解析幾何中高考熱點問題例析解析幾何是歷年高考必考內(nèi)容,是一個熱點,也是一個難點.由于這道題靈活性大,綜合性強,得分率往往偏低,許多考生和老師感到頭疼.本文擬就常見的問題作一歸納解析,以求對大家有所幫助.一求圓錐曲線的軌跡或軌跡方程例1:設，分別是橢圓：的左，右焦點．（1）當，且，時，求橢圓C的左，右焦點、．Q（x，y）MF1F2Oyx（2）、是（1）中的橢圓的左，右焦點，已知的半徑是1，過動點的作切線，使得（是切點），如下圖．求動點的軌跡方程．Q（x，y）MF1F2Oyx解：（1）∵，∴．……2分又∵∴，∴由橢圓定義可知，，…6分從而得，，．∴、．（2）∵F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），由已知：，即，所以有：，設P（x，y），…9分則即（或）Q（x，y）MFQ（x，y）MF1F2Oyx例2:如圖，在直角坐標系中，已知橢圓的離心率e＝，左右兩個焦分別為．過右焦點且與軸垂直的直線與橢圓相交M、N兩點，且|MN|=1．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)設橢圓的左頂點為A,下頂點為B，動點P滿足，（）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓上.解：(Ⅰ)∵軸，∴,由橢圓的定義得：，∵，∴，又得∴∴，∴所求橢圓C的方程為．(Ⅱ)由（Ⅰ）知點A(－2,0)，點B為（0，－1），設點P的坐標為則，,由－4得－，∴點P的軌跡方程為設點B關于P的軌跡的對稱點為，則由軸對稱的性質(zhì)可得：，解得：∵點在橢圓上，∴，整理得解得或∴點P的軌跡方程為或，經(jīng)檢驗和都符合題設，∴滿足條件的點P的軌跡方程為或．二探究性問題例3已知橢圓的中心為原點，點是它的一個焦點，直線過點與橢圓交于兩點，且當直線垂直于軸時，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是否存在直線，使得在橢圓的右準線上可以找到一點，滿足為正三角形．如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．解：（Ⅰ）設橢圓的方程為：，則．……①當垂直于軸時，兩點坐標分別是和，，則，即．………②由①，②消去，得．或（舍去）．當時，．因此，橢圓的方程為．（Ⅱ）設存在滿足條件的直線．(1)當直線垂直于軸時，由（Ⅰ）的解答可知，焦點到右準線的距離為，此時不滿足．因此，當直線垂直于軸時不滿足條件．（2）當直線不垂直于軸時，設直線的斜率為，則直線的方程為．由，設兩點的坐標分別為和，則，．．又設的中點為，則．當為正三角形時，直線的斜率為．，．當為正三角形時，，即＝，解得，．因此，滿足條件的直線存在，且直線的方程為或．例4雙曲線M的中心在原點，并以橢圓的焦點為焦點，以拋物線的準線為右準線.（Ⅰ）求雙曲線M的方程；（Ⅱ）設直線：與雙曲線M相交于A、B兩點，O是原點.①當為何值時，使得?②是否存在這樣的實數(shù),使A、B兩點關于直線對稱？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.解：（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，又拋物線的準線為：.設雙曲線M的方程為，依題意有，故，又.∴雙曲線M的方程為.（Ⅱ）設直線與雙曲線M的交點為、兩點聯(lián)立方程組消去y得，∵、兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根，∴∴，從而有，.又，∴.①若，則有，即.∴當時，使得.②若存在實數(shù),使A、B兩點關于直線對稱，則必有，因此，當m=0時，不存在滿足條件的k；當時，由得∵A、B中點在直線上，∴代入上式得；又，∴將代入并注意到，得.∴當時，存在實數(shù)，使A、B兩點關于直線對稱.--14分三取值范圍問題例5:已知平面上一定點和一定直線Ｐ為該平面上一動點，作垂足為，.(1)問點Ｐ在什么曲線上？并求出該曲線方程；點Ｏ是坐標原點，兩點在點Ｐ的軌跡上，若求的取值范圍．解:(1)由,得:,設,則,化簡得:,點P在橢圓上,其方程為.(2)設、，由得：，所以，、B、C三點共線.且,得:,即:因為,所以①又因為,所以②由①-②得:,化簡得:,因為,所以.