1靜力學基礎§1-2靜力學公理§1-3約束和約束力§1-4研究對象和受力圖§1-1靜力學中的基本概念2§1-1靜力學中的基本概念1.1.1力的概念力是物體間的相互機械作用，這種作用使物體的運動狀態發生變化，同時使物體發生變形。前者稱為力的運動效應或外效應；后者稱為力的變形效應或內效應。1.力的三要素力對物體作用的效應，決定于力的大小、方向（包括方位和指向）和作用點；這三個要素稱為力的三要素。AF32.等效力系(1)力系。作用在物體上的若干個力總稱為力系，以（F1,F2,…,Fn)表示。(2)

等效力系。作用于物體上的一個力系可用另一個力系代替，而不改變原力系對物體作用的外效應，以（F1,F2,…,Fn)~,(F1′,F2′,…,Fm′)表示，圖形如下表示。F1F2FnF1′F2'Fm′41.1.2剛體的概念任何物體在力的作用下，其上任意兩點間均將產生相對運動，使其初始位置發生改變，稱之為位移(Displacement)，從而導致物體發生變形(Deformation),當其變形微小而可被忽略時，將其抽象為剛體。靜力學

——研究物體在力系作用下平衡規律的科學。剛體靜力學——研究剛體在力系作用下的平衡問題。平衡——物體相對于地面保持靜止或作勻速直線運動的狀態。51.1.3平衡條件與平衡力系要使物體處于平衡狀態，作用于物體上的力系必須滿足一定的條件，這些條件稱為力系的平衡條件；作用于物體上正好使之保持平衡的力系則稱為平衡力系。1.1.4剛體靜力學研究的基本問題1.受力分析——分析作用在剛體上的各種力，弄清研究對象的受力情況。2.平衡條件——建立物體處于平衡狀態時，作用在物體上的力系應滿足的條件。3.利用平衡條件求解未知力，以解決工程中的相關問題。6§1-2靜力學公理公理1二力平衡公理

作用于剛體上的兩個力，使剛體處于平衡狀態的必要與充分條件是：這兩個力等值，反向，共線。二力構件（二力體）只受兩個力作用而處于平衡的物體。如果二力構件是一根直桿,則稱為二力桿。F1F2F1F27公理2加減平衡力系公理在作用于剛體上的已知力系中，加上或減去任一平衡力系，并不改變原力系對剛體的效應。作用于剛體上的力，可沿其作用線任意移動而不改變它對剛體的作用效應。力的可傳性原理：F2ABFAB..FABF1F2··8公理3力的平行四邊形法則

作用于物體上同一點的兩個力，其合力也作用在該點上，合力的大小和方向則由以這兩個力為邊所構成的平行四邊形的對角線來表示，而該兩個力稱為合力的分力。FR=F1+F2FRF1F2FRF1F29公理4作用與反作用定律

兩物體間相互作用的力，總是大小相等，指向相反，且沿同一直線。FT'PPFT10§1-3約束和約束力1.3.1約束的概念1.自由體與非自由體

在空間能向一切方向自由運動的物體，稱為自由體。如飛鳥等。

當物體受到了其他物體的限制，因而不能沿某些方向運動時，這種物體為非自由體。如軌道等。2.約束

限制非自由體運動的物體是該非自由體的約束。P約束被約束物體113.約束力約束施加于被約束物體上的力，如下圖中的力FT。4.約束力的方向

與約束所能限制被約束物體的運動方向相反，如上圖中的力FT的方向。PPFT121.3.2工程中常見的約束1.柔體約束2.光滑面約束PAAPAAFNAFTPAAP133.光滑鉸鏈約束（平面鉸鏈）（空間球形鉸）

AFAx

FAy

FAx

FAyA

z

y

xFAyFAxFAzA14(平面固定鉸支座約束)(活動鉸支座)154.軸承約束A(滑動軸承)

A(止推軸承1)FAz

FAxAxyz

z

y

x

FAxFAy

FAzA165.固定端約束B(止推軸承2)AFAxAFAyMAFBzFByFBx

z

y

xB(平面問題)

17§1-4研究對象和受力圖

對物體進行受力分析是靜力學計算（如求解約束力）中最重要的一步，也是動力學計算（求解物體受力與運動狀態變化間的關系）中的重要環節。1.受力分析方法將物體從約束中隔離出來，將約束對它的作用代以相應的約束力，即取隔離體，畫受力圖。18(2)畫出研究對象所受的力，明確每個力是哪個施力體施加的。(3)根據約束性質畫約束力。(4)考慮平衡條件，判斷某些約束力的方向。(5)注意作用力與反作用力的關系。2.畫受力圖的步驟(1)明確（選擇）研究對象，并將研究對象從它周圍的約束中分離出來，單獨畫出其簡圖。19

如下圖梁AB，

分析AB梁的受力情況并作出它的受力圖。例題1-1解

F

ABl300FBFAyFAxAB

y

300x

F20

用力F

拉動碾子以軋平路面，重為P

的碾子受到一石塊的阻礙，如圖所示。試畫出碾子的受力圖。FABP例題1-221

解：碾子的受力圖為:例題1-2ABFPFNAFNBFABP22

在圖示的平面系統中，勻質球A重P1，物塊B重P2,借其本身重量與滑輪C和柔繩維持在仰角是q

的光滑斜面上。試分析物塊B,球A的受力情況，并分別畫出平衡時它們的受力圖。CGBHEP1AKDP2q

例題1-323BD解：1.物塊B

的受力圖。P2FD例題1-3CGBHEP1AKDP2q

24AEKP1FKFE2.球A

的受力圖。

例題1-3CGBHEP1AKDP2q

25

等腰三角形構架ABC的頂點A，B，C都用光滑鉸鏈連接，底邊AC固定，而AB邊的中點D作用有平行于固定邊AC的力F，如圖所示。不計各桿自重，試畫出桿AB和BC的受力圖。BCAFD例題1-426解：1.桿BC

