第第頁【解析】黑龍江省大慶市實驗中學2023-2023學年高一上學期11月月考數學試題黑龍江省大慶市實驗中學2023-2023學年高一上學期11月月考數學試題

一、單選題

1．（2023高一上·大慶月考）函數的定義域為（）

A．B．

C．D．

2．（2023高一上·大慶月考）函數在上的最小值為（）

A．2B．1C．D．

3．（2023高一上·大慶月考）若且為第三象限角，則的值等于（）

A．B．C．D．

4．（2023高一上·大慶月考）設集合，若A為空集，則實數的取值范圍是（）

A．B．C．D．

5．（2023高一上·大慶月考）已知奇函數在上是增函數，若則的大小關系是（）

A．B．C．D．

6．（2023高一上·大慶月考）已知，則（）

A．2B．0C．D．

7．（2023高一上·大慶月考）已知函數則（）．

A．B．C．D．

8．（2023高一上·大慶月考）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（）

A．B．C．D．

9．（2023高一上·大慶月考）已知恒為正數，則取值范圍是（）

A．B．

C．D．

10．（2023高一上·大慶月考）化簡得（）

A．B．

C．D．

11．（2023高一上·大慶月考）在平面直角坐標系中，集合設集合中所有點的橫坐標之積為，則有（）

A．B．C．D．

12．（2023高一上·蘭州期中）若對于定義在上的函數，其圖象是連續不斷的，且存在常數使得對任意實數都成立，則稱是一個“特征函數”．下列結論中正確的個數為（）

①是常數函數中唯一的“特征函數”；

②不是“特征函數”；

③“特征函數”至少有一個零點；

④是一個“特征函數”．

A．1B．2C．3D．4

二、填空題

13．（2023高一上·大慶月考）已知冪函數的圖像過點，則

14．（2023高一上·大慶月考）一個扇形的弧長與面積的數值都是5，則這個扇形中心角的弧度數為．

15．（2023高一上·大慶月考）20世紀30年代，里克特（C.F.Richter）制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為其中，A是被測量地震的最大振幅，是“標準地震”的振幅（使用標準地震振幅是為了修正測震儀距實際的距離造成的偏差），眾所周知，5級地震已經比較明顯，計算8級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的倍.

16．（2023高一上·大慶月考）已知函數滿足，函數，且與的圖像的交點為，則

三、解答題

17．（2023高一上·大慶月考）

（1）計算；

（2）已知，求的值.

18．（2023高一上·大慶月考）設

（1）求

（2）若，求實數的取值范圍.

19．（2023高一上·大慶月考）已知冪函數

（1）求的解析式；

（2）①若圖像不經過坐標原點，直接寫出函數的單調區間.

②若圖像經過坐標原點，解不等式.

20．（2023高一上·大慶月考）已知函數其反函數為

（1）求證：對任意都有，對任意都有

（2）令，討論的定義域并判斷其單調性（無需證明）.

（3）當時，求函數的值域；

21．（2023高一上·大慶月考）已知函數是定義在上的奇函數；

（1）求實數的值.

（2）試判斷函數的單調性的定義證明；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

22．（2023高一上·大慶月考）已知二次函數滿足①對于任意，都有；②；③的圖像與軸的兩個交點之間的距離為4.

（1）求的解析式；

（2）記

①若為單調函數，求的取值范圍；

②記的最小值為，討論函數零點的個數.

答案解析部分

1．【答案】A

【知識點】對數函數的概念與表示

【解析】【解答】要使函數有意義，則，解得且，

所以函數定義域為.

故答案為：A

【分析】根據函數解析式，寫出自變量滿足的條件，即可求解.

2．【答案】C

【知識點】函數的最大（小）值

【解析】【解答】因為函數，

所以函數在上是減函數，

所以當時，.

故答案為：C

【分析】根據函數解析式可知函數的單調性，利用單調性求最小值.

3．【答案】C

【知識點】同角三角函數間的基本關系

【解析】【解答】因為且為第三象限角，

所以，

則.

故答案為：C

【分析】根據同角三角函數的基本關系及角所在的象限，即可求解.

4．【答案】D

【知識點】集合關系中的參數取值問題

【解析】【解答】當時，原不等式為，A為空集；

當時，因為A為空集

所以無解，

只需滿足，

解得，

綜上實數的取值范圍是.

故答案為：D

【分析】分兩種情況分類討論，時符合題意，時只需滿足即可求解.

