甘肅省中學八級數(shù)學下冊《分式線性映射》課件-北師大版第一頁，共30頁。6.2.1分式線性映射的定義及幾何意義由函數(shù)

所確定的映射稱為分式線性映射，也稱變換。不是恒等映射的分式線性映射至多只有2個不動點。返回第一頁2第二頁，共30頁。分式線性在擴充上加如下補充定義：

若在處，定義分式線性的逆映射：學.科.網也是分式線性映射。分式線性映射是由下列3種特殊映射復合而成：第二頁3第三頁，共30頁。，是一個平移映射。(1)如下圖所示：圖（二）第三頁4第四頁，共30頁。(2)是一個旋轉與伸縮映射。若設那么即z先轉一個角度

再將

伸長(或縮短)見圖：

倍，得到的。圖（三）第四頁5第五頁，共30頁。(3),是一個反演映射，見下圖：圖（四）第五頁6第六頁，共30頁。由定理2，可見映射

6.2.2保角性對應的，且具有保角性。因此，有如下定理：是一一定理1分式線性映射在擴充復平面是一一對應返回的，且具保角性。

第六頁7第七頁，共30頁。將圓周映射成圓周，這是因為分式線性由平移、如將直線看做半徑為的圓，則分式線性映射定理2分式線性映射將擴充復平面映射成擴充復平面上的圓周，具有保圓性。

6.2.3保圓性

上的圓周伸縮及反演等3種映射復合而成，可以驗證這3種映射都是將圓周映射成為圓周的，所以有：第七頁8第八頁，共30頁。6.2.4保對稱性分式線性映射還有所謂保持對稱點不變的性質，我們知道對稱點的一個很重要特性，即

是關于圓周

是經過

的一對對稱點的充要條件的任何圓周與

正交。見下圖:

返回圖（五）即保對稱性。第八頁9第九頁，共30頁。綜上所述，再由分式線性映射的保角性，有：

定理1設點

是關于圓周C一對對稱點，

那么在分式線性映射下，它們的像點與

也是關于C的像曲線

的一對對稱點.第九頁10第十頁，共30頁。6.2.5保交比性若

至少了3點是不相同的，稱

為擴充復平面中的4個點，為這4點的交比。返回第十頁11第十一頁，共30頁。可以證明：在分式線性映射下，有：即交比在分式線性下是不變的，這就是所謂保交比性。

定理4在分式線性映射下，4點的交比不變。

第十一頁12第十二頁，共30頁。6.2.6唯一確定分式線性映射的條件

定理5設分式線性映射將擴充復平面上3個相異點指定映射為

寫成則此分式線性映射就被唯一確定，并且可以返回第十二頁13第十三頁，共30頁。證：由定理4，只須指定3對對應點：

再由保交比性

就可得到(6.2.4).設有兩個分式線性映射

同時將

分別映射為則分式線性映射有3個不動點第十三頁14第十四頁，共30頁。因此它是恒等映射。即，故推論

設

是一分式線性映射，且可表示為

，則此分式線性映射第十四頁15第十五頁，共30頁。特別地，若,則有例1在平面上給出中心分別在與，半徑為(如下圖所示)，在映射的兩圓弧所圍的區(qū)域平面上的什么區(qū)域？下映射成第十五頁16第十六頁，共30頁。圖（六）第十六頁17第十七頁，共30頁。解：兩圓弧的交點為i與-i,且相互正交，交點I與-i分別映射為W平面上的無窮遠點和原點。因此所給區(qū)域經映射后映射成以原點為頂點的角形域，張角為

要確定角形區(qū)域的位置，只要定出它邊上異于頂點的任何一點就行。取所給圓弧C1與正實軸的交點第十七頁18第十八頁，共30頁。它對應的點是：這一點在第三象限的分角線上,由保角性知C2映射為第二象限的分角角形區(qū)域如圖(六)所示。從而映射成的第十八頁19第十九頁，共30頁。例2求把上半平面映射成單位圓的分式線性映射。解：由于上半平面總有一點實軸要映射成單位圓，而與是關于實軸的一對對稱點，所以根據(jù)定理5的推論知，這個分式線性映射有如下形式：的圓心w=0.第十九頁20第二十頁，共30頁。注意到實軸上的點Z對應著上式兩邊取模得:此時因此|k|=1,即，這里是任意實數(shù)。上的點。第二十頁21第二十一頁，共30頁。故所求分式線性映射為：

由此可見，把上半平面映射成單位圓的分式線性映射不是唯一的，而是有無窮多個。特別地取則上式變?yōu)榈诙豁?2第二十二頁，共30頁。應用中取，則其反函數(shù)把映為例3求將上半面

映射成單位圓且滿足條件

的分式線性映射。解：由條件，知所求的映射將上半平面中的點映射成單位圓的圓心,所以由(6.2.7)得：第二十二頁23第二十三頁，共30頁。因為從而所求的映射為：第二十三頁24第二十四頁，共30頁。例4求將單位圓

映射成單位圓

的所有分式線性映射。解：設分式線性映射把映射為，則把映射為∞，由(6.2.5)式，這種分式線性映射有形式：第二十四頁25第二十五頁，共30頁。當時，，因此故所求的分式線性映射為：例5求將上半平面

映射成圓

且滿足條件

,的分式線性映射。

第二十五頁26第二十六頁，共30頁。解：容易看出，映射將映射成，這