力；fdi和fpi分別為作用在驅動輪、從動輪上的地面切向反作用力：M?和M,分別為驅動輪、從動輪的滾動力偶矩，在移動機器人載荷一定的情況下，近似不變；和分別為驅動輪、從動輪的角加速度；

和,;,分別為驅動輪、從動輪軸心平行于地面的加速度；Jd和Jp分別為主動輪與從動輪的轉動慣量；T為電機作用于驅動輪的轉矩；ed與ep為輪子與地面之間的印跡表面上存在的壓力分布問題使得地面對輪子法向反作用力偏移的距離。02全方位移動機器人的動力學模型02全方位移動機器人的動力學模型接下來再介紹全方位移動機器人的整體動力學棋型。根據(jù)圖3.9(a)所示的對單個輪子的受力分析和圖3.10所示的全方位移動機器人的運動坐標系，使用牛頓-歐拉方程，可以對全方位移動機器人建立動力學模型，整個動力學模型為式(3-31)、式(3-32)和式(