5．【答案】B

【知識點】奇偶性與單調性的綜合；對數函數的單調性與特殊點

【解析】【解答】因為函數為奇函數，

所以，

因為，

且函數在上是增函數，

所以，

故答案為：B

【分析】根據函數為奇函數，只需比較，利用對數性質及指數性質比較，，即可求解.

6．【答案】D

【知識點】函數的值；對數的性質與運算法則

【解析】【解答】

.

故答案為：D

【分析】將自變量代入函數解析式，利用對數的運算化簡求值即可.

7．【答案】D

【知識點】對數的性質與運算法則；分段函數的應用

【解析】【解答】,

故答案為：D.

【分析】利用分段函數的解析式結合對數的運算性質，從而求出函數值。

8．【答案】C

【知識點】復合函數的單調性

【解析】【解答】設g（x）＝x2﹣ax+1，

則要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在區間（2，+∞）上單調遞增，

由復合函數單調性可得：

滿足，即，

得a，

即實數a的取值范圍是，

故答案為：C．

【分析】根據復合函數單調性之間的關系進行求解即可.

9．【答案】A

【知識點】對數函數的圖象與性質

【解析】【解答】當時，是減函數，，

則，解得；

當時，是增函數，，

則，解得，又，所以；

綜上取值范圍是.

故答案為：A

【分析】分兩種情況分類討論，根據對數函數的性質即可求解.

10．【答案】A

【知識點】同角三角函數基本關系的運用

【解析】【解答】

故答案為：A

【分析】利用求出，第一個根號分子分母同時乘以，第二個根號分子分母同時乘以，結合平方關系即可得到。

11．【答案】B

【知識點】指數函數的圖象與性質；對數函數的圖象與性質

【解析】【解答】作出函數與圖象：

設與圖象交于不同的兩點，設為，，不妨設，則，

在R上遞減，

，即，

，

即，

故答案為：B

【分析】利用指數函數與對數函數的圖象可知，圖象有兩交點，設兩交點，，根據指數函數、對數函數性質可知，即可得到，進而求出.

12．【答案】C

【知識點】函數的連續性；函數的零點與方程根的關系

【解析】【解答】對于①中，設，當時，函數是一個“特征函數”，

所以不是唯一的一個常值的“特征函數”，所以①不正確；

對于②中，函數，

則，即，

當時，，

當時，方程由唯一的解，

所以不存在常數使得對任意實數都成立，

所以函數不是“特征函數”，所以②正確．

對于③中，令，可得，所以，

若，顯然有實數根，若，，

又因為的函數圖象是連續的，所以在上必由實數根，

因此任意的“特征函數”必有實根，即任意“特征函數”至少有一個零點，

所以③是正確；

對于④中，假設是一個“特征函數”，則對任意的實數成立，

則有，而此式有解，所以是“特征函數”，所以④正確的，

所以正確命題共有②③④．

故答案為：C．

【分析】利用新定義“特征函數”，對選項逐個進行判定，即可求解，得到答案．

13．【答案】9

【知識點】冪函數的概念與表示

【解析】【解答】因為冪函數的圖像過點，

所以，解得，

故，

所以.

故答案為：9

【分析】將點的坐標代入函數解析式即可求出，利用函數解析式即可求值.

14．【答案】

【知識點】扇形的弧長與面積

【解析】【解答】設扇形的半徑為，由題意可得：，

據此可得這個扇形中心角的弧度數為。

【分析】利用扇形的弧長公式結合扇形的面積公式，從而建立扇形中心角的弧度數和圓的半徑方程組，從而求出這個扇形中心角的弧度數。

15．【答案】1000

【知識點】對數的性質與運算法則；對數函數圖象與性質的綜合應用

【解析】【解答】由可得，即，

當時，地震的最大振幅為；當時，地震的最大振幅為；

所以，兩次地震的最大振幅之比是：，即8級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的1000倍.

故答案為：1000

【分析】先根據求得地震最大振幅關于M的函數，將震級代入分別求出最大振幅，最后求出兩次地震的最大振幅之比即可.

16．【答案】40

【知識點】奇偶函數圖象的對稱性；函數的圖象

【解析】【解答】因為函數滿足，

所以函數圖象關于成中心對稱，

又，

所以的圖象也關于成中心對稱，

因此與的圖像的交點為關于成中心對稱，

所以

故答案為：40

【分析】由知函數圖象關于成中心對稱，，圖象關于點成中心對稱，故交點關于成中心對稱，即可求解.

17．【答案】（1）解：

（2）解：

.

【知識點】同角三角函數基本關系的運用；運用誘導公式化簡求值

【解析】【分析】（1）根據終邊相同的角同名三角函數值相等化簡求值即可（2）先根據誘導公式化簡，再利用同角三角函數間的關系化為正切即可.

