第第頁2023-2024學年高中數學蘇教版2023必修二同步試題13.2.4平面與平面位置關系（2）二面角（含解析）13.2.4平面與平面位置關系（2）二面角

一、單選題

1．如圖.是圓的直徑，，，是圓上一點(不同于，)，且，則二面角的平面角為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

由圓的性質知：，根據線面垂直的判定得到面，即，結合二面角定義可確定二面角的平面角.

【詳解】

∵是圓上一點(不同于，)，是圓的直徑，

∴，，，即面，而面，

∴，又面面，，

∴由二面角的定義：為二面角的平面角.

故選：C

2．下列說法：

①兩個相交平面所組成的圖形叫做二面角；

②二面角的平面角是從棱上一點出發，分別在兩個面內作射線所成的角；

③二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置有關系．

其中正確的個數是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【解析】

【分析】

由二面角的定義判斷.

【詳解】

根據二面角的定義知①兩個相交的半平面所組成的圖形叫做二面角，故錯誤；

②二面角的平面角是從棱上一點出發，分別在兩個面內作棱的垂線所成的角，故錯誤；

③二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置無關，故錯誤．

所以①②③都不正確．

故選：A

3．若以等腰直角三角形斜邊上的高為棱，把它折成直二面角，則折后兩條直角邊的夾角為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根據題意可確定，由勾股定理可證得是正三角形，由此可得結果.

【詳解】

如圖①，，，則折起后,（圖②），

設，則，，

圖②中是正三角形，.

故選：C.

4．如圖，在直三棱柱中，底面三角形是等邊三角形，且，，則二面角的大小為（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

【答案】B

【解析】

【分析】

首先取的中點，連接，，根據題意得到為二面角平面角，再計算其大小即可.

【詳解】

取的中點，連接，，如圖所示：

由題知：，又因為為的中點，

所以，且

又因為，所以為二面角平面角.

因為，為銳角，所以.

故選：B

5．如圖，二面角α-l-β的大小是60°，線段ABα，B∈l，AB與l所成的角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

作AO⊥β于O，AC⊥l于C，連接OB，OC，則,,設AB與β所成的角為θ，則∠ABO＝θ，解三角形得解.

【詳解】

如圖，

作AO⊥β于O，AC⊥l于C，連接OB，OC，則OC⊥l．

則,,

設AB與β所成的角為θ，則∠ABO＝θ，

由圖得sinθ＝＝＝sin30°·sin60°＝．

故選：C

【點睛】

方法點睛：求空間的角常用的方法有：（1）幾何法（找作證指求）；（2）向量法.要根據已知條件靈活選擇方法求解.

6．攢尖在中國古建筑（如宮殿、壇廟、園林等）中大量存在，攢尖式建筑的屋面在頂部交匯成寶頂，使整個屋頂呈棱錐或圓錐形狀.始建于年的廓如亭（位于北京頤和園內，如圖）是全國最大的攢尖亭宇，八角重檐，蔚為壯觀.其檐平面呈正八邊形，上檐邊長為，寶頂到上檐平面的距離為，則攢尖坡度（即屋頂斜面與檐平面所成二面角的正切值）為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根據正八邊形的性質，結合二倍角正切公式及正切的定義求上檐平面中心到檐邊的距離，再根據題設求攢尖坡度.

【詳解】

由題設，上檐平面的八邊形如下圖示：，，且是的中點，

∴，而，

∴，(舍)，又，故，

由題設知：攢尖坡度為.

故選：D

二、多選題

7．如圖，正四棱臺的高為，，，則下列說法正確的是（）

A．B．

C．二面角的大小為D．點到面的距離為

【答案】ACD

【解析】

【分析】

直接利用正四棱臺的幾何結構特征及性質和勾股定理，以及二面角的平面角的定義及求法和等體積法，逐項判定，即可求解.

【詳解】

如圖所示，連接，設，連接，

由該幾何體為正四棱臺，所以側面都是全等的梯形，所以，

對于A中，由，所以，

又由底面為正方形，所以，所以A正確；

對于B中，在中，，可得，所以B錯誤；

對于C中，因為底面為正方形，所以，

由為等腰直角三角形，且，可得，且，

所以為的平面角，

作，可證得平面，所以，

在直角中，，可得，

即二面角的大小為，所以C正確.

對于D中，由，可得點到平面的距離等于正四棱臺的高，且高為，所以D正確.

故選：ACD.

8．如圖，在矩形中，，，為線段上一點，且滿足，現將沿折起使得折到，使得平面平面，則下列正確的是（）．

A．線段上存在一點（異于端點），使得直線與垂直

B．線段上存在一點（異于端點），使得直線面

C．直線與面成角正弦值為

D．面與面所成銳二面角正切值為

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用線面垂直，面面垂直的判定與性質，得到線面角，面面角，計算之后可以判定CD,利用線面平行的判定與性質不難找到滿足B的例子，利用反證法，結合線面垂直面面垂直的判定與性質可以證明A錯誤.

【詳解】

如圖所示，過D'作D'E⊥AB，垂足為E,∵平面平面，∴⊥平面ABC,

作EH⊥AF,垂足為H,連接D'H,∵AF⊥EH,AF⊥D'E,∴AF⊥平面D'EH,∴AF⊥D'H,

由于AD=2,DF=3,∴AF=,

∴DH=

連接EF，則∠為直線與平面ABC所成的角，

,

∵BC⊥AB,平面平面，

∴BC⊥平面平面，∴BC⊥,

∴∠為面與面所成銳二面角，

,

當P位于靠近D'的線段D'B的四等分點時，

過P作AB的平行線交D'A與點R,則，且PR=CF,

∴四邊形PRFC為平行四邊形，

∴平面,

過A作AQ⊥BD'，垂足為Q,

由BC⊥平面ABD',BC平面BCD',

可得平面BCD'⊥平面ABD',

∴AQ⊥平面BCD',∴AQ⊥CP,

假設CP⊥AD',則CP⊥平面ABD',

于是CP⊥BD',于是P與B重合，

這是題意所不允許的，

∴CP不可能與AD'垂直.

