命題人

李久權北京市十一學校2013屆階段檢測理科數學試卷(限時120分鐘滿分150分)練習時間：2012.10.26一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項，填涂在機讀卡上.1.已知U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},則 (B)A.MCN={4,6}B.MUN=UC.(CN)DM=UD.(CM)CN=NU U2.下列命題錯誤的是 (B)A.命題“若X2—3X+2=0,則X=1”的逆否命題為“若X≠1,則X2-3X+2≠0”B.若P八q為假命題，則P,q均為假命題C.對命題P:存在XeR,使得X2+X+1<。，則「P為:任意X∈R,均有X2+X+1≥0D.“X>2”是“X2-3X+2>0”的充分不必要條件3.已知函數f(X)=(X-a)(X-b)(其中a>b)的圖象如下面右圖所示，則函數g(X)=aX+b的圖象是(A)4.在AABC中，/C=900,00<A<450，則下列各式中正確的是(D)A.SinA>CoSAB.SinB>CoSAC.SinA>CoSBD.SinB>CoSB.定義域為R的函數f(X)對任意X都有f(X)=f(4-X),且其導函數f'(X)滿足(X-2)f'(X)>0，則當2<a<4時，有A.f(2a)<f(2)<f(loga)2Cf(2)<f(2a)<f(loga)2(B)B.f(2)<f(loga)<f(2a)2D.f(loga)<f(2a)<f(2)2f(X-4),X>0.若f(X)={ f1 ,c則f(2012)等于( )eX+J2—dt,X≤0I1t0ln21+e21+ln2【答案】D【解析】f(2012)=f(0)=e0+ln2=1+ln2.已知平面區域如右圖所示，Z=mx+y(m>0)在平面區域內取得最大值的最優解有無數多個，則m的值為( )A.LB._LC.1D.不存在20 20 2x+—,x>0.已知函數f(x)=SXX3+3,X≤0則方程f(2x2+x)=a(a>2)的根的個數不可能為f(x)=a有3個根，一負二正，當3<a時，f(X)=a有2個正根.令t=2x2+x1t≥——則8,當2<a≤3時，f(t)=a有3個t使之成立，一負二正，兩個正t分別對應2個X，當負t<—1時，沒有X與之對應，當負t=—1時，有1個X與之8 8對應，當負t>—1時，有2個X與之對應，所以根的個數分別為4、5、6個；當3<a時，f(t)=a有2個正根，兩個正t分別對應2個X，此時根的個數為4個.所以根的個數只可能為4、5、6個.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題紙中相應題號的橫線上.11,,.設a,b為正數，且a+b=1,則一+-的最小值是―4 ..ab.已知命題“函數f(X)=log(X2+ax+1)定義域為R”是假命題，則實數a的取值范2圍是。a≤-2或a≥2.若冪函數f(X)的圖象經過點A(4,2)，則它在A點處的切線方程為。X-4y+4=0.已知a=(3,2),b=(2,—1)，若λa+b與a+λb平行，則λ=-1.函數f(X)=Asin(3X+φ)(A>0,ω>0)的圖象如圖所示，則f(1)+f(2)+f(3)+???+/(2012)=?【答案】2√2+2【解析】由圖象知φ=0,①=—=-,/.fQ)=2sin%，其圖象關于Q,。)x=2,χ=6對稱知，T4 4f(1)+f(2)+f(3)+???+∕(8)=0,???丁=8,2012=251X8+4,???f(1)+f(2)+f(3)+…+/(2012)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)==f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2sin?+sin2—+sin3-+sin4-1=2石+2..對于各項均為整數的數列｛1｝,如果a+i(i=1,2,3,…)為完全平方數，則稱數n i列｛α｝具有“尸性質”.