盈虧問(wèn)題【盈虧問(wèn)題公式】

（1）一次有余（盈），一次不夠（虧），可用公式：

（盈+虧）÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)。

（2）兩次都有余（盈），可用公式：

（大盈-小盈）÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)。

（3）兩次都不夠（虧），可用公式：

（大虧-小虧）÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)。

（4）一次不夠（虧），另一次剛好分完，可用公式：

虧÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)。

（5）一次有余（盈），另一次剛好分完，可用公式：

盈÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)。

一、

基本型盈虧問(wèn)題

基本概念：一定量的物體，按照某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分組，最后會(huì)產(chǎn)生一種結(jié)果；

按照另一種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分組，又會(huì)產(chǎn)生另一種結(jié)果。

基本特點(diǎn)：兩個(gè)未知：總份數(shù)，總數(shù)。

兩個(gè)一定：總份數(shù)不變，總數(shù)不變。

基本思路：比較法：（1）總份數(shù)=總差÷每份差

（2）再代到任一條件求總數(shù)。

基本題型：

盈盈型：總份數(shù)=

（較大余數(shù)‐較小余數(shù)）÷每份差；

虧虧型：總份數(shù)=

（較大不足數(shù)‐較小不足數(shù)）÷每份差；

盈虧型：總份數(shù)=

（余數(shù)+不足數(shù)）÷每份差。

如：小朋友分蘋(píng)果，每人4本多10個(gè)；每人6本少8個(gè)，問(wèn)多少人多少蘋(píng)果？

兩個(gè)未知：人為份數(shù)，蘋(píng)果為總數(shù)；

兩個(gè)一定：人數(shù)不變，蘋(píng)果數(shù)不變。

（1）人數(shù)=

（10+8）÷（6‐4）=9

（2）蘋(píng)果數(shù)=4×9+10=46

（或6×9‐8=46）

我們遇到的題目一定首先分清什么是份數(shù)，什么是總數(shù)，可以套一下人分蘋(píng)

果模型，人為份數(shù)，蘋(píng)果為總數(shù)。

有變化的盈虧問(wèn)題先把它轉(zhuǎn)化成基本型盈虧。

例1：（2008春蕾杯小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽）A、B買(mǎi)了相同張數(shù)的信紙。A在

每個(gè)信封里裝1張信紙，最后用完所有信封還剩40張信紙；B在每個(gè)信封里裝3張信紙，最后用完所有的信紙還剩40個(gè)信封。他們都買(mǎi)了多少?gòu)埿偶垼?/p>

分析與答：信封為份數(shù)，信紙為總數(shù)。

每個(gè)信封里裝3張信紙，最后用完所有的信紙還剩40個(gè)信封，相當(dāng)于如果把所有的信封用完還差3×40=120張信紙。

即：每個(gè)信封里裝1張信紙，還剩40張信紙；

每個(gè)信封里裝3張信紙，120張信紙。

信封數(shù)=

（40+120）÷（3‐1）=80

信紙數(shù)=80×1+40=120

注：很多同學(xué)的錯(cuò)誤解法是信封數(shù)=（40+40）÷（3‐1）=40

計(jì)劃時(shí)間：（400+300）÷（60‐50）=70分鐘

CB路程：50×70+400=3900米

家到學(xué)校距離AB：3900+100=4000米。

四、

分組標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一的盈虧問(wèn)題：

基本型盈虧解決的是分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一的題目，當(dāng)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一時(shí)一定把它轉(zhuǎn)

化成對(duì)應(yīng)的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一的情形。統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)一般是“其余”

學(xué)案3：少先隊(duì)去植樹(shù)，每人挖5個(gè)坑，還有三個(gè)沒(méi)人挖；如果其中2人各挖4個(gè)，其余每人挖6個(gè)，就剛好挖完。有多少人，多少坑？

分析與答：人為份數(shù)，坑為總數(shù)。

如果其中2人各挖4

個(gè)，其余每人挖6個(gè)，就剛好挖完。相當(dāng)于每人挖6個(gè)差（4‐2）×2=4個(gè)坑。

即：每人挖5個(gè)坑，多3個(gè)；

每人挖6個(gè)坑，差4個(gè)。

人數(shù)：（3+4）÷（6‐5）=7人

坑總數(shù)：7×5+3=38個(gè)

注：如果其中2人各挖4個(gè)，其余每人挖6個(gè)，就剛好挖完。分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一，有人挖4個(gè)。也有人挖6個(gè)。統(tǒng)一成與“其余”一樣，每人挖6個(gè)差（4‐2）×2=4個(gè)坑。

例4：同學(xué)搬磚，有12人每人各搬7塊，有20人每人各搬6塊，其余每人各搬5塊，這樣最后剩下148塊；如果有30人每人搬8塊，有8人每人搬9塊，其余每人搬10塊，這樣最后還剩下20塊。問(wèn)有多少學(xué)生多少磚？

