一次不定方程的解法PAGEPAGE6一次不定方程的解法我們現在就這個問題，先給出一個定理．定理如果是互質的正整數，是整數，且方程①有一組整數解則此方程的一切整數解可以表示為其中…證因為是方程①的整數解，當然滿足②因此．這表明，也是方程①的解．設是方程①的任一整數解，則有③③②得④由于，所以，即，其中是整數．將代入④，即得．因此可以表示成，的形式，所以，表示方程①的一切整數解，命題得證．有了上述定理，求解二元一次不定方程的關鍵是求它的一組特殊解.例1求的整數解．解法1將方程變形得因為是整數，所以應是的倍數．由觀察得是這個方程的一組整數解，所以方程的解為解法2先考察，通過觀察易得，所以，可取，從而可見，二元一次不定方程在無約束條件的情況下，通常有無數組整數解，由于求出的特解不同，同一個不定方程的解的形式可以不同，但它們所包含的全部解是一樣的．將解中的參數t做適當代換，就可化為同一形式．例2求方程的非負整數解．解因為，所以方程兩邊同除以得①由觀察知，是方程②的一組整數解，從而方程①的一組整數解為由定理，可得方程①的一切整數解為因為要求的是原方程的非負整數解，所以必有③由于是整數，由③得，所以只有兩種可能．當；當．所以原方程的非負整數解是，例3求方程的所有正整數解．分析這個方程的系數較大，用觀察法去求其特殊解比較困難，碰到這種情況我們可用逐步縮小系數的方法使系數變小，最后再用觀察法求得其解．解用方程①的最小系數7除方程①的各項，并移項得②因為是整數，故也是整數，于是．化簡得到③令（整數），由此得④由觀察知是方程④的一組解．將代入③得，再將代入②得．于是方程①有一組解，所以它的一切解為由于要求方程的正整數解，所以解不等式，得只能取．因此得原方程的正整數解為，當方程的系數較大時，我們還可以用輾轉相除法求其特解，其解法結合例題說明．例4求方程的整數解．解為用和表示，我們把上述輾轉相除過程回代，得由此可知是方程的一組整數解．于是，是方程的一組整數解．所以原方程的一切整數解為例5某國硬幣有分和分兩種，問用這兩種硬幣支付分貨款，有多少種不同的方法？解設需枚分，枚分恰好支付分，于是①所以由于，所以，并且由上式知．因為，所以，從而，所以①的非負整數解為，，，所以，共有4種不同的支付方式．說明當方程的系數較小時，而且是求非負整數解或者是實際問題時，這時候的解的組數往往較少，可以用整除的性質加上枚舉，也能較容易地解出方程．多元一次不定方程可以化為二元一次不定方程．例6求方程的整數解．解設，即，于是．于是原方程可化為①用前面的方法可以求得①的解為（是整數）②②的解為（是整數）③消去，得（都是整數）大約1500年以前，我國古代數學家張丘建在他編寫的《張丘建算經》里，曾經提出并解決了“百錢買百雞”這個有名的數學問題，通俗地講就是下例．例7今有公雞每只五個錢，母雞每只三個錢，小雞每個錢三只．用個錢買只雞，問公雞、母雞、小雞各買了多少只？解設公雞、母雞、小雞各買只，由題意列方程組①②化簡得③③②得即，解得于是的一個特解為由定理知的所有整數解為由題意知，，所以解