18．【答案】（1）解：由解得，故，

因為，所以，即,

所以.

（2）解：因為，

所以，

故.

【知識點】集合關系中的參數取值問題；交集及其運算

【解析】【分析】（1）化簡集合，根據集合的交集運算即可求解（2）由可知，結合數軸求解即可.

19．【答案】（1）解：因為冪函數，

所以，解得或，

所以函數為或.

（2）解：①因為圖像不經過坐標原點，

所以，

函數的單調遞減區間為，無單調遞增區間.

②因為圖像經過坐標原點，

所以，

因為為偶函數，且在上為增函數，

所以，

又在上為增函數，

所以，

解得，

所以不等式的解為.

【知識點】冪函數的概念與表示；冪函數的單調性、奇偶性及其應用

【解析】【分析】（1）根據冪函數可得，求出m即可（2）①根據圖象不過原點確定函數解析式，寫出單調區間即可②根據圖象過原點確定函數解析式，利用函數單調性解不等式.

20．【答案】（1）證明：因為，

所以對任意都有.

因為其反函數為，

當時，

，

所以對任意都有.

（2）解：因為，

所以，

當時，解得，且函數在上為增函數

當時，解得，且函數在上為增函數

所以時函數定義域為，函數在上為增函數；當時函數定義域為，函數在上為增函數.

（3）解：當時，,

令，

則

因為對稱軸為，

所以當時，，當時，，

故函數的值域為.

【知識點】函數單調性的判斷與證明；抽象函數及其應用；二次函數在閉區間上的最值

【解析】【分析】（1）寫出其反函數為，根據解析式即可證明（2）寫出，分類討論，寫出定義域及單調性即可（3）寫出，利用換元法求其值域即可.

21．【答案】（1）解：因為函數是定義在上的奇函數，

所以，即，經檢驗符合題意

（2）解：由（1）知

函數為R上的減函數，證明如下；

設，

則

因為，，

故，

則是R上的減函數.

（3）解：因為為奇函數，

所以

又是R上的減函數，

所以恒成立，

令，

因為，

所以，

當時，，

所以時，不等式恒成立.

故實數的取值范圍..

【知識點】函數單調性的判斷與證明；奇函數與偶函數的性質；函數恒成立問題；二次函數的性質

【解析】【分析】（1）根據題意由函數為定義在上的奇函數知，代入計算即可（2）首先對解析式變形，用作差法判斷函數單調性即可（3）根據函數的奇偶性，單調性可得恒成立，只需求函數的最小值即可.

22．【答案】（1）解：因為二次函數中，

所以對稱軸，

又的圖像與軸的兩個交點之間的距離為4，

所以與軸交點為

設，

又，

所以

即.

（2）解：①,

對稱軸為，

因為為單調函數，

所以或

解得或.

故的取值范圍是或.

②,

對稱軸為，

當，即時，，

當，即時，，

當，即時，

綜上

函數零點即為方程的根，

令，即的根，

作出的簡圖如圖所示：

（i）當時，，或，

解得或，有3個零點.

（ii）當時，有唯一解，解得，有2個零點.

（iii）當時，有兩個不同的解，

解得或，有4個零點.

（iv）當時，，，解得，有2個零點.

（v）當時，無解，無零點.

綜上：當時，無零點；

當時，4個零點；

當時，有3個零點；

當或時，有2個零點

【知識點】二次函數的性質；二次函數在閉區間上的最值；函數的零點與方程根的關系

【解析】【分析】（1）根據條件可知二次函數對稱軸，的圖像與軸的兩個交點之間的距離為4可求出交點，利用交點式求函數解析式（2）①寫出二次函數，根據對稱軸與區間關系可求出的取值范圍②分類討論求出函數的最小值，換元后作出函數圖象，再利用數形結合研究函數的零點，注意分類討論思想在解題中的應用.

1/1黑龍江省大慶市實驗中學2023-2023學年高一上學期11月月考數學試題

一、單選題

1．（2023高一上·大慶月考）函數的定義域為（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識點】對數函數的概念與表示

【解析】【解答】要使函數有意義，則，解得且，

所以函數定義域為.

故答案為：A

【分析】根據函數解析式，寫出自變量滿足的條件，即可求解.

2．（2023高一上·大慶月考）函數在上的最小值為（）

A．2B．1C．D．

【答案】C

【知識點】函數的最大（?。┲?/p>

【解析】【解答】因為函數，

所以函數在上是減函數，

所以當時，.