的受力圖。BC

桿兩端B、C為光滑鉸鏈連接，當桿自重不計時，根據二力平衡公理知B、C兩處的約束力FB、FC

必是沿BC且等值反向。例題1-4BCAFDFBFC

工程中有時把二力桿作為一種約束對待。272.桿AB

的受力圖例題1-4BDAFFAxFAyFBFBFCBCBCAFD28

如圖所示，梯子的兩部分AB和AC在A點鉸接，又在D，E兩點用水平繩連接。梯子放在光滑水平面上，若其自重不計，但在H點處作用一鉛直載荷F。試分別畫出梯子的AB，AC部分以及整個系統的受力圖。例題1-5FABCDEH29

1.梯子AB

部分的受力圖。解：例題1-5ABDFAyFAxFBFFABCDEHH30

2.梯子AC

部分的受力圖。

ACEFC例題1-5FABCDEHABHDFAyFFAxFB31

3.梯子整體的受力圖。

ABCDEHFFBFC例題1-5FABCDEH32

如圖所示，重物重為P

,用鋼絲繩掛在支架的滑輪B上，鋼絲繩的另一端繞在鉸車D上。桿AB與BC鉸接，并以鉸鏈A，C與墻連接。如兩桿與滑輪的自重不計并忽略摩擦和滑輪的大小，試畫出桿AB和BC以及滑輪B的受力圖。ABDCP例題1-6332.桿BC

的受力圖。解：1.桿AB的受力圖。例題1-6ABDCPABFABF'ABFCBBCF'CB34BF2F1FBCFBA

4.滑輪B(帶銷釘）的受力圖。3.滑輪B(不帶銷釘）的受力圖。例題1-6F2F1DFBxFByABDCP35練習1-1

作下圖梁AB的受力圖。lABF36解:練習1-1FAyFAxxABFFBy平面匯交力系§2-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法§2-2平面匯交力系合成與平衡的解析法F2F1FnO平面匯交力系的定義：

各力的作用線在同一平面內且相交于一點的力系。本章研究的兩個問題：

平面匯交力系的合成（簡化）和平面匯交力系的平衡。幾何法和解析法。研究方法：§2-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法1.合成FR=F1+F2+F3FR=F1+F2+…+FnF2F3F4F1F1F2F3F42.平衡平面匯交力系平衡的充要條件是合力為零，即(1)

FR=0;(2)在幾何法中，合力為零即為力多邊形自行封閉。3.三力平衡匯交定理

若剛體受三個力作用而平衡，且其中兩個力的作用線相交于一點，則三個力的作用線必匯交于同一點，而且共面。F1F2F12F3OF12=F1+F2

利用三力平衡匯交定理確定鉸A處約束力的方位。例題2-1FAB2m3mCFCBFRAFRBA解

試指出圖示各力多邊形中，哪些是自行封閉的？哪些不是自行封閉的？如果不是自行封閉，哪個矢量代表合力？哪些矢量代表分力？思考題2-1

水平梁AB中點C作用著力F，其大小等于20kN，方向與梁的軸線成60o角，支承情況如圖所示，試求固定鉸鏈支座A和活動鉸鏈支座B的約束力。梁的自重不計。A60oFB30oaaC例題2-2EFFBFA60o30oHK

解：1.取梁AB作為研究對象。

FA

=17.0kNFB=10kN2.畫出受力圖。3.作出相應的力三角形。FBFADC60o30oFBA4.由力三角形中量出：例題2-2§2-2平面匯交力系合成與平衡的解析法1.力在坐標軸上的投影yxOABab圖(a)平行光線照射下物體的影子圖(b)力在坐標軸上的投影b1a1OyxBAabFFxFyFxFy

由圖知，若已知力

的大小為F

及其與x軸、y軸的夾角為a、b，則即力在某個軸上的投影等于力的模乘以力與該軸的正向間夾角的余弦。當a、b為銳角時，Fx、Fy均為正值；當a、b為鈍角時，Fx、Fy為負值。故力在坐標軸上的投影是個代數量。b1a1OyxBAabFFxFyFxFyab

而如將力F沿正交的x、y坐標軸方向分解，則所得分力Fx、F

y

的大小與力F在相應軸上的投影Fx、Fy的絕對值相等。但是當Ox、Oy兩軸不正交時，則沒有這個關系。b1a1OyxBAabFFxFyFxFy

試分析在圖示的非直角坐標系中，力F

沿x、y軸方向的分力的大小與力F在x、y軸上的投影的大小是否相等？思考題2-2OxyF式中cosa

和cosb

稱為力F

的方向余弦。注意:

力的投影是代數量，而力的分量是矢量；投影無所謂作用點，而分力作用在原力的作用點。b1a1OyxBAabFFxFyFxFyab2.合力投影定理合力在任一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數和。OxyF1F2FRabcABC同理3.合成xOyFRxFRyFRF1F2Fna4.平衡xOyFRxFRyFRF1F2Fna即平面匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在兩個坐標軸中每一軸上的投影之代數和均等于零。

由于提供的獨立的方程有兩個，故可以求解兩個未知量。

重物質量m

=10

kg,懸掛在支架鉸接點B處，A、C為固定鉸支座，桿件位置如圖示，略去支架桿件重量，求重物處于平衡時，AB、BC桿所受的力。例題2-3yxBmgFCB30。FAB45。ABC6045。。∑Fx=0,-FCB

cos30o+FABcos45o=0∑Fy=0,-mg+FCB

sin30o+FABsin45o=0FAB=88.0N，

FCB=71.8N。

解：取鉸B為研究對象，其上作用有三個力：重力mg；BC桿的約束力FCB（設為拉力）及AB桿的約束力FAB（設為壓力），列出平衡方程聯立上述兩方程，解得：例題2-3yxBmgFCB30。FAB45。

