6第二章2.3直線的交點坐標與距離公式2.3.2兩點間的距離公式【素養導引】1.掌握兩點間的距離公式及其應用.(數學運算)2.能用坐標法證明簡單的幾何問題.(邏輯推理、數學運算)一、兩點間的距離公式P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點間的距離公式為|P1P2|=(x【批注】用兩點間的距離公式時需要注意以下幾點(1)此公式與兩點的先后順序無關,也就是說,公式也可寫成|P1P2|=(x(2)當直線P1P2平行于x軸時,|P1P2|=|x2-x1|.(3)當直線P1P2平行于y軸時,|P1P2|=|y2-y1|.[診斷]1.(教材改編題)已知M(2,1),N(-1,5),則|MN|等于 ()A.5 B.37 C.13 D.4【解析】選A.|MN|=(2+1)22.(教材改編題)已知點A(1,2),點P是y軸正半軸上一點,且|PA|=10,則點P的坐標為__________.

【解析】設P(0,y),y>0,由|PA|=(1?0)2+(2?y)2=10,得y答案:(0,5)二、利用“坐標法”解決平面幾何問題的基本步驟第一步:建立坐標系,用坐標表示有關的量.第二步:進行有關代數運算.第三步:把代數運算的結果“翻譯”成幾何結論.學習任務一求兩點間的距離(數學運算)1.已知三角形的三個頂點為A(2,4),B(3,-6),C(5,2),則過點A的中線的長為 ()A.10 B.210C.112 D.310【解析】選B.設邊BC的中點為D,則D(4,-2),過點A的中線長,即|AD|=(2?4)2+(4+22.已知點A(-3,4),B(2,3),點P是x軸上一點,且|PA|=|PB|,則點P的坐標為__________.

【解析】設點P(x,0),則有|PA|=(x+3)|PB|=(x?2)由|PA|=|PB|,得x2+6x+25=x2-4x+7,解得x=-95.即所求點P坐標為-95,0.答案:-95,0兩點間距離公式的關注點(1)適用范圍:任意兩點;(2)特殊情況:當兩點所在直線與坐標軸平行時結合圖形求解會更便捷.學習任務二距離公式的應用(數學運算)【典例1】已知△ABC的頂點為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).(1)求BC邊上的高AD所在直線的方程;(2)證明:△ABC為等腰直角三角形.【解析】(1)因為直線BC的斜率kBC=7+31?3所以BC邊上的高AD所在直線的斜率kAD=15所以BC邊上的高AD所在直線的方程為y-1=15(x+3),即x-5y+8=0(2)因為|AB|=[3?(?3)]2+(?3?1|BC|=(1?3)2+[7?(?3)|AC|=[1?(?3)]2+(7?1所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,所以△ABC為等腰直角三角形.本例中,若△ABC的頂點坐標改為:點A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2),試判斷三角形的形狀.【解析】因為|AB|=(?3?3)2+(0+2|AC|=(?3+1)2+(0?2)2=8,|BC|=(3+1)2+(?2?2)|BC|2=|AB|2,所以△ABC是直角三角形.判斷三角形的形狀的解題策略(1)先采用數形結合的方法,大致明確三角形的形狀,以確定證明的方向.(2)根據兩點間的距離公式分別求出三邊的長,確定是等腰、等邊,還是直角三角形.已知△ABC的三個頂點坐標分別是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).(1)判斷△ABC的形狀;(2)求△ABC的面積.【解析】(1)如圖所示,△ABC為直角三角形,下面進行驗證.因為|AB|=(?1?1)2+[3?(?1)|AC|=(3?1)2+[0?(?1)|BC|=[3?(?1)]2所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,即△ABC是以A為直角頂點的直角三角形.(2)由(1)得|AB|=25,|AC|=5.又因為∠A=90°,所以S△ABC=12|AB||AC|=12×25×5學習任務三坐標法的應用(數學運算)【典例2】已知在正方形ABCD中,E,F分別是BC,AB的中點,DE,CF相交于點G,用坐標法求證:|AG|=|AD|.【證明】建立如圖所示的平面直角坐標系,設正方形的邊長為2,則B(0,0),C(2,0),A(0,2),E(1,0),F(0,1),D(2,2).易得直線DE的方程為y=2x-2,直線CF的方程為y=-12x聯立得y=2解得x=65,y=2即點G65,25,所以|AG|=(65?0)

用坐標法證明平面幾何問題時的關注點(1)解題關鍵:結合圖形的特征,建立恰當的平面直角坐標系.(2)建系原則:①讓盡可能多的點落在坐標軸上;②如果條件中有互相垂直的兩條線,要考慮將它們作為坐標軸;如果圖形為中心對稱圖形,可考慮將中心作為原點;如果有軸對稱性,可考慮將對稱軸作為坐標軸.提醒:證明過程中要不失一般性.在△ABC中,AO是BC邊上的中線,用坐標法求證:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).【證明】以BC的中點O為坐標原點,BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系,如圖,則O(0,0),設B(-a,0),C(a