第四章船體總振動計算的遷移矩陣法

第四章船體總振動計算的遷移矩陣法

1.1適用于遷移矩陣方法鏈狀結構

在實際工程中的一些連續彈性結構,例如連續梁、液體或氣體等介質的輸送管道,可以視為一系列彈性體組成的鏈狀結構,這類問題的動力分析(或者靜力分析)采用遷移矩陣法是非常合適的。遷移矩陣法是將結構系統離散為一些簡單的彈性和動力部件,根據不同的問題和要求,列出結合點處部件兩端的狀態矢量,并用振動時彈性系統部件狀態矢量的傳遞關系,列出遷移矩陣,再利用彈性系統的邊界條件,從而求得振動系統的數值解。該方法可用來計算固有振動特性和動力響應。

1.1適用于遷移矩陣方法鏈狀結構在實際工程中的0、預備知識：考慮轉動慣量和剪切梁的振動微分方程的推導

如果梁的高度（或者直徑）較大,則高跨比增加,剪切變形和轉動慣量具有不可忽視的影響。轉動慣量是由于梁截面的轉動（垂直位置轉動角)所引起的。如果沒有剪切變形,振動過程種橫截面與彈性軸線將保持垂直。并且應等于彈性軸線的斜率。然而剪切變形的影響,梁的橫截面的變形是十分復雜的。假定平面假設成立，此時用表示剪切變形，剪切滯后：剪力減小了梁的彈性變形，使得彈性軸線的傾角減小，這稱之為剪切滯后。梁彎曲后，截面轉角、剪切角及梁軸線傾角之間的關系見下圖：0、預備知識：考慮轉動慣量和剪切梁的振動微分方程的推導船體總振動計算的遷移矩陣法課件

根據微段的變形可知,軸線的轉角及剖面轉動之間的運動學關系為根據微段的上力的平衡條件，并注意到豎向力不影響力的平衡條件，則豎向力的平衡條件為：對微段右斷面軸線處取矩,并考慮到單位長度的慣性轉動力矩根據微段的變形可知,軸線的轉角及剖面轉動之間的運動學關單位長度的轉動慣性力矩：梁材料的密度：梁橫截面的慣性矩：剪力Q與剪切角之間的關系為：單位長度的轉動慣性力矩：梁材料的密度：梁橫截面的慣性矩：剪力（a）（b）由式（a）解出式（b）對x求導數（c）(e)

將式（c）代入（e），得（a）（b）由式（a）解出式（b）對x求導數（c）(e)上式為考慮剪切變形和轉動慣量梁的振動微分方程。上式為考慮剪切變形和轉動慣量梁的振動微分方程。1、狀態矢量狀態矢量指各個部件連接點處(節點)的狀態(包括位移和內力)參數組成的列陣。對于梁的彎曲,某一點的狀態參數為位移

轉角彎矩

剪力故狀態矢量為

位移狀態矢量的坐標系統和符號規定采用右手坐標系。1、狀態矢量轉角彎矩剪力故狀態矢量為位移狀態矢量的坐標1.2梁彎曲振動的場遷移矩陣將研究的變斷面梁劃分為若干長為的均勻斷面梁,利用均勻等直梁的彎曲微分方程及其解,將梁段兩端的狀態矢量以矩陣形式聯系起來,即得到場遷移矩陣。考慮剪切和轉動慣量影響的彎曲自由振動微分方程為（4.15）1.2梁彎曲振動的場遷移矩陣起來,即得到場遷移矩陣。考慮剪其自由振動的解為

為振型函數,

為固有頻率,為初相位.將上式代入式(4.15),并取P=0,則得到引入記號

得到（4.91）其自由振動的解為為振型函數,為固有頻率,為初相位.將上式為四階常系數齊次微分方程,其解為將此式代入(4.91)式,可求得特征根故得到振型解為根據指數函數和三角函數及雙曲函數之間的關系,上式的等價形式為（4.93）若確定后,轉角彎矩和剪力均可導出。考慮到狀態矢量具有相同的表達形式,即均為簡諧變化,對于自由振動,剪力的變化式為上式為四階常系數齊次微分方程,其解為將此式代入(4.91)上式中的也可寫成式振型函數的形式，得振型和之間的關系為

將剪力的振型函數代入得

列出微段豎向力的平衡方程為：振型函數：上式中的也可寫成式振型函數的形式，得振型和之間的關系將振型、轉角、彎矩和剪力寫成矩陣形式得將振型、轉角、彎矩和剪力寫成矩陣形式得