由于求出的FAB和FCB都是正值，所以原先假設的方向是正確的，即BC桿承受拉力，AB桿承受壓力。若求出的結果為負值，則說明力的實際方向與原假定的方向相反。例題2-3ABC6045。。yxBmgFCB30。FAB45。為避免解聯立方程，可把一個軸放在與一個未知力的作用線相垂直的位置上，這個未知力在軸上的投影為零，于是投影方程中就只有一個未知數，不必解聯立方程。如在下例中

圖(b)

這樣建立坐標系FT

和FN相互耦合OPFTFNxy注意：30

OP圖(a)yOPFTFNx∑Fx=0,FT－P

·sin30=0。圖(c)可求得FT思考題2-3

重量為P

的鋼管C擱在斜槽中，如圖所示。試問平衡時是否有FA

=

P

cosq，FB

=

P

cosq

？為什么？FA

=

FB=P/2

cosq

如圖所示，重物P=20kN，用鋼絲繩掛在支架的滑輪B上，鋼絲繩的另一端繞在鉸車D上。桿AB與BC鉸接，并以鉸鏈A，C與墻連接。如兩桿與滑輪的自重不計并忽略摩擦和滑輪的大小，試求平衡時桿AB和BC所受的力。例題2-4ABDCP列平衡方程解方程得桿AB和BC所受的力:

解：取滑輪B為研究對象，忽略滑輪的大小，設AB受拉，BC受壓，受力圖及坐標如圖。xyBFABF2F1FBC顯然，F1=F2=P例題2-4ABDCP求解平面匯交力系平衡問題的一般步驟：(1)弄清題意，明確已知量和待求量；(2)恰當選取研究對象，明確所研究的物體；(3)正確畫出研究對象的受力圖（主動力，約束力，二力構件等）；(4)合理選取坐標系，列平衡方程并求解；(5)對結果進行必要的分析和討論。練習2-1

如圖所示結構中，AC和BC兩桿用鉸鏈C連接，兩桿的另一端分別鉸支在墻上。在點C懸掛10kN的物體。已知AB=AC=2m，BC＝1m。如桿重不計，求兩桿所受的力。練習2-1解：選銷釘C為研究對象，其受力如圖所示，其封閉力三角形與ΔABC相似，由(壓)

(拉)

§3-1力矩的概念和計算§3-2力偶的概念§3-3平面力偶系的合成與平衡力矩與平面力偶系力對物體作用時可以產生移動和轉動兩種外效應。力的移動效應取決于力的大小和方向，為了度量力的轉動效應，需引入力矩的概念。主要研究內容：

(1)力矩和力偶的概念；

(2)力偶的性質；

(3)平面力偶系的合成與平衡。§3-1力矩的概念和計算1.力對點之矩(1)用扳手擰螺母；(2)開門，關門。由上圖知，力F使物體繞O點轉動的效應，不僅與力的大小有關，而且與O點到力的作用線的垂直距離d有關，故用乘積F·d來度量力的轉動效應。

該乘積根據轉動效應的轉向取適當的正負號稱為力F對點O之矩，簡稱力矩，以符號MO(F)表示,即O點稱為力矩的中心，簡稱矩心；O點到力F作用線的垂直距離d，稱為力臂。力矩的正負號：力使物體繞逆時針方向轉動為正，反之為負。力矩的單位：N·m，kN·m應注意：在平面問題中，力對點之矩只取決于力矩的大小及其旋轉方向（力矩的正負），因此可以用代數量表示。力矩的性質：(1)力對任一已知點之矩，不會因該力沿作用線移動而改變；.OFd

(2)力的作用線如通過矩心，則力矩為零；反之，如果一個力其大小不為零，而它對某點之矩為零，則此力的作用線必通過該點；(3)互成平衡的兩個力對同一點之矩的代數和為零。Fo..F1F2O2.合力矩定理表達式：證明：由圖得而OxydxyFFxFyAaqa-qr則(a)

若作用在A點上的是一個匯交力系（F1、F2、…Fn）,則利用式(a)可將每個力對O點之矩相加，有由式(a)，該匯交力系的合力FR=∑F，它對矩心O的矩為比較(b)、(c)兩式有(a)(b)(c)§3-2力偶的概念1.力偶和力偶矩(1)力偶的概念

把大小相等、方向相反、作用線平行的兩個力叫做力偶。并記作（F，F′）。可用圖(a)表示,例如：雙手操縱方向盤,如圖(b)。FF′d力偶臂力偶作用面圖(a)F1FF′ABF1′CD圖(b)(2)力偶的性質(a)力偶在任何坐標軸上的投影等于零；(b)力偶不能合成為一力，或者說力偶沒有合力，即它不能與一個力等效，因而也不能被一個力平衡；(c)力偶對物體不產生移動效應，只產生轉動效應，即它可以也只能改變物體的轉動狀態。xFF′d力偶臂力偶作用面(3)力偶矩

力偶對剛體的轉動效應是用力偶矩度量，即用力偶中的兩個力對其作用面內任一點之矩的代數和來度量。FFd

Ox例如：(4)力偶的三要素(a)力偶矩的大小；(b)力偶的轉向；(c)力偶作用面在空間的方位。2.平面力偶等效定理

定理：在同一平面內（或兩平行平面內）的兩個力偶，如它們的力偶矩的大小相等，而且轉向相同，則此兩力偶等效。例如：雙手操作方向盤。F1FF′ABF1′CD

設有一力偶

(F,

F′),如圖所示。運用加減平衡力系的公理并注意到：證明：兩個重要推論：推論1力偶可以在其作用面內任意移轉而不改變它對剛體的轉動效應。ABMABMC推論2在保持力偶矩的大小和轉向不變的條件下，可以任意改變力偶中力和力偶臂的大小而不改變力偶對剛體的轉動效應。注意：上述結論只適用于剛體，而不適用于變形體。其中