分析與答：人數(shù)為份數(shù)，轉(zhuǎn)數(shù)為總數(shù)。

有12人每人各搬7塊，有20人每人各搬6塊，其余每人各搬5塊，這樣最后剩下148塊。

分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)找其余每人各搬5塊。即所有人都搬5塊，那么搬7塊的人每人能剩下7‐5=2塊，12人可剩下12×2=24塊；有20人每人各搬6塊，可剩下20×（6‐5）=20塊，

這時(shí)共剩下24+20+148=192塊。本條件轉(zhuǎn)化為：如果每人各搬5塊，則剩下12×（7‐5）+20×（6‐5）+148=192塊。

如果有30人每人搬8塊，有8人每人搬9塊，其余每人搬10塊，這樣最后還剩下20塊。分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)找其余每人各搬10塊。即所有人都搬10塊，那么搬8塊得每人差10‐8=2塊，30人差2×30=60塊；那么搬9塊得每人差10‐9=1塊，8人差1×8=8塊，這時(shí)共差60+8‐20=48塊。本條件轉(zhuǎn)化為：如果每人各搬10塊，差（10‐8）×30+

（9‐8）×8‐20=48塊。

如果每人各搬5塊，剩192塊；

如果每人各搬10塊，差48塊。

人數(shù)：（192+48）÷（10‐5）=48人

磚數(shù)：48×10‐48=432塊

五、份數(shù)為多種事物的盈虧問(wèn)題：

基本型盈虧解決的是份數(shù)是同一種事物的題目，當(dāng)份數(shù)不是同一種事物時(shí)一

定把它轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的份數(shù)是同一種事物的情形。轉(zhuǎn)化條件找題目中描述兩種事物

對(duì)應(yīng)關(guān)系的關(guān)鍵條件。

學(xué)案4：（走美真題）幼兒園老師把一袋糖果分給小朋友，如果分給大

班的小朋友，每人5粒缺6粒；人過(guò)分給小班的小朋友，每人4粒余4粒。已知大班比小班少2個(gè)小朋友，這袋糖果共有多少粒？

分析與答：人數(shù)為份數(shù)，糖果數(shù)為總數(shù)。

分大班：每人5粒缺6粒；

分小班：每人4粒余4粒。

份數(shù)不是同一種，即大班小班人數(shù)不一樣，要先轉(zhuǎn)化成同一個(gè)班，轉(zhuǎn)化依據(jù)

是“大班比小班少2個(gè)小朋友”，

方法一：把小班轉(zhuǎn)化成大班：分小班：每人4粒余4粒，轉(zhuǎn)化成分大班：每

人4粒余4×2+4=12粒。

即：分小班：每人5粒，缺6粒；每人4粒余12粒。

大班人數(shù)：（12+6）÷（5‐4）=18人

糖果總數(shù)5×18‐6=84粒

方法二：當(dāng)然本題也可以把分大班：每人5粒缺6粒的條件轉(zhuǎn)化成分小班：每人5粒缺5×2+6=16粒，希望孩子們自己試試。

例5（2010年迎春杯四年級(jí)初賽）小紅去買(mǎi)水果，如果買(mǎi)5千克蘋(píng)果則少4元，如果買(mǎi)6千克梨則少3元，已知蘋(píng)果比梨每500克貴5角5分，問(wèn)小紅帶了多少錢(qián)？

分析與答：蘋(píng)果和梨的單價(jià)為份數(shù)，總錢(qián)數(shù)為總數(shù)。

買(mǎi)蘋(píng)果：買(mǎi)5千克少4元；

買(mǎi)梨：買(mǎi)6千克少3元。

份數(shù)為兩種事物：蘋(píng)果和梨，因此要轉(zhuǎn)化為同一種，轉(zhuǎn)化依據(jù)是“蘋(píng)果比梨

每500克貴5角5分”即：蘋(píng)果比梨每千克貴1.1元。

方法一：把梨轉(zhuǎn)化為蘋(píng)果：買(mǎi)梨：買(mǎi)6千克少3元，用這些錢(qián)去買(mǎi)蘋(píng)果，買(mǎi)6千克應(yīng)該少1.1×6+3=9.6元。

方法二：把蘋(píng)果轉(zhuǎn)化成梨：買(mǎi)蘋(píng)果：買(mǎi)5千克少4元，用這些錢(qián)去買(mǎi)梨，買(mǎi)5千克應(yīng)多1.1×5‐4=1.5元，