不論數列｛a｝是否具有“尸性質”，如果存在與｛a｝不是同一n n n數列的｛b｝,且｛b｝同時滿足下面兩個條件：①b,b,b,...,b是a,a,a,...,a的一個排n n 12 3n12 3n列；②數列｛b｝具有“尸性質”，則稱數列｛a｝具有“變換尸性質”.下面三個數列：①nn數列｛a｝的前n項和S=n(n2—1)；②數列1,2,3,4,5；③1,2,3,…，11.具有“尸n n3性質”的為;具有“變換尸性質”的為.【答案】①；②【解析】對于①當n≥2時，a=S—Snn n-1n,八n-L,=—(n2-1) [(n-1)2-1]=n2-n,又a=0,所以a=n2-n(n∈N*).\o"CurrentDocument"3 3 1 n所以a+i=i2(i=1,2,3,…)是完全平方數，數列｛a｝具有“P性質”；對于②，數列1,i n2,3,4,5具有“變換P性質”，數列｛b｝為3,2,1,5,4；對于③，數列1,2,3,…，n11不具有“變換P性質”，因為11,4都只有5的和才能構成完全平方數，所以數列1,2,3,…，11不具有“變換P性質”.北京市十一學校2013屆階段檢測理科數學試卷一、選擇題：(每小題5分，共40分，請將選擇題的正確答案填涂在機讀卡上).二、填空題：(每小題5分，共30分，請將填空題的正確答案填在下列題號后的橫線上)9.； 10.； 11.；12.； 13.； 14..三、解答題：(本大題共6個小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟;請將解答寫在規定的區域內，在其他區域內答題無效)15.(本小題滿分13分)若關于X的不等式［X-(3—a)］(X—2a)<0的解集是A,y=ln(-X2+3X-2)的定義域是B,若AUB=A,求實數a的取值范圍.X兀、 ,X兀、..16.(本小題13分)來已知函數f(X)=2√3sin(-+)cos(-+-)-sin(X+兀).24 24(I)求f(X)的最小正周期;www.(II)若將f(X)的圖象向右平移B個單位得到函數g(X)的圖象，求函數g(X)在區間［0,兀］6上的最大值和最小值。M.（本小題滿分13分）某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規則的非農業用地規劃建成一個矩形的高科技工業園區.已知AB⊥BC,OA//BC,且AB=BC=2AO=4km,曲線段OC是以點O為頂點且開口向上的拋物線的一段.如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB，BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，問應如何規劃才能使矩形工業園區的用地面積最大？并求出.正數數列｛〃｝的前n項和S,滿足4S=(a+1〉,試求：(I)數列｛a｝的通項公n n nn n1 11式；(II)設b= ，數列的前n項的和為B，求證：B<-；(O)設C=a?(-)n,naa n n2 nn3nn+1求數列L｝的前n項和T.nn19.(本小題滿分13分)已知f(%)=%2+ax+a(a≤2,XER), g(X)=e-X,①(X)=f(X)?g(X).(1)當a=1時，求①(%)的單調區間；(2)求g(%)在點(0,1)處的切線與直線X=1及曲線g(%)所圍成的封閉圖形的面積；(3)是否存在實數a，使①(%)的極大值為3？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.20．(本小題滿分14分)定義：推數列”。已知數列^a｝中，a

n1若數列M｝滿足A=A2，則稱數列M｝為“平方遞

n n+1 n n=2，點(a,a)在函數f(%)=2X2+2X的圖像上，nn+1其中n為正整數。(1)證明：數列Ea+1｝是“平方遞推數列”，且數列加(2a+1)｝為等比數列。nn(2)設(1)中“平方遞推數列”的前n項之積為T，即T=(2a+1)(2a+1)…(2a+1)，nn 1求數列L)的通項及T關于n的表達式。2nn（3）記b=logT，n 2a+1nn求數列%n｝的前n項之和S，并求使S>2008的n的最小值。