將梁段的左段取為坐標原點即左端x=0，該處狀態矢量

為：

（4.98）由（4.98）式得，梁單元將梁段的左段取為坐標原點即左端x=0，由此可解出列陣A

單元內任意點的狀態矢量為：單元右端的狀態矢量,即x=l

處的狀態矢量為這里

F稱為場遷移矩陣,由常量矩陣得到。為的方陣,F表達了梁段兩端狀態矢量之間的關系。為計算,將其分割為四個子陣

后求逆陣，經計算得：由此可解出列陣A單元內任意點的狀態矢量為：單元右端船體總振動計算的遷移矩陣法課件場遷移矩陣1.3點遷移矩陣如果從前面第

個單元越過節點而到后面的矩陣相類似,該點的前后(或左右)兩側的狀態矢量可以用點遷移矩陣單元,則和場遷移其中：第i梁段右端的狀態矢量；：第i+1梁段左端的狀態矢量：第i點的點遷移矩陣

連接,即場遷移矩陣1.3點遷移矩陣如果從前面第個單元越過節點而（1）結構i節點上有集中質量M則自由振動時節點兩側的剪力關系式為慣性力不影響節點兩側位移、轉角和彎矩，但影響節點兩側的剪力關系，得到節點i

處的點遷移矩陣為:（1）結構i節點上有集中質量M則自由振動時節點兩側的剪力關（2）結構i節點上有抗位移剛度為的彈簧（3）結構i節點上質量的轉動慣量為J規定節點逆時針轉動為正。彈簧抗力的方向向上（2）結構i節點上有抗位移剛度為的彈簧（3）結構i（4）節點上有集中質量、限位移彈簧、限轉動彈簧及轉動慣量疊加得：（5）如果節點上無任何質量與彈簧,則節點左右兩側截面,的狀態矢量相同,此時的點遷移矩陣為單位矩陣。4.6.3固有振動特性計算將整體結構劃分為n段梁。每段處理為均勻的等直梁段，段內無集中質量和集中支座。取各段之間的連接點為節點。梁的首尾端也作為節點。點遷移矩陣為固有頻率的函數（4）節點上有集中質量、限位移彈簧、限轉動彈簧及轉動慣量疊加1.4固有振動特性計算步驟整體結構離散后，進行節點編號和梁段編號，尾端節點編號為0,而首端節點編號為n,則整個梁共有n+1個節點。梁起始段編號為1，最后段編號為n。寫出整個梁的遷移狀態矢量關系為：P的下標為節點編號F的下標為結構分段編號1.4固有振動特性計算步驟寫出整個梁的遷移狀態矢量關系為式中,、

,為尾端的狀態矢量；

狀態矢量,分別為第n段梁左端和右端的第n段梁的場遷移矩陣,為第n點的點遷移矩陣。由狀態矢量關系式得，得到。稱為鏈狀結構的遷移矩陣。的方陣，利用整體梁兩端的邊界條件，消去首尾的已知邊界條件所含的物理量,然后再利用非零解的條件即可得到頻率方程式。例1求兩端全自由梁的頻率和振型.解:整個梁的遷移矩陣為式中,、,為尾端的狀態矢量；狀態矢量,分別為第n全自由梁的邊界條件為兩端的剪力和彎矩等于零,即將(b)式邊界條件代入(a)式,可得（a）(b)由于,不能同時等于零(否則為靜止狀態),必須其系數行列式的值值等于零,即得求解上式，得到各階固有頻率。全自由梁的邊界條件為兩端的剪力和彎矩等于零,即將(b)式邊界將固有頻率代入振幅方程，得到與頻率對應的第j諧調的尾端狀態矢量。因為假設，則

起始端狀態矢量為將固有頻率代入上式，得到各個點的點遷移矩陣和各個單元的場遷移矩陣。將固有頻率代入振幅方程，得到與頻率對應的第j諧調由上至下求出逐個節點的狀態矢量,從而得到以節點位移值表達的離散的振型值。例2求兩端簡支梁的頻率和振型.012345（1）（2）（3）（4）(5)邊界條件：初始節點狀態矢量：;終端節點狀態矢量：由上至下求出逐個節點的狀態矢量,從而得到以節點位4.6.4集中簡諧干擾力作用下的動力響應計算

設干擾力作用于節點,并將狀態矢量與遷移矩陣的階數加以擴展,即可以采用遷移矩陣法計算動力響應。若某節點作用簡諧干擾力則由該節點處力的平衡條件可知,該節點處剪力有突變,于是該節點兩側的狀態矢量可以寫為:可以將此式的狀態矩陣和點矩陣擴展為kk4.6.4集中簡諧干擾力作用下的動力響應計算或者寫為上式帶“~”的表示擴展后的矢量。將擴展后的場遷移矩陣劃分四個子陣,即或者寫為上式帶“~”的表示擴展后的矢量。將擴展后的場遷移矩船體總振動計算的遷移矩陣法課件或者與自由振動分析類似,建立首尾兩端狀態矢量之間的關系或者與自由振動分析類似,建立首尾兩端狀態矢量之間的關系

由于上述方程為非齊次的,只要不發生共振,在應用邊界條件后,可以