解得:所以的取值范圍為.例6:已知點（x，y）在橢圓C：（的第一象限上運動．（Ⅰ）求點的軌跡的方程；（Ⅱ）若把軌跡的方程表達式記為，且在內(nèi)有最大值，試求橢圓C的離心率的取值范圍．解:（Ⅰ）設點（，）是軌跡上的動點，∴∴=，．∵點（x，y）在橢圓C:（的第一象限上運動，則>0，>0．∴．故所求的軌跡方程是（，）．（Ⅱ）由軌跡方程是（>0，>0），得（x>0）．∴．所以，當且僅當，即時，有最大值．如果在開區(qū)間內(nèi)有最大值，只有．此時，，解得．∴橢圓C的離心率的取值范圍是．四最值問題例7:已知若動點P滿足（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）設Q是曲線C上任意一點，求Q到直線的距離的最小值.解：（1）設動點P（x，y），則由已知得∴點P的軌跡方程是橢圓C：（2）解一：由幾何意義知，橢圓C與平行的切線其中一條l‘和l的距離等于Q與l的距離的最小值。設代入橢圓方程消去x化簡得：解二：由集合意義知，橢圓C與平行的切線其中一條l‘和l的距離等于Q與l的距離的最小值。設切點為解得解三：由橢圓參數(shù)方程設）則Q與l距離解四：設且Q與l距離由柯西不等式例8:如圖，線段AB過y軸負半軸上一點，A、B兩點到y(tǒng)軸距離的差為。(Ⅰ)若AB所在的直線的斜率為，求以y軸為對稱軸，且過A、O、B三點的拋物線的方程；(Ⅱ)設(Ⅰ)中所確定的拋物線為C,點M是C的焦點，若直線AB的傾斜角為60°，又點P在拋物線C上由A到B運動，試求△PAB面積的最大值。(Ⅰ)解：依題意設所求的拋物線方程為∵直線AB的斜率為且過點∴直線AB的方程為由得----------①設（）則是方程①的兩個實根∴，若則，∴若則∴與矛盾∴該拋物線的方程為．-------7分(Ⅱ)解法1：拋物線的焦點為（）即M點坐標為（）直線AB的斜率∴直線AB的方程為，解方程組得即點A，B∴設點P(m，n)，依題意知，且則點P到直線AB的距離＝＝當時，，這時。[解法2：拋物線的焦點為（）即M點坐標為（）直線AB的斜率∴直線AB的方程為，由得，，以下同上。]五定值問題例9:已知橢圓C的焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率等于．(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A，B兩點，交y軸于點M．若，，求證：為定值．.解：(1).設橢圓的方程為,則由題意得.,即,所以.故橢圓的方程為.(2).設點的坐標分別為.易知點的坐標為.,則將點的坐標代入到橢圓方程中,得化簡得.同理,由得,所以,是方程的兩個根,例10:在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線相交于A、B兩點．（I）若點N是點C關于坐標原點O的對稱點，求△ANB面積的最小值；（II）是否存在垂直于y軸的直線，使得被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程;若不存在，說明理由．解:（I）依題意，點的坐標為，可設，直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．NOACByNOACByx于是．， 當，．（Ⅱ）假設滿足條件的直線存在，其方程為，設的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，則，點的坐標為．，NOANOACByxl，．令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．六定點問題例11:已知動圓過定點，且與直線相切，其中。（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方程；（Ⅱ）設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點,直線OA和OB的傾斜角分別為和,當、變化且時,證明直線AB恒過定點,并求出該定點的坐標。解:(Ⅰ）設動圓圓心為則，化簡，得：∴所求動圓圓心的軌跡C的方程是：⑵設，由題意得（否則），且，所以直線AB的斜率存在，設其方程為，顯然，把代入：得，由韋達定理知，①由得：把①代入上式，整理化簡，得：此時，直線AB的方程可表示為：，即直線AB恒過定點.