買(mǎi)梨：買(mǎi)5千克多1.5元；

買(mǎi)6千克少3元。

梨的單價(jià)：（1.5+3）÷（6‐5）=4.5元每千克

總錢(qián)數(shù)：4.5×6‐3=24元

六、

同時(shí)分配多種事物的盈虧問(wèn)題：

基本型盈虧解決的是分配同一種事物的題目，當(dāng)同時(shí)分配的事物不只一種

時(shí)，把其中某一種的分配數(shù)量調(diào)整相同，再比較數(shù)量不同的那一種。

例6

（全國(guó)奧賽競(jìng)賽試題）蘋(píng)果和梨各有若干個(gè)，如果每5個(gè)蘋(píng)果和3個(gè)梨裝一袋，還多4個(gè)蘋(píng)果，梨正好裝完；如果7個(gè)蘋(píng)果和3個(gè)梨裝一袋，蘋(píng)果恰好裝完，梨還多12個(gè)。蘋(píng)果和梨各多少個(gè)？

分析與答：同時(shí)分配兩種事物：蘋(píng)果和梨；

每袋：5個(gè)蘋(píng)果+3個(gè)梨，還多4個(gè)蘋(píng)果；

7個(gè)蘋(píng)果+3個(gè)梨，還多12個(gè)梨。

盈虧問(wèn)題的核心思路是比較法：兩種分法梨數(shù)量相同無(wú)法比較，所以應(yīng)比較蘋(píng)果數(shù)量，每袋7個(gè)蘋(píng)果+3個(gè)梨，還多12個(gè)梨，如果把全部梨分完還需要12÷4×7=28個(gè)蘋(píng)果，

每袋：5個(gè)蘋(píng)果+3個(gè)梨，還多4個(gè)蘋(píng)果；

7個(gè)蘋(píng)果+3個(gè)梨，還差28個(gè)蘋(píng)果。

袋數(shù)為份數(shù)，蘋(píng)果數(shù)為總量。

袋數(shù)：（28+4）÷（7‐5）=16袋

梨數(shù)：16×3=48個(gè)

蘋(píng)果數(shù)：16×5+4=84個(gè)。

補(bǔ)充題（南京興趣杯競(jìng)賽試題）有若干蘋(píng)果和梨，如果1個(gè)蘋(píng)果和3個(gè)梨放一堆，那么蘋(píng)果分完時(shí)還剩2個(gè)梨，如果按半個(gè)蘋(píng)果配兩個(gè)梨一堆，那么梨分完時(shí)還剩半個(gè)蘋(píng)果，蘋(píng)果和梨各多少個(gè)？

分析與答：如果1個(gè)蘋(píng)果和3個(gè)梨放一堆，還剩2個(gè)梨；

如果0.5個(gè)蘋(píng)果和2個(gè)梨一堆，那么梨分完時(shí)還剩0.5個(gè)蘋(píng)果。

與上道題的不同之處在于蘋(píng)果和梨的數(shù)量都不相同，選擇把蘋(píng)果的數(shù)量統(tǒng)一成一個(gè)（也可把梨的數(shù)量統(tǒng)一成6個(gè)，但是兩個(gè)條件都要變，麻煩）即：如果1個(gè)蘋(píng)果和4個(gè)梨一堆，那么梨分完時(shí)還剩0.5個(gè)蘋(píng)果。

如果1個(gè)蘋(píng)果和3個(gè)梨放一堆，還剩2個(gè)梨；

如果1個(gè)蘋(píng)果和4個(gè)梨一堆，那么梨分完時(shí)還剩0.5個(gè)蘋(píng)果。這時(shí)蘋(píng)果數(shù)相同，梨數(shù)不同，比較梨數(shù)，梨分完時(shí)還剩0.5個(gè)蘋(píng)果，把這0.5個(gè)蘋(píng)果分完，還差0.5×2個(gè)梨。原題轉(zhuǎn)化為：

如果1個(gè)蘋(píng)果和3個(gè)梨放一堆，還剩2個(gè)梨；

堆數(shù)為份數(shù)，梨為總數(shù)。

共（2+2）÷（4‐3）=4堆，即4個(gè)蘋(píng)果

梨數(shù)：4×3+2=14個(gè)

七、

兩次分配的是兩種不同事物的盈虧問(wèn)題：

基本型盈虧解決的是分配同一種事物的題目，當(dāng)分配的事物不只一種時(shí)，根

據(jù)題中的條件，把其中某一種的轉(zhuǎn)化為另一種。

例7：幼兒園有蘋(píng)果和桃子，蘋(píng)果數(shù)是桃子的2倍，分給小朋友們。每人分桃5個(gè)，最后余下桃子15個(gè)；每人分蘋(píng)果14個(gè)，則蘋(píng)果數(shù)差30個(gè)，那么幼兒園有桃和蘋(píng)果各多少個(gè)？

分析與答：

分桃：每人5個(gè)剩15個(gè)；

分蘋(píng)果：每人14個(gè)差30個(gè)。

方法一：