F1d1=F2d2ABd1F1F1ABd2F2F2§3-3平面力偶系的合成與平衡平面力偶系：作用在物體上同一平面內的若干力偶的總稱。1.合成(1)兩個力偶的情況F1′F1d1d2F2′F2=F11′F22′F22F11ddFR′FR=這樣得到新的力偶(FR,FR′),則M=FRd=(F11-F22)d=F11d-F22d=M1+M2

(2)任意個力偶的情況M=M1+M2+…+Mn,或M=∑MiM1M2Mn2.平衡條件

平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數和等于零，即∑M=0利用這個平衡條件，可以求解一個未知量。M1M2Mn

兩力偶作用在板上，尺寸如圖。已知F1=F2=1.5kN,F3=F4=1kN,求作用在板上的合力偶矩。解：由式M=M1+M2

則M=-F1·0.18–F3·0.08=-350N·m負號表明轉向為順時針。例題3-1180mmF1F2F3F480mm

長為l=4m的簡支梁的兩端A、B

處作用有兩個力偶，大小各為M1=16N·m，M2=4N·m，轉向如圖。試求A、B支座的約束力。

解：作AB梁的受力圖。AB梁上作用有二個力偶組成的平面力偶系，在A、B

處的約束力也必須組成一個同平面的力偶（FA，FB）才能與之平衡。例題3-260

4mABM1M2M1M2ABdFAFB由平衡方程∑M=0得-M1+

M2+FBlcos60o=0解得故FB=6NFA、FB為正值，說明圖中所設FA、FB的指向正確。FA=FB=6N例題3-2M1M2ABdFAFB60

4mABM1M2－16+4+FB4cos60=0

如圖所示的鉸接四連桿機構OABD，在桿OA和BD上分別作用著矩為M1和M2的力偶，而使機構在圖示位置處于平衡。已知OA=r，DB=2r，q=30°，不計各桿自重，試求M1和M2之間的關系。BODqM1M2A例題3-3

解：因為桿AB為二力桿，故其約束力FAB和FBA只能沿A，B的連線方向。

分別取桿OA和DB為研究對象。因為力偶只能與力偶平衡，所以支座O和D的約束力FO和FD只能分別平行于FAB和FBA

，且與其方向相反。例題3-3BODqM1M2ABDM2FDFBAOM1FOFABA因為所以求得分別畫出受力圖。寫出桿OA和DB的平衡方程：

∑M=0BODqM1M2A練習3-1力偶對剛體產生下列哪種運動效應：【】A、既能使剛體轉動，又能使剛體移動B、與力產生的效應，有時可以相同C、只能使剛體移動

D、只能使剛體轉動D練習3-2一正方形薄板置于光滑的水平面上，開始時處于靜止狀態。當沿正方形的四邊作用如圖所示的大小相等的四個力后，則薄板：【】A、仍保持靜止B、只會移動C、只會轉動D、既會移動又會轉動C練習3-3剛架上作用著力F，分別計算力F對A點和B點的力矩。FCDABaba練習3-3解：F對A點的力矩MA(F)=Fbcosa得FCDABabaFBFAyFAxF對B點的力矩MB(F)=Fbcosa-Fasina得平面一般力系§4-5平面平行力系的平衡條件§4-6物體系統的平衡問題§4-3分布荷載§4-4平面一般力系的平衡條件§4-2平面一般力系向一點簡化§4-1力線平移定理前言平面一般力系是指位于同一平面內的諸力其作用線既不匯交于一點，也不互相平行的力系。前言工程計算中的很多實際問題都可以簡化為平面一般力系來處理。F1FnF2

圖示的屋架，它所承受的恒載、風載以及支座約束力所組成的力系;可簡化為平面一般力系。(a)(b)圖示的起重機簡圖，配重、荷載、自重、及支座約束力所組成的力系可視為一個平面一般力系。(a)PFAyFBy(b)P§4-1力線平移定理定理：

作用在剛體上某點的力F，可以平行移動到剛體上任意一點，但必須同時附加一個力偶，其力偶矩等于原來的力F

對平移點之矩。

證明如下圖所示：(a)ABdFF′ABdFF″(b)BdF′AM=Fd(c)可見，一個力可以分解為一個與其等值平行的力和一個位于平移平面內的力偶。反之，一個力偶和一個位于該力偶作用面內的力，也可以用一個位于力偶作用面內的力來等效替換。(a)ABdFF′ABdFF″(b)BdF′AM=Fd(c)如打乒乓球，若球拍對球作用的力其作用線通過球心（球的質心），則球將移動而不旋轉；但若力的作用線與球相切——“削球”，則球將產生移動和轉動。CF(a)CF(b)F'CM思考題4-1

用力線平移定理將圖(a)、(b)中各主動力分別平移到輪心，由此說明兩個圖中的力對輪子的外效應有何不同？(a)rO1FrO1F/2F/2(b)§4-2平面一般力系向一點簡化設在某一剛體上作用著平面一般力系F1,F2,…,Fn,如圖所示。顯然像平面匯交力系那樣，用力的平行四邊形法則來合成它很困難。

應用力線平移定理，將該力系中的各個力逐個向剛體上的某一點O（稱為簡化中心）平移,再將所得的平面匯交力系和平面力偶系分別合成。F1F2Fn平面一般力系平面力偶系平面匯交力系向一點簡化合成合成FR′（合力）MO（合力偶）(a)F1F2FnF1FnF2Od1d2dn(b)F2′OF1′Fn′M1M2Mn(c)OyxMOFR′(d)(4-1)事實上，可直接用原力系F1，F