故答案為：C

【分析】根據函數解析式可知函數的單調性，利用單調性求最小值.

3．（2023高一上·大慶月考）若且為第三象限角，則的值等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】同角三角函數間的基本關系

【解析】【解答】因為且為第三象限角，

所以，

則.

故答案為：C

【分析】根據同角三角函數的基本關系及角所在的象限，即可求解.

4．（2023高一上·大慶月考）設集合，若A為空集，則實數的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】集合關系中的參數取值問題

【解析】【解答】當時，原不等式為，A為空集；

當時，因為A為空集

所以無解，

只需滿足，

解得，

綜上實數的取值范圍是.

故答案為：D

【分析】分兩種情況分類討論，時符合題意，時只需滿足即可求解.

5．（2023高一上·大慶月考）已知奇函數在上是增函數，若則的大小關系是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】奇偶性與單調性的綜合；對數函數的單調性與特殊點

【解析】【解答】因為函數為奇函數，

所以，

因為，

且函數在上是增函數，

所以，

故答案為：B

【分析】根據函數為奇函數，只需比較，利用對數性質及指數性質比較，，即可求解.

6．（2023高一上·大慶月考）已知，則（）

A．2B．0C．D．

【答案】D

【知識點】函數的值；對數的性質與運算法則

【解析】【解答】

.

故答案為：D

【分析】將自變量代入函數解析式，利用對數的運算化簡求值即可.

7．（2023高一上·大慶月考）已知函數則（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】對數的性質與運算法則；分段函數的應用

【解析】【解答】,

故答案為：D.

【分析】利用分段函數的解析式結合對數的運算性質，從而求出函數值。

8．（2023高一上·大慶月考）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】復合函數的單調性

【解析】【解答】設g（x）＝x2﹣ax+1，

則要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在區間（2，+∞）上單調遞增，

由復合函數單調性可得：

滿足，即，

得a，

即實數a的取值范圍是，

故答案為：C．

【分析】根據復合函數單調性之間的關系進行求解即可.

9．（2023高一上·大慶月考）已知恒為正數，則取值范圍是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識點】對數函數的圖象與性質

【解析】【解答】當時，是減函數，，

則，解得；

當時，是增函數，，

則，解得，又，所以；

綜上取值范圍是.

故答案為：A

【分析】分兩種情況分類討論，根據對數函數的性質即可求解.

10．（2023高一上·大慶月考）化簡得（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識點】同角三角函數基本關系的運用

【解析】【解答】

故答案為：A

【分析】利用求出，第一個根號分子分母同時乘以，第二個根號分子分母同時乘以，結合平方關系即可得到。

11．（2023高一上·大慶月考）在平面直角坐標系中，集合設集合中所有點的橫坐標之積為，則有（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】指數函數的圖象與性質；對數函數的圖象與性質

【解析】【解答】作出函數與圖象：

設與圖象交于不同的兩點，設為，，不妨設，則，

在R上遞減，

，即，

，

即，

故答案為：B

【分析】利用指數函數與對數函數的圖象可知，圖象有兩交點，設兩交點，，根據指數函數、對數函數性質可知，即可得到，進而求出.

12．（2023高一上·蘭州期中）若對于定義在上的函數，其圖象是連續不斷的，且存在常數使得對任意實數都成立，則稱是一個“特征函數”．下列結論中正確的個數為（）

①是常數函數中唯一的“特征函數”；

②不是“特征函數”；

③“特征函數”至少有一個零點；

④是一個“特征函數”．

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知識點】函數的連續性；函數的零點與方程根的關系

【解析】【解答】對于①中，設，當時，函數是一個“特征函數”，

所以不是唯一的一個常值的“特征函數”，所以①不正確；

對于②中，函數，

則，即，

當時，，

當時，方程由唯一的解，

所以不存在常數使得對任意實數都成立，

所以函數不是“特征函數”，所以②正確．

對于③中，令，可得，所以，

若，顯然有實數根，若，，

又因為的函數圖象是連續的，所以在上必由實數根，

因此任意的“特征函數”必有實根，即任意“特征函數”至少有一個零點，

所以③是正確；

對于④中，假設是一個“特征函數”，則對任意的實數成立，

則有，而此式有解，所以是“特征函數”，所以④正確的，

所以正確命題共有②③④．

故答案為：C．

【分析】利用新定義“特征函數”，對選項逐個進行判定，即可求解，得到答案．

二、填空題

13．（2023高一上·大慶月考）已知冪函數的圖像過點，則

【答案】9

【知識點】冪函數的概念與表示

【解析】【解答】因為冪函數的圖像過點，

所以，解得，

故，

所以.