綜上正確的是:BCD.

故選:BCD.

【點睛】

本題考查線面垂直，面面垂直的判定與性質，考查線面角，面面角，線面平行的判定與性質，屬綜合性難題，關鍵是熟練掌握使用線面，面面平行、垂直的判定定理和性質定理.

三、填空題

9．若是所在平面外一點，而和都是邊長為2的正三角形，，則二面角的大小為____________.

【答案】.

【解析】

【分析】

取的中點，連接，則為二面角的平面角，在中，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，取的中點，連接，則為二面角的平面角，

因為，所以為直角三角形，所以.

【點睛】

本題主要考查了二面角的求解，其中解答中根據二面角的平面角的定義，得到為二面角的平面角是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

10．如圖，直二面角α－l－β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD的長為________.

【答案】

【解析】

【分析】

根據面面垂直與線面垂直的性質定理，可得AC⊥BC，故△ACB為直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；進而在Rt△BCD中，利用勾股定理可得CD的值.

【詳解】

如圖，連接BC，

∵二面角α－l－β為直二面角，ACα，且AC⊥l，∴AC⊥β.

又BCβ，∴AC⊥BC，

∴BC2＝AB2－AC2＝3.

又BD⊥CD，∴CD＝＝

【點睛】

本題考查了面面垂直與線面垂直的性質定理的應用，考查了求空間圖形中線段的長度；計算時，一般將空間圖形轉化為平面圖形，構造直角三角形，進而在直角三角形中，利用勾股定理計算求解.

四、解答題

11．如圖梯形中，，，，且，將梯形沿折疊得到圖，使平面平面，與相交于，點在上，且，是的中點，過三點的平面交于．

（1）證明:是的中點；

（2）證明:平面；

（3）是上一點，已知二面角為，求的值．

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

【分析】

（1）根據翻折前后的幾何關系，通過面面平行證明結論；

（2）根據線面位置關系的判定和性質，證明結論；

（3）先做出二面角的平面角再根據條件計算線段的比值.

【詳解】

證明：（1）在圖中過作則

圖中，連接BD，CE，

又，，

，且

中，

，又不在平面ACD內，平面ACD

平面，平面平面

，，又是的中點，

是的中點；

（2）如圖，在直角梯形中，，

中，

又平面平面

平面，且

平面，平面ACE

中，

，又由（1）Q是AC的中點，

，

平面，

又平面

，又

平面；

（3）如圖，過作，過作于點G，連結

則為二面角的平面角，

，設，

又，

中，，

由得，即，

∴

12．如圖所示，在三棱柱中，點D是AB的中點．

(1)求證：平面．

(2)若平面ABC，，，，求二面角的平面角的余弦值．

【答案】(1)證明見解析．

(2)．

【解析】

【分析】

（1）連接交于點，連接，由中位線定理得，從而可得線面平行；

（2）證明平面，得是二面角的平面角，然后在三角形中求得其余弦值．

(1)

連接交于點，連接，如圖，

則是中點，又是中點，所以，

平面，平面，所以平面；

(2)

平面，平面，所以，

又，是中點，所以，

，平面，所以平面，

平面，所以，所以是二面角的平面角，

由，，，得，，，所以，

．13.2.4平面與平面位置關系（2）二面角

一、單選題

1．如圖.是圓的直徑，，，是圓上一點(不同于，)，且，則二面角的平面角為（）

A．B．C．D．

2．下列說法：

①兩個相交平面所組成的圖形叫做二面角；

②二面角的平面角是從棱上一點出發，分別在兩個面內作射線所成的角；

③二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置有關系．

其中正確的個數是（）

A．0B．1C．2D．3

3．若以等腰直角三角形斜邊上的高為棱，把它折成直二面角，則折后兩條直角邊的夾角為（）

A．B．C．D．

4．如圖，在直三棱柱中，底面三角形是等邊三角形，且，，則二面角的大小為（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

5．如圖，二面角α-l-β的大小是60°，線段ABα，B∈l，AB與l所成的角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是（）

A．B．C．D．

6．攢尖在中國古建筑（如宮殿、壇廟、園林等）中大量存在，攢尖式建筑的屋面在頂部交匯成寶頂，使整個屋頂呈棱錐或圓錐形狀.始建于年的廓如亭（位于北京頤和園內，如圖）是全國最大的攢尖亭宇，八角重檐，蔚為壯觀.其檐平面呈正八邊形，上檐邊長為，寶頂到上檐平面的距離為，則攢尖坡度（即屋頂斜面與檐平面所成二面角的正切值）為（）

A．B．C．D．

二、多選題

7．如圖，正四棱臺的高為，，，則下列說法正確的是（）

A．B．

C．二面角的大小為D．點到面的距離為

8．如圖，在矩形中，，，為線段上一點，且滿足，現將沿折起使得折到，使得平面平面，則下列正確的是（）．

A．線段上存在一點（異于端點），使得直線與垂直

B．線段上存在一點（異于端點），使得直線面

C．直線與面成角正弦值為

D．面與面所成銳二面角正切值為

三、填空題

9．若是所在平面外一點，而和都是邊長為2的正三角形，，則二面角的大小為_______