2，...F

n

的各力作出力多邊形，力多邊形的封閉邊稱為原力系的主矢。FR′的大小和方向等于主矢，作用點在O點。由此可見，主矢與簡化中心的位置無關。(4-2)由此可見，MO一般與簡化中心的位置有關，它反映了原力系中各力的作用線相對于O點的分布情況，稱為原力系對O點的主矩。此時主矩與簡化中心的位置無關。平面一般力系的三種簡化結果：1.力系簡化為合力偶2.力系簡化為合力FR′就是原力系的合力，合力的作用線通過簡化中心。(1)OMOFR'力系仍可簡化為一個合力，但合力的作用線不通過簡化中心。MOOO′(a)FR′(b)OO′FR′dFRFR″(2)(c)OO′dFR′3.力系平衡平面一般力系如果有合力，則合力對該力系作用面內任一點之矩等于力系中各分力對該點之矩的代數和。合力矩定理OMOFR′如下圖所示，顯然有證明：MOOO′(a)FR′(b)OO′FR′dFRFR″

一平面力系向A、B兩點簡化的結果相同，且主矢和主矩都不為零，問是否可能？F1F2FnABFRAB答：合力與兩點連線平行時可能。思考題4-1

在什么情況下，一平面力系向一點簡化所得的主矩為零？F1F2FnA

思考題4-2

有一平面一般力系向某一點簡化得到一合力，問能否另選適當的簡化中心而使該力系簡化為一力偶？為什么？F1F2FnAB思考題4-3§4-3分布荷載

集中力或集中荷載：力或荷載的作用面積很小或與整個構件的尺寸相比很小，可以認為集中作用在一點上。例如，鐵軌給輪子的力等。FN幾種分布荷載：體分布荷載：荷載（力）分布在整個構件內部各點上。例如，構件的自重等。面分布荷載：分布在構件表面上。例如，風壓力、雪壓力等。

線分布荷載：荷載分布在狹長范圍內，如沿構件的軸線分布。(1)集中荷載的單位，即力的單位(N，kN)。分布荷載的大小用集度表示，指密集程度。1.

荷載的單位(2)體分布荷載的單位：N/m3，(3)面分布荷載的單位：N/m2，(4)線分布荷載的單位：N/m。(1)均布荷載：集度為常數的分布荷載。例如圖中的均布荷載的合力為：其作用線通過梁的中點。Fq=10.91kN/mFBFAl=16m2.分布荷載的計算方法如壩體所受的水壓力等。ABqyyC(2)非均布荷載：荷載集度不是常數。求圖示梁上線性分布荷載的合力。ABxxylxcFR解：取坐標系如圖所示。在x處取一微段，其集度為微段上的荷載為：以A為簡化中心，有C例題4-1

由此可見，分布荷載合力的大小等于荷載集度圖的面積。合力作用線的位置為：例題4-1ABxxylxcFRC

已知水壩的壩前水深h=10m,求1m長的壩面上水壓力的合力之大小和作用線的位置。ABqyyCFdhqdy1m例題4-2解：在深度為y處，水的壓強

取1m長的壩體考慮時，作用于壩面的水壓力可以簡化為沿壩面中心線平行分布的線荷載。ABqyyCFdhqdy1m例題4-2(rg=9.81kN/m3,r為水的密度，g為重力加速度。)

該分布荷載是呈三角形分布的，其合力大小為三角形的面積，作用線在距底邊2/3高度處。ABqyyCFdhqdy1m例題4-2§4-4平面一般力系的平衡條件

平面一般力系平衡的充分必要條件是：力系的主矢和對任意一點的主矩都為零。平面一般力系的平衡方程為：OMOFR′

圖示一懸臂式起重機簡圖，A、B、C處均為光滑鉸鏈。均質水平梁AB自重

P

=4kN,荷載F

=10kN,有關尺寸如圖所示，BC桿自重不計。求BC桿所受的拉力和鉸鏈A給梁的約束力。例題4-3ABDEPFC2m1m1m

解：(1)取AB梁為研究對象。(2)畫受力圖。未知量三個：FAx、FAy、FT，獨立的平衡方程數也是三個。(3)列平衡方程，選坐標如圖所示。ABDEPFFTxyFAxFAy例題4-3由(3)解得以FT之值代入式(1)、(2)，可得：FAx=16.5

kN,

FAy=4.5

kN。例題4-3ABDEPFFTxyFAxFAy

即鉸鏈A的反力及與x軸正向的夾角為：

如果例題4-3中的荷載F可以沿AB梁移動，問：荷載F在什么位置時桿BC所受的拉力（FT）最大？其值為多少？思考題4-4例題4-3ABDEPFFTxyFAxFAy看可否求出FT、FAx、FAy；(1)由右圖所示的受力圖，試按思考題4-5(2)由右圖所示的受力圖，試按看可否求出FT、FAx、FAy；ABDEPFFTxyFAxFAy(3)由右圖所示的受力圖，試按看可否求出FT、FAx、FAy。ABDEPFFTxFAxFAyC思考題4-5平面一般力系平衡方程的其他形式：1.二矩式注意：A、B兩點連線不垂直于x軸。ABFRx2.三矩式注意：A、B、C三點不在一條線上。ABFRC

由右圖所示的受力圖，可否列出下列四個獨立的平衡方程？為什么其中必有一個是從屬的？思考題4-6ABDEPFFTxFAxFAyC

圖示簡支梁AB。梁的自重及各處摩擦均不計。試求A和B處的支座約束力。y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx(a)qACBDMe2aa4a解：(1)選AB梁為研究對象。

(2)畫受力圖如右圖所示。

(3)取坐標如圖。例題4-4(4)列平衡方程解得y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx例題4-4