故答案為：9

【分析】將點的坐標代入函數解析式即可求出，利用函數解析式即可求值.

14．（2023高一上·大慶月考）一個扇形的弧長與面積的數值都是5，則這個扇形中心角的弧度數為．

【答案】

【知識點】扇形的弧長與面積

【解析】【解答】設扇形的半徑為，由題意可得：，

據此可得這個扇形中心角的弧度數為。

【分析】利用扇形的弧長公式結合扇形的面積公式，從而建立扇形中心角的弧度數和圓的半徑方程組，從而求出這個扇形中心角的弧度數。

15．（2023高一上·大慶月考）20世紀30年代，里克特（C.F.Richter）制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為其中，A是被測量地震的最大振幅，是“標準地震”的振幅（使用標準地震振幅是為了修正測震儀距實際的距離造成的偏差），眾所周知，5級地震已經比較明顯，計算8級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的倍.

【答案】1000

【知識點】對數的性質與運算法則；對數函數圖象與性質的綜合應用

【解析】【解答】由可得，即，

當時，地震的最大振幅為；當時，地震的最大振幅為；

所以，兩次地震的最大振幅之比是：，即8級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的1000倍.

故答案為：1000

【分析】先根據求得地震最大振幅關于M的函數，將震級代入分別求出最大振幅，最后求出兩次地震的最大振幅之比即可.

16．（2023高一上·大慶月考）已知函數滿足，函數，且與的圖像的交點為，則

【答案】40

【知識點】奇偶函數圖象的對稱性；函數的圖象

【解析】【解答】因為函數滿足，

所以函數圖象關于成中心對稱，

又，

所以的圖象也關于成中心對稱，

因此與的圖像的交點為關于成中心對稱，

所以

故答案為：40

【分析】由知函數圖象關于成中心對稱，，圖象關于點成中心對稱，故交點關于成中心對稱，即可求解.

三、解答題

17．（2023高一上·大慶月考）

（1）計算；

（2）已知，求的值.

【答案】（1）解：

（2）解：

.

【知識點】同角三角函數基本關系的運用；運用誘導公式化簡求值

【解析】【分析】（1）根據終邊相同的角同名三角函數值相等化簡求值即可（2）先根據誘導公式化簡，再利用同角三角函數間的關系化為正切即可.

18．（2023高一上·大慶月考）設

（1）求

（2）若，求實數的取值范圍.

【答案】（1）解：由解得，故，

因為，所以，即,

所以.

（2）解：因為，

所以，

故.

【知識點】集合關系中的參數取值問題；交集及其運算

【解析】【分析】（1）化簡集合，根據集合的交集運算即可求解（2）由可知，結合數軸求解即可.

19．（2023高一上·大慶月考）已知冪函數

（1）求的解析式；

（2）①若圖像不經過坐標原點，直接寫出函數的單調區間.

②若圖像經過坐標原點，解不等式.

【答案】（1）解：因為冪函數，

所以，解得或，

所以函數為或.

（2）解：①因為圖像不經過坐標原點，

所以，

函數的單調遞減區間為，無單調遞增區間.

②因為圖像經過坐標原點，

所以，

因為為偶函數，且在上為增函數，

所以，

又在上為增函數，

所以，

解得，

所以不等式的解為.

【知識點】冪函數的概念與表示；冪函數的單調性、奇偶性及其應用

【解析】【分析】（1）根據冪函數可得，求出m即可（2）①根據圖象不過原點確定函數解析式，寫出單調區間即可②根據圖象過原點確定函數解析式，利用函數單調性解不等式.

20．（2023高一上·大慶月考）已知函數其反函數為

（1）求證：對任意都有，對任意都有

（2）令，討論的定義域并判斷其單調性（無需證明）.

（3）當時，求函數的值域；

【答案】（1）證明：因為，

所以對任意都有.

因為其反函數為，

當時，

，

所以對任意都有.

（2）解：因為，

所以，

當時，解得，且函數在上為增函數

當時，解得，且函數在上為增函數

所以時函數定義域為，函數在上為增函數；當時函數定義域為，函數在上為增函數.

（3）解：當時，,

令，

則

因為對稱軸為，

所以當時，，當時，，

故函數的值域為.

【知識點】函數單調性的判斷與證明；抽象函數及其應用；二次函數在閉區間上的最值

【解析】【分析】（1）寫出其反函數為，根據解析式即可證明（2）寫出，分類討論，寫出定義域及單調性即可（3）寫出，利用換元法求其值域即可.

21．