n nn15.解:由—X2+3x—2〉0得l<x<2,即B=(1,2), 3 分VA∪5=A,λA?5,⑴若3-。(2〃，即。>1時，A=(3-Q,2Q),Y(3-a,2a)?(1,2)a>l3-a≤1 .?a≥2 6分2a≥2⑵若3-〃二2Q,即。=1時，A=Φ,不合題意; 8分(3)若3-Q>2Q,即。〈1時,A=(2〃，3-。)，?.?(2q,3-〃)衛(1,2),a<l:.<2a<? :.a<—23—Q≥211分綜上，實數〃的取值范圍是〃≤:或〃≥2. 13分.解：(I)∕G)=√3sinX+—+sinXI2√J =√3COSX+sinX2分=2?1sinX+旦osX12 2(TΓ?2sinx+—I3J√4分所以fQ)的最小正周期為2兀 5分(11)?.?將fQ)將f(x)的圖象按向量a=(3,0)平移，得到函數gQ)的圖象.6???gQ)=fIXTI6J兀+—32sinX一一I6J2sinX+—I6J10分LLi 兀兀73???X∈10,兀時，x+-∈-,—6L6611分?當X+g=g,即X=3時,sinX+3=1,gQ)取得最大值2. 12分6 2 3I6J3 73 口當X+—=一,即X=36 6(3\時Sin(X+-J二-1,g(X)取得最小值-1.13分.解：以O為原點，OA所在直線為X軸建立直角坐標系(如圖) 1分依題意可設拋物線的方程為1X2=2py,且C(2,4).Λ22=2P?4,λp=一.2故曲線段OC的方程為y=X2(0≤X≤2). 4分設P(X,X2)(0≤X<2)是曲線段OC上的任意一點,則∣PM∣=2+X,∣PN∣=4—X2.???工業園區面積S=IPM∣?∣PN∣=(2+X)(4—X2)=8—X3—2X2+4X.2???S,二—3X2—4X+4,令S'=0nX=-,X=一2,1322又?.?0≤X<2,.?.X=—.32當X∈[0,-)時，S'>0,S是X的增函數；2當X∈(-,2)時，S'<0,S是X的減函數.6分2 8 . 32.?.x=—時，S取到極大值，此時∣PM∣=2+x=—,IPNI=4一x2=-3 3 9S=8X32=變X9.5(km2).39 2712分當X=0時,S=8..S=9.5(km2).max.32. .8.. 答：把工業園區規劃成長為豆上也寬為W左加時，工業園區的面積最大，最大面積約為9.5km% 13分18.(1)由已知，得4S=Q+11(n≥2)，4S=Q+11(n≥2)nn n-1 n-1作差，得(a+a)(a-a-2)=0。n n-1 n n-1又因為｛α｝正數數列，所以a-a=2,由2S=a+1,得n n n-1 1 1a=1.?.a=2n—1 4分1 n(II)b=——naann+11 1/1 1、= ÷÷ ?=—( - )(2n-1)(2n+1)22n-12n+1,八1八1 1 1所以Bn=2(I-3+3-5+1 1、1_ 1 /1+2n-1-2n+1)=2-2(2n+1)<2 9分(∏DC=(2n-1)?(1)n,S=1-竺1n 3n 3n14分ιg.⑴當q=1吐中⑶=(/十五十。］，中十初.當中(力>CBtClMr<1;當中(工)M附,工>嘍工MCL.??中⑺的單調超增區間為S，單調遞減區間為:SG，?+∞) 3分(2)切線的斜率為k=g'(0)=-e-XI =-1,???切線方程為y=-x+1.x=0所求封閉圖形面積為S=J1[e-χ-(-x+1)]dx=J1(e-x+X-1)dx=(-e-X+—x2-X)|1=』一，.0 0 2 02e6分(3)①'(X)=(2X+a)e-X-e-X(X2+ax+a)=e-X[-X2+(2-a)x],令①'(x)=0,得x=0或x=2-a.列表如下：X(一8,0)0(0,2—a)2-a(2—a,+∞)①'(X)0+0①(X)\極小/極大\由表可知，①(X) =①(2—a)=(4—a)ea-2.極大10分設μ(a)=(4-a)ea-2,μ'(a)=(3-a)ea-2>0,???μ(a)在(-∞,2)上是增函數，???μ(a)≤μ(2)=2<3，即(4-a)ea-2≠3,.?.不存在實數