在例4-4中，試以下列三個方程求解，看會有什么問題，并說明原因。

y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx思考題4-7§4-5平面平行力系的平衡條件平面平行力系：yOxF1F2Fn

圖示一受平面平行力系作用的物體，如選軸與各力作用線垂直，顯然有：各力的作用線在同一平面內且互相平行的力系。平面平行力系的平衡條件為：即平面平行力系平衡的充要條件是：力系中各力的代數和以及各力對任一點之矩的代數和都為零。平面平行力系平衡方程的二矩式yOxF1F2Fn注意：A、B兩點的連線不能與各力的作用線平行。靜定和超靜定的概念：

靜定問題：一個靜力平衡問題，如果系統中未知量的數目正好等于獨立的平衡方程數，單用平衡方程就能解出全部未知量。qACBMe2aaF8a

超靜定問題：一個靜力平衡問題，如果系統中未知量的數目超過獨立的平衡方程數目，用剛體靜力學方法就不能解出所有的未知量。qACBDMe2aa4aF4a注意：判斷問題是否靜定，不能單純從未知量的數目來考慮，還應對問題多作具體分析。

分析圖中的梁可知，雖然平衡方程數等于未知量數，實際上它不能平衡。qACBDMe2aa4aF4a§4-6物體系統的平衡問題

物體系：由幾個物體通過一定的約束方式聯系在一起的系統。CD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG1.內力和外力外力：系統以外的物體給所研究系統的力。內力：因外力作用,在系統內部，各個物體之間，或一個物體的這一部分與另一部分之間，相互作用的力。AB20

kNFAxFAyFBCFCyFCx2kN/mEGFEyFExFG10kNFCyFCxFDFEyFExCECD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG2.物體系平衡問題的靜定或超靜定

物體系是由幾個物體組成，可分別分析各個物體的受力情況，畫出受力圖。若未知量總數超過獨立的平衡方程總數，則問題是超靜定的。總計獨立平衡方程數，與問題中未知量的總數相比較。根據受力圖的力系類型，可知各有幾個獨立的平衡方程，如平面一般力系有三個獨立的平衡方程等。若未知量總數小于獨立的平衡方程總數，則系統可能不平衡，而若計算表明，所有的平衡方程都能滿足，則說明系統處于平衡，但題給的條件有些是多余的或系統的結構是不穩固的。若未知量總數正好等于獨立的平衡方程總數，則問題是靜定的。注意：(1)在總計獨立的平衡方程數時，應分別考慮系統中每一個物體，而系統的整體則不應再加考慮。因為系統中每一個物體既已處于平衡，整個系統當然處于平衡，其平衡方程可由各個物體的平衡方程推出，因而就不獨立了。(2)在求解物體系的平衡問題時，不僅要研究整體，還要研究局部個體，才能使問題得到解決。應該從未知量較少或未知量數等于獨立的平衡方程數的受力圖開始，逐步求解。

求圖示多跨靜定梁的支座約束力。梁重及摩擦均不計。例題4-5CD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG2kN/mEGFEyFExFG10kNFCyFCxFDFEyFExCE

分析：未知量9個，5個支座約束力，C、E處鉸鏈反力各2個，共9個未知量。考慮3個梁的平衡，共有9個獨立的平衡方程。所以系統是靜定的。AB20

kNFAxFAyFBCFCyFCx例題4-5CD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mGxy由對稱關系得：2kN/mEGFEyFExFG(2)研究CE梁10kNFCyFCxFDFEyFExCE例題4-5解：(1)研究EG梁10kNFCyFCxFDFEyFExCExy(3)研究AC梁AB20

kNFAxFAyFBCFCyFCx例題4-5xy例題4-5AB20

kNFAxFAyFBCFCyFCx

圖示三鉸拱上，作用著均勻分布于左半跨內的鉛直荷載，其集度為q

(kN/m),拱重及摩擦均不計。求鉸鏈A、B處的約束力。CABFAxFAyFBxFBy

q例題4-6qCABhl/2l/2解：(1)研究整體其受力如圖所示。例題4-6CABFAxFAyFBxFBy

q(2)研究AC,并畫其受力圖。qCAFAxFAyFCyFCx例題4-6CABFAxFAyFBxFBy

q用另一種方法解例4-6。思考題4-8FBCABFAxFAyq判斷圖中受力圖是否正確？qChABFAy=0.5qlFBy=0.5ql?思考題4-9qCABhl/2l/2由左半部分受力圖可知，AC不能平衡，(a)圖是錯的。qCAFCyFCxFAy=0.5ql(b)0.5qlChABFAy=0.5qlFBy=0.5ql(a)練習:圖示結構由AB、CD、DE三個桿件鉸結組成。已知

a＝2m，q＝500N/m，F＝2000N。求鉸鏈B的約束反力。CDBEAFa【解】取整體為研究對象，其受力如圖所示。列平衡方程，有解得CDBEAFq解得CDBEAFq再取AEB為研究對象，考慮到DE為二力桿，AEB受力如圖所示，列平衡方程，有解得解得BEA重心和形心§5-1重心和形心的坐標公式§5-2確定重心和形心位置的具體方法地球表面或表面附近的物體都會受到地心引力。任一物體事實上都可看成由無數個微元體組成，這些微元體的體積小至可看成是質點。任一微元體所受重力（即地球的吸引力）ΔPi

，其作用點的坐標xi、yi、zi與微元體的位置坐標相同。所有這些重力構成一個匯交于地心的匯交力系。由于地球半徑遠大于地面上物體的尺寸，這個力系可看作一同向的平行力系，而此力系的合力稱為物體的重力。zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio

平行力系合力的特點：如果有合力，則合力作用線上將有一確定的點C,當原力系各力的大小和作用點保持不變，而將各力繞各自作用點轉過同一角度，則合力也繞C點轉過同一角度。C點稱為平行力系的中心。對重力來說，則為重心。zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio

重心的位置對于物體的相對位置是確定的,與物體在空間的位置無關。重心位置的確定在實際中有許多的應用。例如，電機、汽車、船舶、飛機以及許多旋轉機械的設計、制造、試驗和使用時，都常需要計算或測定其重心的位置。zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio§5-1重心和形心的坐標公式1.重心坐標的一般公式zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio右圖認為是一個空間力系，則P=∑ΔPi合力的作用線通過物體的重心，由合力矩定理同理有為確定

zC，將各力繞y軸轉90o，得2.均質物體的重心坐標公式即物體容重g是常量，則zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio上式也就是求物體形心位置的公式。對于均質的物體，其重心與形心的位置是重合的。zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio3.均質等厚薄板的重心和平面圖形的形心

對于均質等厚的薄板，如取平分其厚度的對稱平面為xy平面，則其重心的一個坐標zC等于零。設板厚為d，則有V=A·d，ΔVi=ΔAi·d則上式也即為求平面圖形形心的公式。§5-2確定重心和形心位置的具體方法(1)積分法；(2)組合法；(3)懸掛法；(4)稱重法。具體方法：1.積分法對于任何形狀的物體或平面圖形，均可用下述演變而來的積分形式的式子確定重心或形心的具體位置。對于均質物體，則有zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio若為平面圖形，則求圖示半圓形的形心位置。C2R.O例題5-1解：建立如圖所示坐標系，則xC=0現求yC。

則例題5-1b(y)ydyC2R.Oxy代入公式有例題5-1C2R.Oxy2.組合法當物體或平面圖形由幾個基本部分組成，而每個組成部分的重心或形心的位置又已知時，可按第一節中得到的公式來求它們的重心或形心。這種方法稱為組合法。下面通過例子來說明。角鋼截面的尺寸如圖所示，試求其形心位置。y15020x20200O例題5-2

解：取Oxy坐標系如圖所示，將角鋼分割成兩個矩形，則其面積和形心為：A1=（200-20）×20=3600mm2

x1=10mmy1=110mmA2=150×20=3000mm2

x2=75mmy2=10mm例題5-2y15020x20200O12由組合法，得到xC=A1+A2

A1x1+A2x2=39.5mmyC=A1+A2

A1y1+A2y2=64.5mm另一種解法：負面積法將截面看成是從200mm×150mm的矩形中挖去圖中的小矩形（虛線部分）而得到，從而A1=200×150=30000mm2例題5-215020x20200Oy12y15020x20200O12x1=75mm,y1=100mmA2=-180×130=-23400mm2故xC=30000×75-23400×8530000-23400=39.5mmyC=30000×100-23400×11030000-23400=64.5mm兩種方法的結果相同。x2=85mm,y2=110mm例題5-215020x20200Oy123.懸掛法以薄板為例，只要將薄板任意兩點A和B依次懸掛，畫出通過A和B兩點的鉛垂線，兩條鉛垂線的交點即為重心C的位置，如圖。ABCAB.

4.稱重法對較笨重、形體較為復雜的物體，如汽車，其重心測定常采用這種方法。圖示機床重2500N，現擬用“稱重法”確定其重心坐標。為此，在B處放一墊子，在A處放一秤。當機床水平放置時，A處秤上讀數為1750N，當θ=20o時秤上的讀數為1500

N。試算出機床重心的坐標。思考題5-1yx2.4mCBAθ邊長為a的均質等厚正方形板ABCD，被截去等腰三角形AEB。試求點E的極限位置

ymax以保證剩余部分AEBCD的重心仍在該部分范圍內。ABDCEymaxaaxy作業5-4yC=A1+A2

A1y1+A2y2解：分兩部分考慮xC=2a極限位置yC=ymaxⅠ：Ⅱ：,即作業5-4ABDCEymaxaaxyⅠⅡ解方程得展開得作業5-4ABDCEymaxaaxy內力和內力圖§6-1平面桁架的內力§6-2軸力和軸力圖§6-3扭矩和扭矩圖§6-4剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖外力：物體或系統所承受的其它物體對它的作用力（包括約束力）。內力：物體或系統內部，因外力作用而產生的各物體之間或各部分之間的相互作用力。內力必然成對存在，它們是大小相等、指向相反的力，或大小相等、轉向相反的力偶。為了求得物體內部各部分之間的相互作用力，需將物體假想地截開，取其一部分來研究；對于系統，也須截取某一部分來研究。§6-1平面桁架的內力1.什么是桁架桁架是由一些直桿組成的幾何形狀不變的結構。2.工程實例6.1.1桁架的概念所有桿件的軸線都在同一平面內的桁架稱為平面桁架。P例：地面衛星接收系統例：海洋石油鉆井平臺例：埃菲爾鐵塔

(1)

截面形狀和尺寸設計；

(2)

材料選取；

(3)強度校核。

3.分析桁架內力的目的：P6.1.2模型的建立1.屋架結構的簡化上弦桿節點下弦桿斜桿跨度2.桁架簡化的幾個假設

(1)各桿在節點處用光滑的鉸鏈連接；

(2)桁架中各桿的軸線都是直線，并通過鉸的中心；

(3)所有外力（主動力及支座約束力）都作用在節點上，對于平面桁架，各力的作用線都在桁架的平面內。根據上述假設，桁架的各個桿件都是二力桿。我們能比較合理的地選用材料，充分發揮材料的作用，在同樣跨度和荷載情況下，桁架比梁更能節省材料，減輕自重。3.平面簡單桁架的構成

在平面問題中，為保證桁架幾何形狀不變，可以由基本三角形ABC為基礎，這時是3個節點，以后每增加一個節點，相應增加兩根不在一條直線上的桿件，依次類推，最后將整個結構簡支，這樣構成的桁架稱為平面簡單桁架。節點桿件平面簡單桁架桿件數m與節點數n之間的關系為：m=3+2(n-3)=2n-3平衡方程數：2n

未知力數目：m+3

在支座約束力共有3個未知量而且布置恰當的情況下，平面簡單桁架是靜定的。節點桿件6.1.3平面簡單桁架的內力計算1.節點法例題6-1aaaaFCACDBEKFE如圖平面簡單桁架，已知鉛垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。求各桿內力。解：先取整體為研究對象,受力如圖所示。由平衡方程聯立求解得

FAx=－2kN,FAy=2kN

FB=2kNaaaaFCABDCEKFEFAyFBFAx例題6-1取節點A，受力分析如圖,設所有桿件均為拉桿。由平衡方程解得FAxFAyAFACFAF例題6-1aaaaFCABDCEKFEFAyFBFAxFFEFFAFFCK例題6-1取節點K，受力分析如圖。由平衡方程解得aaaaFCABDCEKFEFAyFBFAxFCFFCAFCCFCDFCE取節點C，受力分析如圖。由平衡方程解得例題6-1aaaaFCABDCEKFEFAyFBFAx取節點D，受力分析如圖。由平衡方程FDEFDCDFDB解得例題6-1aaaaFCABDCEKFEFAyFBFAx例題6-1FBBFBDFBE解得取節點B，受力分析如圖。由平衡方程aaaaFCABDCEKFEFAyFBFAx例題6-2aaaaFCACDBEKFE如圖平面桁架，已知鉛垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。求FE，CE，CD桿內力。2.截面法先取整體為研究對象,受力如圖所示。由平衡方程聯立求解得

FAx=－2kN，FAy=2kN，FB=2kNaaaaFCABDCEKFEFAyFBFAx解：例題6-2由平衡方程作一截面m-m將三桿截斷，取左部分為分離體，受力分析如圖。聯立求解得FFEFCDaFCACKFAyFAxDEFCEmaaaaFCABDCEKFEFAyFBFAxm例題6-2意義：簡化計算,問題：能否去掉零桿?3.零力桿件12(a)123(b)F12(c)F2=0F3=0F1=F2=0注意：(1)荷載改變后，“零桿”可以變為非零桿。因此，為了保證結構的幾何形狀在任何荷載作用下都不會改變，零桿不能從桁架中除去。(2)實際上，零桿的內力也不是零，只是較小而已。在桁架計算中先已作了若干假設，在此情況下，零桿的內力才是零。思考題6-1試判斷下列各桁架中的零桿CABDF(a)FABCDEFGH(b)思考題6-1參考答案：ABF1(a)DCF1ABCDEFGH(b)4.小結(1)節點法(2)截面法(b)根據待求內力桿件，恰當選擇截面；(d)所截桿件的未知力數目一般不大于3。(a)一般先研究整體，求支座約束力；(b)逐個取各節點為研究對象；(c)求桿件內力；(d)所選節點的未知力數目不大于2，由此開始計算。

(a)一般先研究整體，求支座約束力；(c)分割桁架，取其一進行研究，求桿件內力；試用截面法計算圖示桁架中指定桿件的內力。思考題6-2FFF1234

aaaaAB思考題6-2參考答案：F1=FF2=-2FF3=2.828FF4=-3FFFF1234

aaaaABIIIIII試計算圖示桁架中1、2桿的內力。思考題6-3a

aa12ABEFGHCDF1F2I—I截面：Ⅱ—Ⅱ截面：∑MF(F)=0FS1=F1/2-2F2∑MD(F)=0FS2=F2-F1/4思考題6-3參考答案：a

aa12ABEFGHCDF1F2ⅡⅡⅠⅠ§6-2軸力和軸力圖如上圖中軸向受力的桿件常稱為拉伸或壓縮桿件，簡稱拉壓桿。(b)CDF2F2(a)F1F1ABFFABmm拉壓桿橫截面上的內力，由截面一邊分離體的平衡條件可知，是與橫截面垂直的力，此力稱為軸力。用符號FN表示。FFNAmFNFB習慣上，把對應于伸長變形的軸力規定為正值（即分離體上的軸力其指向離開截面），對應于壓縮變形的軸力為負值（軸力的指向對著截面）。當桿件軸向受力較復雜時，則常要作軸力圖，將軸力隨橫截面位置變化的情況表示出來。FFABmFFNAmFNFB解：要作ABCD桿的軸力圖，則需分別將AB、BC、CD桿的軸力求出來。分別作截面1-1、2-2、3-3，如左圖所示。20kNFN1D作軸力圖。20kN20kN30kNABCD1-1截面處將桿截開并取右段為分離體，并設其軸力為正。則∑Fx=0，-FN1-20=0例題6-3120kN20kN30kNABCD12233xFN1=-20kN負號表示軸力的實際指向與所設指向相反，即為壓力。于2-2截面處將桿截開并取右段為分離體，設軸力為正值。則∑Fx=0，-FN2+20-20=0例題6-3120kN20kN30kNABCD12233FN2=0C20kN20kNFN2D∑Fx=0，-FN3+30+20-20=0FN3=30kN軸力與實際指向相同。

FN320kN20kN30kNDCB作軸力圖，以沿桿件軸線的x坐標表示橫截面的位置，以與桿件軸線垂直的縱坐標表示橫截面上的軸力FN。20kN20kN30kN.ABCDFN/kNx3020O例題6-3當然此題也可以先求A處的支座反力，再從左邊開始將桿截開，并取左段為分離體進行分析。例題6-320kN20kN30kN.ABCD試作圖示桿的軸力圖。思考題6-4ABCD20kN40kN30kN0.5m0.5m1m思考題6-4參考答案：OxFN